1、. 这或许是史上最全的极值点偏移系列文章 公众号极值点偏移系列文章，关注后 word 分享 极值点偏移问题与题（0）偏移新花样（拐点偏移） 极值点偏移问题与题（1）对称化构造（常规套路） 极值点偏移问题与题（2）函数的选取（操作细节） 极值点偏移问题与题（3）变更结论（操作细节） 极值点偏移问题与题（4）比值代换（解题方法） 极值点偏移问题与题（5）对数平均丌等式（本质回归） 极值点偏移问题与题（6）泰勒展开（本质回归） 极值点偏移问题与题（7）好题精选一题多解 23 例 其他相关文章 极值点偏移问题与题（8）利用对数平均丌等式处理极值点偏移压轴难题 极值点偏移问题与题（9）一题学懂极值点偏移
2、五大处理套路 来源：微信公众号 中学数学研讨部落 作者：杨春波 编辑 王波 . 今天带来极值点偏移系列 第二篇文章，供大家参考 极值点偏移问题专题（0）偏移新花样（拐点偏移） 例 1 已知函数? ? 2 2lnf xxxx?，若正实数 1 x， 2 x满足? ? 12 +=4f xf x， 求证: 12 2xx?。 证明：注意到? ?1 =2f，? ? ? 12 +=21f xf xf ? ? ? 12 +=21f xf xf ? ? 2 =+210fxx x ? ? ? ? 2 2 =2fx x ?， ? ?1 =0 f? ，则（1,2）是? ?f x图像的拐点，若拐点（1,2）也是? ?f
3、 x的 对称中心，则有 12=2 xx?，证明 12 2xx?则说明拐点发生了偏移，作图如下 想到了“极值点偏移”，想到了“对称化构造”，类似地，丌妨将此问题命名为“拐点偏 移”，仍可用“对称化构造”来处理 丌妨设 12 01xx? ?，要证 ? 12 21 21 2 21 2 xx xx f xfx ? ? ? ? ? ? ? 11 11 42 42 f xfx f xfx ? ? ? ? ?2F xf xfx? ，?0,1x?，则 . ? ? ? ? 2 22 212 21 2 Fxfxfx xx xx ? ? ? ? ? ? ? ? 1 4 110 2 x xx ? ? ? ? ? ?
4、， 得? ?F x在?0,1上单增，有? ? ? ?1214F xF? ?，得证。 2、极值点偏移 PK 拐点偏移常规套路 1、 极值点偏移（? 0 0fx?） 二次函数? ? 12120 2f xf xxxx? 2、拐点偏移? 0 0fx? ? ? 120120 22f xf xf xxxx? ? ? 12201 120 2 2 f xf xxxx xxx ? ? ? ? 120201 120 22 2 f xf xf xxxx xxx ? ? . 今天带来极值点偏移系列 第 3 篇文章，供大家参考 极值点偏移问题专题（1）对称化构造（常规套路） 例 1（2010 天津） 已知函数? ?e
5、x f xx ? ? （1）求函数? ?f x的单调区间和极值； （2）已知函数? ?g x的图像不? ?f x的图像关于直线1x ?对称，证明：当1x ?时， ? ? ?f xg x? ； （3）如果 12 xx?，丏? ? 12 f xf x?，证明： 12 2xx? 点评：该题的三问由易到难，层层递进，完整展现了处理极值点偏移问题的一般方法 . 对称化构造的全过程，直观展示如下： 例 1 是这样一个极值点偏移问题：对于函数? ?e x f xx ? ?，已知? ? 12 f xf x?， 12 xx?， 证明 12 2xx? 再次审视解题过程，发现以下三个关键点： （1） 1 x， 2
6、x的范围? 12 01xx? ?； （2）丌等式? ?21f xfxx?； （3）将 2 x代入（2）中丌等式，结合? ?f x的单调性获证结论 把握以上三个关键点，就可轻松解决一些极值点偏移问题 例 2（2016 新课标卷）已知函数? ? 2 2 e1 x fxxa x?有两个零点 （1）求a的取值范围； （2）设 1 x， 2 x是? ?f x的两个零点，证明： 12 2xx? 解： （1）?0,?，过程略； （2）由（1）知? ?f x在?,1?上，在?1,?上，由? ? 12 0f xf x?，可设 12 1xx? ? 构造辅助函数? ? ?2F xf xfx? ? ? ? ? ? 2
7、 2 2 1 e21e2 1 ee xx xx Fxfxfx xaxa x ? ? ? ? ? 当1x ?时，10x? ?， 2 ee0 xx? ?， 则? ?0F x?， 得? ?F x在?,1?上， 又? ?10F?， 故? ?01F xx?，即? ?21f xfxx? 将 1 x代入上述丌等式中得? ? 121 2f xf xfx?，又 2 1x ?， 1 21x?，? ?f x在 ?1,?上 ，故 11 2xx?， 12 2xx? 通过以上两例，相信读者对极值点偏移问题以及对称化构造的一般步骤有所了解 但极值点偏移问题的结论丌一定总是? ? 120 2xxx? ?，也可以是? ? 2
8、1 20 x xx? ?，借鉴前面 . 的解题经验，我们就可给出类似的过程 例 3 已知函数? ?lnf xxx?的图像不直线ym?交于丌同的两点? 11 ,A x y，? 22 ,B x y， 求证： 12 2 1 e x x ? 证明： （i）? ?ln1fxx?，得? ?f x在 1 0, e ? ? ? 上，在 1 , e ? ? ? ? 上；当01x?时， ? ?0f x ? ；? ?10f?；当1x ?时，? ?0f x ?；当0x ? ?时，? ?0f x ?（洛必达法则） ； 当x?时，? ?f x ?，于是? ?f x的图像如下，得 12 1 01 e xx? 小结：用对称化
9、构造的方法解极佳点偏移问题大致分为以下三步： step1： 求导， 获得? ?f x的单调性， 极值情况， 作出? ?f x的图像， 由? ? 12 f xf x?得 1 x， 2 x的取值范围（数形结合） ； step2：构造辅助函数（对结论? ? 120 2xxx? ?，构造? ? ? 0 2F xf xfxx?；对结 . 论? ? 2 1 20 x xx? ?，构造? ? ? 2 0 x F xf xf x ? ? ? ? ） ，求导，限定范围（ 1 x或 2 x的范围） ，判定 符号，获得丌等式； step3：代入 1 x（或 2 x） ，利用? ? 12 f xf x?及? ?f x
10、的单调性证明最终结论 练习 1 已知函数? ? 2 lnf xxxx?，正实数 1 x， 2 x满足? ? 121 2 0f xf xx x?，求 证： 12 51 2 xx ? ? 练习 2已知函数? ?lnf xx?和? ?g xax?，若存在两个实数 1 x， 2 x，丏 12 xx?，满足 ? ? ? 11 f xg x?，? 22 f xg x?，求证： （1） 12 2exx?； （2） 2 1 2 ex x ? 未完待续 ，后面更加精彩，欢迎关注微信公众号下载 . 这或许是史上最全的极值点偏移系列文章 公众号极值点偏移系列文章，关注后按提示 word 分享 极值点偏移问题与题（0）偏移新花样（拐点偏移） 极值点偏移问题与题（1）对称化构造（常规套路） 极值点偏移问题与题（2）函数的选取（操作细节） 极值点偏移问题与题（3）变更结论（操作细节） 极值点偏移问题与题（4）比值代换（解题方法） 极值点偏移问题与题（5）对数平均丌等式（本质回归） 极值点偏移问题与题（6）泰勒展开（本质回归） 极值点偏移问题与题（7）好题精选一题多解 23 例 其他相关文章 极值点偏移问题与题（8）利用对数平均丌等式处理极值点偏移压轴难题 极值点偏移问题与题（9）一题学懂极值点偏移五大处理套路 来源：数学教师教研 QQ 群 54543319
