1、. 极值点偏移问题（极值点偏移问题（3） 变更结论（操作细节） 杨春波（高新区枫杨街 郑州外国语学校，河南 郑州 450001) 不知细心的读者是否发现，在前面所举的诸例中，求证结论只有两种类型： ? ? 120 2xxx? ?和? ? 2 1 20 x xx? ?，不妨称为常规类型如果求证结论是关于 12 ,x x的其他 不等式呢？别慌，本讲就教你变“不常规”为“常规” 例例 5 已知函数? ?lnf xxx?，若两相异正实数 12 ,x x满足? ? 12 f xf x?，求证： ? ? 12 0fxfx? 分析分析：? ? 1 1fx x ? ?，则 ? ? 12 1212 1111 2
2、02fxfx xxxx ?所证结 论不常规怎么办？可以尝试如下两种处理方法 解法解法 1（换元法） ：通过换元将不常规的结论变更为常规结论 令 1 1 0a x ?， 2 1 0b x ?，即证2ab? ? 12 f xf x?即 1122 lnlnxxxx?， 11 lnlnab ab ?，记函数? ? 1 lng xx x ?，则? ? ?g ag b?，原问题变更为： 已知函数? ? 1 lng xx x ?，若两相异正实数, a b满足? ? ?g ag b?，求证：2ab? 这是第一讲中处理过的常规问题，交给读者 解法解法 2（加强命题） ：试图证明更强的结论 1 2 1x x ?
3、而这是例 4 第（4）问已证过的结论，由基本不等式得 1212 111 22 xxx x ? 注注 1：在用换元法变更结论时，选取的函数也要变更其实是将原问题（不常规）变更 为另一个问题（常规） 注注 2： 加强命题只是一种充分性的尝试， 可能会面临失败 即使尝试失败， 即 1 2 1x x ?不 成立，也不影响所证结论 12 11 2 xx ?的正确性，只是方法不合适而已 例例 6 已知函数? ? 2 lnf xxx?，若方程? ?f xm?有两个不相等的实根 12 ,x x，求证： 22 12 2 xx e ? 解解：用换元法证令 2 1 ax?， 2 2 bx?，则? ? 12 f xf
4、 x?即 22 1122 lnlnxxxx?， 2222 1122 lnlnxxxx?，lnlnaabb?记函数? ?lng xxx?，则? ? ?g ag b?，即证 . 2 ab e ?，这是常规问题，交给读者 例例 7 已知0ba?， 且l nl nb a a b a b? ? 求证：（1）1abab?；（2）2ab?； （3） 11 2 ab ? 证明证明： （1） lnln111 ln1 ln lnln abab baabab abbaab ? ?记函数 ? ? 1lnx f x x ? ?，则? ? ?f af b?求导得? ? 2 ln x fx x ? ?，知 ? ?f x在?
5、0,1上单增，在 ?1,?上单减，又 1 0f e ? ? ? ? ，当0x ? ?时，? ?f x ?；当x?时，? ?0f x ?， 故? ?f x的图象如下， 由图知 1 1ab e ? ?， 所以?110ab?， 展开即1abab? x y ba 1 1O （2）构造函数? ? ?2F xf xfx?，则 ? ? ? ? ? ? ? 2 2 222 2 ln 22lnln 2ln 2 22 xxxxxx Fxfxfx x xxx ? ? ? ? ? ， 当?0,1x?时，? 2 2 2lnln 2xxxx?的符号如何判定？ 尝试变更结论：证明更强的结论1ab ? 构造函数? ? ? 1
6、 F xf xf x ? ? ? ? ，则 ? ? ? ? 2 22222 1 ln 11ln1ln 1 xx xx Fxfxf xxxxx x ? ? ? ? ? ? ? ， 当01x?时 ，? ?0F x?， 得? ?F x在?0,1上 单 增 ， 有? ? ?10F xF?， 即 ? ? 1 01f xfx x ? ? ? ? . 因为01a?，故? ? ? 1 f af bf a ? ? ? ? ，又1b ?，11 a ?，? ?f x在?1,?上单减， 故 1 b a ?，1ab ? 由基本不等式知22abab? （3）用换元法做令 1 1 x a ?， 2 1 x b ?，则 21
7、 0xx?，lnlnbaabab?即为 211212 111111 lnln xxxxxx ?， 111222 lnlnxxxxxx?原问题变更为： 已知函数? ?lnf xxxx?，两相异正实数 12 ,x x满足? ? 12 f xf x?，求证： 12 2xx? 这是常规问题，交给读者 例例 8 已知函数? ?2lnf xxax?，若? 1212 ,x xxx?是? ?f x的两个零点，证明： 12 2 0 3 xx f ? ? ? ? 分析分析：? ? 2 fxa x ?，则 12 12 26 0 32 xx fa xx ? ? ? ? ? ，即证 12 6 2xx a ?，所证 结论
8、不常规，怎么办呢？ 证明证明：? ? 2 0fxa x x ?，若0a ?，则 ? ?0fx ?， ? ?f x在?0,?上单增，至 多只有一个零点，舍去；故必有0a ?，可得? ?f x在 2 0, a ? ? ? 上单增，在 2 , a ? ? ? ? 上单减， 需有 22 00fa ae ? ? ? ? 由? ? 12 0f xf x?可设 12 2 0xx a ? 法法 1：? ? 11 12221 6323 2 22 xx xxxf xf xf aaaa ? ? ? ? 构造函数 ? ? ? 3 2 x F xfxf a ? ? ? ? ，则 ? ? ? ? 132124 3 3 2
9、2262 2 xa Fxfxfaa x axxax a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， . 当 2 0x a ?时，? 228 66xaxa aaa ? ? ? ? ， ? 4 0 62 a xax ? ? ，? ?0F x?， 得? ?F x 在 2 0, a ? ? ? 上单增，有? ? 2 0F xF a ? ? ? ? ，即? ? 32 0 2 x f xfx aa ? ? ? ? ，代入 1 x即得 证 证法证法 2：由 2 2 x a ?知，可尝试证明 12 4 xx a ?，这是常规问题，交给读者幸运的是， 这个更强的结论是成立的，这样就有? 12122 426 2xxxxx aaa ? 剧透：下一讲中我们还会给出这道题的第三种证法 练习练习 3 设函数? ? x f xeaxa?，其图象与x轴交于点? 1,0 A x，? 2,0 B x，证明： ? 12 0fx x?
