1、. （20102010 天津理数）天津理数） （21） （本小题满分 14 分） 已知函数( )() x f xxcxR ? ? （）求函数( )f x的单调区间和极值； （）已知函数( )yg x?的图象与函数( )yf x?的图象关于直线1x ?对称，证明当1x ?时，( )( )f xg x? （）如果 12 xx?，且 12 ( )()f xf x?，证明 12 2xx? 【解析】本小题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力，满分 14 分 （）解：f( )(1) x xx e? 令 f(x)=0,解得 x=1 当 x
2、变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表 X (,1?) 1 (1,?) f(x) + 0 - f(x) 极大值 所以 f(x)在(,1?)内是增函数，在(1,?)内是减函数。 函数 f(x)在 x=1 处取得极大值 f(1)且 f(1)= 1 e （）证明：由题意可知 g(x)=f(2-x),得 g(x)=(2-x) 2x e ? . 令 F(x)=f(x)-g(x),即 2 ( )(2) xx F xxexe ? ? 于是 22 ( )(1)(1) xx F xxee ? ? 当 x1 时，2x-20,从而 2x-2 e10,0,F x e? ?又所以(x)0,从而函数 F（x）在1,+
3、)是增函数。 又 F(1)= -1-1 ee0? ，所以x1时，有F(x)F(1)=0,即 f(x)g(x). )证明： （1） 若 121212 (1)(1)0,),1.xxxxxx? 12 由（ ）及f(xf(x则与矛盾。 （2）若 121212 (1)(1)0,),.xxxxxx? 12 由（ ）及f(xf(x得与矛盾。 根据（1） （2）得 1212 (1)(1)0,1,1.xxxx?不妨设 由（）可知，) 2 f(x) 2 g(x,则) 2 g(x=) 2 f(2-x，所以) 2 f(x) 2 f(2-x,从而) 1 f(x) 2 f(2-x.因为 2 1x ?，所以 2 21x?，
4、又由（）可知函 数 f(x)在区间（-，1）内事增函数，所以 1 x 2 2x?,即 12 xx?2. . 问题问题 1：2010 天津理（天津理（21）( )() x f xxexR ? ? （1）求( )f x单调区间、极值； （2）( )yg x?图像与( )yf x?图像关于直线1x ?对称，证明：当1x ?时，( )( )f xg x? （3） 12 xx?， 12 ( )()f xf x?，证明： 12 2xx? . x y 2e-x2 2e-x1 x2 x1 xA = 2.71828 A h x( ) = ln 2?e x() 2?e x g x( ) = 0.325 f x( ) = ln x( ) x 2 1212 12 1 ( )ln, 2 +2 ? f xxxxaxx x xxa xxe ? ? 在定义域内有两个不同的极值点求： 范围? . 转化为 ln x yay x ?与 交点问题 此解法适用于问题 1，问题 2 不适用？定义域限制，
