1、. 1 极值点偏移定义及判定定理极值点偏移定义及判定定理 所谓极值点偏移问题，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使 得函数图像没有对称性。若函数( )f x在 0 xx?处取得极值，且函数( )yf x?与直线yb? 交于 1 ( , )A x b, 2 (, )B x b两点，则AB的中点为 12 (, ) 2 xx Mb ? ，而往往 12 0 2 xx x ? ?.如下图 所示. 极值点没有偏移极值点没有偏移 一、极值点偏移判定方法 1、极值点偏移的定义 对于函数)(xfy ?在区间),(ba内只有一个极值点 0 x，方程0)(?xf的解分别为 21 xx、，且bxx
2、a? 21 ， （1）若 0 21 2 x xx ? ? ，则称函数)(xfy ?在区间),( 21 xx上极 值点 0 x偏移； （2） 若 0 21 2 x xx ? ? ，则函数)(xfy ?在区间),( 21 xx上极值点 0 x左偏，简 称极值点 0 x左偏； （3）若 0 21 2 x xx ? ? ，则函数)(xfy ?在区间),( 21 xx上极值点 0 x右 偏，简称极值点 0 x右偏。 2、极值点偏移的判定定理 判定定理： 对于可导函数)(xfy ?， 在区间),(ba上只有一个极大 （小） 值点 0 x， 方程0)(?xf的解分别为 21 xx、，且bxxa? 21 ，
3、（1）若0) 2 ( 21 ? ? xx f，则 0 21 )( 2 x xx ? ? ，即函数)(xfy ?在区间),( 21 xx上极大（小）值点 0 x右（左）偏； （2）0 若0) 2 ( 21 ? ? xx f，则 0 21 )( 2 x xx ? ? ，即函数)(xfy ?在区间),( 21 xx上极大（小）值点 0 x左（右）偏。 . 二、极值点偏移问题的一般题设形式：二、极值点偏移问题的一般题设形式： 1. 若函数)(xf存在两个零点 21,x x且 21 xx ?， 求证： 021 2xxx?（ 0 x为函数)(xf的极值点） ； 2. 若函数)(xf中存在 21,x x且
4、21 xx ?满足)()( 21 xfxf?，求证： 021 2xxx?（ 0 x为函 数)(xf的极值点） ； 3. 若函数)(xf存在两个零点 21,x x且 21 xx ?，令 2 21 0 xx x ? ?，求证：0)( 0 ?xf； 4. 若函数)(xf中存在 21,x x且 21 xx ?满足)()( 21 xfxf?，令 2 21 0 xx x ? ?，求证： 0)( 0 ?xf 三三、运用判定定理判定极值点偏移的方法、运用判定定理判定极值点偏移的方法 1、方法概述： （1）求出函数)(xf的极值点 0 x； （2）构造一元差函数)()()( 00 xxfxxfxF?； （3）确
5、定函数)(xF的单调性； （4）结合0)0(?F，判断)(xF的符号，从而确定)( 0 xxf?、)( 0 xxf?的大小关系. 口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随. . . 2、抽化模型 答题模板：若已知函数)(xf满足)()( 21 xfxf?， 0 x为函数)(xf的极值点，求证： 021 2xxx?. （1）讨论函数)(xf的单调性并求出)(xf的极值点 0 x； 假设此处)(xf在),( 0 x?上单调递减，在),( 0 ?x上单调递增. （2）构造)()()( 00 xxfxxfx
6、F?； 注：此处根据题意需要还可以构造成)2()()( 0 xxfxfxF?的形式. （3）通过求导)( xF讨论)(xF的单调性，判断出)(xF在某段区间上的正负，并得出 )( 0 xxf?与)( 0 xxf?的大小关系； 假 设 此 处)(xF在), 0( ?上 单 调 递 增 ， 那 么 我 们 便 可 得 出 0)()()()( 000 ?xfxfxFxF，从而得到： 0 xx ?时，)()( 00 xxfxxf?. （4）不妨设 201 xxx?，通过)(xf的单调性，)()( 21 xfxf?，)( 0 xxf?与)( 0 xxf?的 大小关系得出结论； 接上述情况，由于 0 xx
7、 ?时，)()( 00 xxfxxf?且 201 xxx?，)()( 21 xfxf?， 故)2()()()()( 2002002021 xxfxxxfxxxfxfxf?，又因为 01 xx ?， 020 2xxx?且)(xf在),( 0 x?上单调递减， 从而得到 201 2xxx?， 从而 021 2xxx?得 证. （5）若要证明0) 2 ( 21 ? ? xx f，还需进一步讨论 2 21 xx ? 与 0 x的大小，得出 2 21 xx ? 所在的 单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.21 世纪教育网版权所有 此处只需继续证明：因为 021 2xxx?，故 0 21 2 x xx ? ? ，由于)(xf在),( 0 x?上单 调递减，故0) 2 ( 21 ? ? xx f. 【说明】 （1）此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心； （2）此类题目若试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求)(xf的单调性、极值点， . 证明)( 0 xxf?与)( 0 xxf?（或)(xf与)2( 0 xxf?）的大小关系；若试题难度较大，则直 接给出形如 021 2xxx?或0) 2 ( 21 ? ? xx f的结论，让你给予证明，此时自己应主动把该 小问分解为三问逐步解题.2
