1、. 极值点偏移问题极值点偏移问题 已知函数 2 ( )ln() 2 a f xxxxaR?. （1）若2a ?，求曲线( )yf x?在点处的切线方程； （2）若函数( )( )g xf xx?有两个极值点 12 ,x x，求证： 12 11 2 lnln ae xx ?. 解析： （1）0xy? （2）( )( )g xf xx?有两个极值点 12 ,x x，即( )ln0g xxax?有两个不同的正实根. 可得 1 0a e ?. 法法 1：整体代换，转化为函数式子整体代换，转化为函数式子 先证明 12 11 2 lnlnxx ?，即证 12 11 2 axax ?，即证 12 1212
2、11lnln 22 xx a xxxx ? ? ? . 即证 1212 12 11 ()()2(lnln)xxxx xx ?，即证 121 212 2ln xxx xxx ?. 法法 2：放缩变化，转化结构放缩变化，转化结构，回到熟悉的极值点偏移问题上，回到熟悉的极值点偏移问题上. 12 11 2 lnln ae xx ?，即证 12 11 2ae axax ?，即证 2 12 11 2a e xx ?， 因为 2221 2 22a ea e ee ?，所以只需证 12 112 xxe ?. 令 12 12 11 ,tt xx ?，原问题等价于：已知 1 ln0 a tt ?有两个根 12 ,
3、 t t，求证 12 2 tt e ?. 也即已知lnatt?有两个根 12 , t t，求证 12 2 tt e ?. 转化到熟悉的极值点偏移问题上了. 法法 3：放缩变化，转化结构，虽然复杂，但思路很常规放缩变化，转化结构，虽然复杂，但思路很常规 先证明 12 1 ln+ln2lnxx a ?，再证明 12 2ln aea . 问题等价于：( ) t h ttae? ?有两个两点， 12 1 2lntt a ? 简证如下：( ) t h ttae? ?在 1 (,ln) a ?上增，在 1 (ln,) a ?上减. 等价于证明 21 1 ( )(2lnh tht a ? ），即 11 1
4、( )(2lnh tht a ? ）. 定义 1 ( )( )(2ln)k xh xhx a ?， 1 lnx a ?，只需证明( )0k x ?恒成立. . 1 2ln ( )22 x x a k xaea ? ?， 1 2ln ( )20 x x a kxaea ? ? ?， 所以( )k x?增， 1 ( )(ln)0k xk a ?. 所以( )k x减， 1 ( )(ln)0k xk a ?，故 12 1 ln+ln2lnxx a ?. 下证明 12 2ln aea ，等价于证明ln x x e ，易证成立. 综上，原命题成立. 法法 4：放缩变化，转化结构放缩变化，转化结构 先证明 12 11 2 lnlnxx ?. 因为 12 12 2lnln 11 2 lnln xx xx ? ? ? ，所以 12 12 112 lnlnlnlnxxxx ? ? . 所以只需证明 12 2 2 lnlnxx ? ? ，即证明 12 lnln1xx?. 方程ln xax?等价于 ln ln x xae?，令ln xt?，则 t tae?，即lnlntat?. 等价于证明( )lnlnh ttta? ?的两个零点 1 2 1t t ?. 只需证 1 2 1 t t ?，即证 1 2 1 ( )()h th t ?，即证 12 2 1 ( )( )()h th th t ?.
