1、. 第一章第一章 因式分解因式分解 第第 2 讲讲 十字相乘法十字相乘法-精讲深精讲深剖剖 因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形。在分式运算、解方程及 各种恒等变形中起着重要的作用，是继续高中数学学习的一项基本技能。 因式分解的方法较多， 除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外， 还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等。 【知识梳理知识梳理】 1.乘法公式：初中已经学习过了下列乘法公式： （1）平方差公式 22 ()()ab abab?； （2）完全平方公式 222 ()2abaabb? （3）立方和公式 223
2、3 ()()ab aabbab?； （4）立方差公式 2233 ()()ab aabbab?； 2把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式 3因式分解与整式乘法的区别和联系：因式分解与整式乘法是互逆关系 （1）整式乘法是把几个整式相乘，化为一个多项式； （2）因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘 4因式分解的思路： （1）先看各项有没有公因式，若有，则先提取公因式； （2）再看能否使用公式法；学科=网 （3）用分组分解法，即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的； （4）因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积，否则不是因式分解； （5）因式分解的结
3、果必须进行到每个因式在要求的范围内（比如有理数范围内）不能再分解为止 5因式分解的解题步骤：一提（公因式） 、二套（平方差公式，完全平方公式） 、三检查（彻底分解） 【精讲深剖精讲深剖】 1对于二次项系数为对于二次项系数为 1 的二次三项式的二次三项式 2 ()xp q xpq+型的因式分解型的因式分解 这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：二次项系数是 1；常数项是两个数之积；一次项 系数是常数项的两个因数之和。 即； 22 ()()()()()xpq xpqxpxqxpqx xpq xpxp xq? . 注：这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一
4、次项系数， 通常借助画十字交叉线的办法来确定，故称为十字相乘法。 【典例解析】【典例解析】把下列各式因式分解： (1) 2 56xx?； (2) 2 1312xx?； (3) 2 524xx?； 来源:学_科_网 Z_X_X_K 【解题反思】 当常数项为正数时， 把它分解为两个同号因数的积， 因数的符号与一次项的系数的符号相同； 当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相 同。 【变式训练变式训练】 1.把下列各式因式分解： （1）?65 2 xx_。 （2） 2 76xx+ =_。 （3）?65 2 xx_。 （4）?65 2 xx_。 （5
5、）?axax1 2 _。 （6）?1811 2 xx_。 （7） 2 12xx-+-_。 （8） 22 6xxyy?_。 （9）若?42 2 ?xxbaxx则 ?a， ?b。 . （10）? 3 4 2 ?xxxx 【答案】（1）(6)(1)xx?； （2）(6)(1)xx?； （3）(2)(3)xx?； （4）(6)(1)xx?； （5）()(1)xa x?； （6）(2)(9)xx?； （7）(4)(3)xx?； （8）(3 )(2 )xy xy?； （9）2,8ab? ? ?； （10）21, 7?； 【点评】注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个
6、二次三 项式能否用十字相乘法分解。 2对于对于一般二次三项式一般二次三项式 2 axbxc?型的因式分解型的因式分解 因为， 2 1122121 22 11 2 ()()()a xca xca a xaca c xcc?来源:学&科&网 反过来，就得到； 2 1 21 22 11 21122 ()()()aa xaca c xcca xca xc? 我们发现，二次项系数a分解成 12 a a，常数项c分解成 1 2 c c，把 1212 , ,a a c c写成 11 22 ac ac ?，这里按斜 线交叉相乘， 再相加， 就得到 1 22 1 a ca c?， 如果它正好等于 2 axbxc
7、?的一次项系数b， 那么 2 axbxc? 就可以分解成 1122 ()()a xca xc?，其中 11 ,a c位于上一行， 22 ,a c位于下一行。 【典例解析】【典例解析】把下列各式因式分解： (1) 2 1252xx?； (2) 22 568xxyy? 【解析】：(1) 2 1252(32)(41)xxxx? 32 4 1 ? ? (2) 22 568(2 )(54 )xxyyxyxy? 1 2 54 y y? ? . 【解题反思】用十字相乘法分解二次三项式很重要当二次项系数不是 1 时较困难，具体分解时，为提高 速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，
8、看是否符合一次项系数，否则 用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号。来源:163文库 【变式训练变式训练】 1.把下列各式分解因式： (1) 22 45mmnn?； (2) 42 718xx? ； 来源:Z&xx&k.Com (3) 2 673xx?； (4) 22 3352baba?； （5） 22 82615xxyy? ； (6) 2 7()5()2abab? 【点评】对于二次项系数不为 1 的二次三项式运用十字相乘法分解，需要更多尝试，达到熟练掌握。 来源:学|科|网 给我最大快乐的，不是已懂得知识，而是不断的学 习；不是已有的东西，而是不断的获取；不是已达到 的高度，而是继续不断的攀登。-高斯
