1、. 4.二次函数二次函数 初中数学里，二次函数是重点内容，是（河南省）中考的压轴题，是热点；高中数学里， 二次函数是基础内容，相关知识要求熟练掌握这本没有什么毛病，但问题在于初高中数学 对二次函数的着力点不同：中考不要求记忆顶点坐标公式，不要求掌握两根式（解析式的一 种形式） ，不常求解二次函数在给定范围上的最值问题（绝不是重点） ，殃及的还有一元二次 方程的韦达定理 （不要求记忆） 而这些在高中老师眼里统统都是常识， 必须熟练， 熟练， 再熟练！二次函数虽是中考压轴题，但也只是一个载体（仅提供点的坐标关系） ，在此基础 上讨论几何图形的相关问题，最终还是几何，二次函数也就是个空壳儿 4.3
2、动态最值问题动态最值问题 本节属于选讲内容上节我们讲了二次函数的最值问题，其中二次函数是固定的，所给 范围也是固定的 如果两者中有一个是动态变化的， 会对最值产生什么影响呢？其实这个问 题上节课已经做过展示，以开口向上的二次函数为例，我们先来看最小值，分为三类： （1）范围mxn?在对称轴的左侧，如图 1此时将xn?代入得最小值； （2）范围mxn?在对称轴的右侧，如图 2此时将xm?代入得最小值； （3）范围mxn?包含对称轴，如图 3此时在对称轴处取得最小值 x nm x nm x mn 图 1 图 2 图 3 我们再来看最大值，将xm?和xn?分别代入解析式，谁更大谁就是最大值到底谁 更
3、大呢？依据图象的对称性， 谁离对称轴远谁代入解析式就更大 谁离对称轴远呢？看范围 的中点 2 mn? 与对称轴的大小关系即可，分为两类： （1）中点 2 mn? 在对称轴的左侧，如图 4此时m离对称轴更远，将xm?代入得最 大值； （2）中点 2 mn? 在对称轴的右侧，如图 5此时n离对称轴更远，将xn?代入得最大 值 x m+n 2 nm x m+n 2 nm . 图 4 图 5 若二次函数开口向下，则其最大值的情形类似于如上最小值，分为三类；其最小值的情 形类似于如上最大值，分为两类不再赘述 课堂例题课堂例题 例例 1 当1txt? ?时，求二次函数 2 22yxx?的最小值 解解：二次
4、函数是确定的，但范围是移动的要找最小值，得看范围与对称轴1x ?的位 置关系，分为三类： （1）范围在对称轴左侧，即11t ? ?，0t ?时，在范围1txt? ?上，y随x的增大 而减小，所以代入1xt? ?得最小值 2 1mt?； （2）范围在对称轴右侧，即1t ?时，在范围1txt? ?上，y随x的增大而增大，所 以代入xt?得最小值 2 22mtt?； （3）范围包含对称轴，即11tt? ? ?，01t? ?时，在范围1txt? ?上，y先随x 的增大而减小，再随x的增大而增大，此时在对称轴处取得最小值 1 综上所述，最小值 2 2 1,0 1,01 22,1 tt mt ttt ?
5、? ? ? ? ? ? ? 注： 此题考察分类讨论思想的运用， 属于轴定范围动轴定范围动的类型， 最小值的求解分 “左”“右” “中”三类本题也可考虑求解最大值，分两类得最大值 2 2 1 22, 2 1 1, 2 ttt M tt ? ? ? ? ? ? ? ? ，感兴趣 的同学不妨一试 例例 2 当02x?时，求二次函数 2 21yxax?的最大值 解解：范围是确定的，但二次函数是移动的，对称轴为直线xa?（位置不定） 要找最 大值，得看 0 和 2 谁离对称轴更远，分为两类： （1）当1a ?时，2 离对称轴更远，将2x ?代入得最大值34Ma?； （2）当1a ?时，0 离对称轴更远，
6、将0x ?代入得最大值1M ? ? 综上所述，最大值 3 4 ,1 1,1 a a M a ? ? ? ? 注：此题考察分类讨论思想的运用，属于轴动范围定轴动范围定的类型，最大值的求解得看“谁离 对称轴更远” ， 分为两类 本题也可考虑求解最小值， 答案是最小值 2 1,0 1,02 34 ,2 a maa a a ? ? ? ? ? ? ? ? . 例例 3 当520x?时，二次函数 2 48yxkx?既没有最大值也没有最小值，求 k 的 取值范围 解解： 二次函数 2 48yxkx?开口向上， 对称轴为直线 8 k x ?（不确定） 当520x? 时，它既没有最大值也没有最小值（注意这个范
7、围不包含两个端点） ，这说明对称轴不在这 个范围内（不然的话， 对称轴处必取得最小值） ， 而且当对称轴不在此范围内时，经检验（画 图象）确实符合题意，则5 8 k ?或20 8 k ?，得40k ?或160k ? 注：最大值和最小值一定是可以取到的值才行，由于题中所给范围不包含端点5和20， 所以将5或20代入解析式并不会得到最值 例例 4 函数 2 23yxx?在?00mxm?上的最大值为 3，最小值为 2，求 m 的 取值范围 解解：易知，当0x ?和2?时，3y ?；当1x ? ?时，2y ?，如图所示数形结合可得 m 的取值范围是21m? ? ? x y m1 2 1 2 3 4 O
8、 例例 5 设0a ?，当11x? ?时，函数 2 1yxaxb? ?的最小值是4?，最大值是 0，求 a，b 的值 解解：二次函数 2 1yxaxb? ? ?开口向下，对称轴为01 2 a x ? ?， 2 a ?与范围 11x? ?的左端点1?的大小关系不定，分为两类： （1）当1 2 a ?即2a ?时，范围11x? ?在对称轴右侧，y随x的增大而减小，由 题意知 110 114 ab ab ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，解得 2 2 a b ? ? ? ? ? ； （2）当10 2 a ? ? ?即02a?时，范围11x? ?包含对称轴，且 1 离对称轴更远， 由题意知
9、 2 10 42 114 aa ab ab ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，解得 2 2 a b ? ? ? ? ? （舍去）或 6 10 a b ? ? ? ? ? ? （舍去） . 综上所述，a，b 的值分别为2和2? 注：条件0a ?在不确定的大环境下带来了一丝确定，减少了分类讨论的次数，降低了 试题难度有兴趣的读者不妨将此条件去掉一试 例例 6 已知二次函数 2 1 2 yxx? ?，当mxn?时，y的取值范围是22myn?， 求,m n的值 解解：二次函数? 2 2 111 1 222 yxxx? ? ?开口向下，当1x ?时，y取最大值 1 2
10、 ， 则 1 2 2 n ?， 1 1 4 n ?，这表明范围mxn?在对称轴左侧，所以y随x的增大而增大， 由题意知 2 2 1 2 2 1 2 2 mmm nnn ? ? ? ? ? ? ? ? ， 注意到这两个等式的结构完全一致， 则?,m n mn?是二次方程 2 1 2 2 xxx?的两个不等 实数根，解得2m ? ?，0n ? 注： 此题若不是抓住 1 4 n ?这个条件就得至少分三类讨论， 而且每一类里还得解,m n的 二元二次方程组，有时会很难解 课课后作业后作业 1.当1txt? ?时，求二次函数 2 15 22 yxx?的最小值 2.已知二次函数 2 yaxbx?的对称轴为直线1x ?，且方程 2 2axbxx?有两个相等 的实数根 （1）求二次函数的解析式； （2）当?00xt t?时，求该二次函数的最大值 3.已知当1xa?时， 二次函数 2 68yxx?的最小值为 2 68aa?， 求实数 a 的取 值范围 4.已知函数 2 21yxax?在12x? ?上的最大值为 4，求 a 的值
