1、. 4.二次函数二次函数 初中数学里，二次函数是重点内容，是（河南省）中考的压轴题，是热点；高中数学里， 二次函数是基础内容，相关知识要求熟练掌握这本没有什么毛病，但问题在于初高中数学 对二次函数的着力点不同：中考不要求记忆顶点坐标公式，不要求掌握两根式（解析式的一 种形式） ，不常求解二次函数在给定范围上的最值问题（绝不是重点） ，殃及的还有一元二次 方程的韦达定理 （不要求记忆） 而这些在高中老师眼里统统都是常识， 必须熟练， 熟练， 再熟练！二次函数虽是中考压轴题，但也只是一个载体（仅提供点的坐标关系） ，在此基础 上讨论几何图形的相关问题，最终还是几何，二次函数也就是个空壳儿 4.2
2、最值问题最值问题 本节我们研究二次函数的最值问题，如下结论应是初中生所熟悉的： （1）当0a ?时，二次函数 2 yaxbxc?的图象是开口向上的抛物线，顶点 2 4 , 24 bacb aa ? ? ? ? 为图象的最低点在对称轴的左侧，即当 2 b x a ? ?时，y随x的增大而 减小；在对称轴的右侧，即当 2 b x a ? ?时，y随x的增大而增大则当 2 b x a ? ?时，函数 取最小值 2 4 4 acb a ? （2）当0a ?时，二次函数 2 yaxbxc?的图象是开口向下的抛物线，顶点 2 4 , 24 bacb aa ? ? ? ? 为图象的最高点在对称轴的左侧，即当
3、 2 b x a ? ?时，y随x的增大而 增大；在对称轴的右侧，即当 2 b x a ? ?时，y随x的增大而减小则当 2 b x a ? ?时，函数 取最大值 2 4 4 acb a ? 从这两个结论里，我们发现： （1）开口向上的抛物线有最小值，开口向下的抛物线有最大值； （2）y 随 x 的变化情况在对称轴两侧恰好相反； （3）函数的最大（小）值与 y 随 x 的变化情况有关 注：这里“y 随 x 的变化情况”其实就是函数的单调性，单调性是函数图象的直观性质， 容易接受与理解以上是初中对单调性的语言描述，到必修 1 只是换个说法而已 上面说的最大（小）值是对整个二次函数（抛物线）而言，
4、我们进一步思考：二次函数 在一段图象上 （比如限定mxn?） 的最大 （小） 值又与什么有关呢？就是把xm?和xn? 分别代入解析式吗？答案是否定的，我们得分类讨论以开口向上的二次函数为例，有以下 三种情形： （1） 范围mxn?在对称轴的左侧， 如图 1 此时将xm?代入得最大值， 将xn?代 入得最小值； （2） 范围mxn?在对称轴的右侧， 如图 2 此时将xm?代入得最小值， 将xn?代 . 入得最大值； （3） 范围mxn?包含对称轴， 如图 3 此时在对称轴处取得最小值， 将xm?和xn? 分别代入解析式，谁更大谁就是最大值；或者依据图象的对称性，谁离对称轴远就将谁代入 得最大值
5、x nm x nm x mn 图 1 图 2 图 3 课堂例题课堂例题 例例 1 求二次函数 2 24yxx?的最小值 解解：? 2 2 2413yxxx?，则当1x ?时，y取最小值 3 例例 2 当03x?时，求二次函数 2 24yxx?的最大值 解解：由例 1 知， 2 24yxx?（开口向上）的对称轴是直线1x ?，则当1x ?时，y 随x的增大而减小；当1x ?时，y随x的增大而增大所以，当03x?时，y的最大值 只可能在0x ?或3x ?处取得 又当0x ?时，4y ?；当3x ?时，7y ?故所求的最大值为 7 注：讲解时应画出二次函数 2 24yxx?在03x?上的图象，数形结
6、合来看，会 更加直观便捷 例例 3 求函数 2 42yxx?的最大值 解解：先考虑根号下的二次函数? 2 2 4226yxxx? ? ?，当2x ?时取得最大 值 6，则函数 2 42yxx?的最大值为6 例例 4 若01x?，求函数yxx?的最大值 解解： ? 2 2 11 24 yxxxxx ? ? ? ? ，类似于二次函数知，当 1 2 x ? 即 1 4 x ?时，y取最大值 1 4 . 注： 到了高中， 则用换元法解此题令tx?， 则 2 xt?， 由01x?， 得01t? ?， 则 2 2 11 24 yttt ? ? ? ? ? ， 类似于例 2 知， 当 1 2 t ?即 1
7、4 x ?时，y取最大值 1 4 ； 当0t ? 或1时，y取最小值 0 例例 5 求函数32yxx?的最小值 解解 ： ? 2 323226yxxxx?， 类 似 于 二 次 函 数 知 ， 当 11 2 2 36 x ? ? ? ? 即 73 36 x ?时，y取最小值 ? 2 4 3 6171 4 312 ? ? ? ? ? ? 注：这里配方略繁，所以我们直接代入顶点坐标公式计算此题亦可像例 5 那样换元来 解令20tx?，得 2 2xt?，则? 22 323236yxxtttt? ? ?， 当 11 2 36 t ? ? ? ? 即 73 36 x ?时，y取最小值 ? 2 4 3 6
8、171 4 312 ? ? ? ? ? ? 例例 6 求函数11yxx?的最小值和最大值 解解：由 10 10 x x ? ? ? ? 得11x? ?将11yxx?平方得 22 112 1122 1yxxxxx? ? ? ? ?， 先研究根号下的二次函数 2 1yx? ?， 当11x? ?时， 易知它的最小值为 0， 最大值为 1 所 以 22 22 1yx?的最小值为 2，最大值为 4又0y ?，则y的最小值为2，最大值 为 2 课后作业课后作业 1.当12x?时，求二次函数 2 1yxx? ?的最小值和最大值 2.求函数 2 1 1 y xx ? ? 的最大值 3.求函数?15yxx?的最大值 4.求函数1yxx?的最小值 5.求函数1yxx?的最小值 6.求函数102yxx?的最小值和最大值
