1、. 极值点偏移中点问题的探究 【问题特征】 极值点左偏： 120 2xxx?， 12 2 xx x ? ?处切线与 x 轴不平行； 若( )f x上凸（( )fx?递减） ，则 12 0 ()0 2 xx ffx ? ? ? ? ， 若( )f x下凸（( )fx?递增） ，则 12 0 ()0 2 xx ffx ? ? ? ? . 极值点右偏： 120 2xxx?， 12 2 xx x ? ?处切线与 x 轴不平行； 若( )f x上凸（( )fx?递减） ，则 12 0 ()0 2 xx ffx ? ? ? ? ， 若( )f x下凸（( )fx?递增） ，则 12 0 ()0 2 xx
2、ffx ? ? ? ? . 【基本策略】 （1）构造一元差函数 00 ( )()()F xf xxf xx?； （2）对函数( )F x求导，判断导数符号，确定( )F x的单调性； （3）结合(0)0F?，判断( )F x的符号，从而确定 0 ()f xx?与 0 ()f xx?的大小关系； （4）由 1200200202 ()()()()(2)f xf xf xxxf xxxfxx?得 102 ()(2)f xfxx?； 或者 1200200202 ()()()()(2)f xf xf xxxf xxxfxx?得 102 ()(2)f xfxx?. （5）结合( )f x单调性得到 102
3、 2xxx?或 102 2xxx?，从而 120 2xxx?或 120 2xxx?. 【例题呈现】 1.（2010 天津理）已知函数( )() x f xxex ? ?R. 如果 12 xx?，且 12 ()()f xf x?，证明： 12 2xx?. 【解析】方法一：( )(1) x fxx e?. 令( )(1)0 x fxx e?，则1x ?. 所以( )f x在区间(,1)?内是增函数，在区间(1,)?内是减函数. . 函数( )f x在1x ?处取得极大值(1)f. 且 1 (1)f e ?. 记( )(1)(1)F xfxfx?，则 12 ( )(1)(1)(1) xx F xfx
4、fxxee ? ? ?. 当0x ?时，( )0F x?，当0x ?时，( )0F x?. 于是( )F x在 R 上是增函数. 因此，当0x ?时，( )(0)0F xF?，即(1)(1)fxfx?. 若 12 (1)(1)0xx?，由( )f x单调性及 12 ()()f xf x?，得 12 xx?，与 12 xx?矛盾； 若 12 (1)(1)0xx?，由( )f x单调性及 12 ()()f xf x?，得 12 xx?，与 12 xx?矛盾； 因此 12 (1)(1)0xx?. 不妨设 12 1xx? ?， 12222 ()()(1 (1)(1(1)(2)f xf xfxfxfx?
5、， 因为 2 1x ?，所以 2 21x?，又 1 1x ?，又( )f x在区间(,1)?内是增函数， 所以 12 2xx?，即 12 2xx?. 方法二：由题意： 1221 2 12 1 xxxx x x ex ee x ? ?，设 21( 0)txxt?，则 21 xtx? ?， 21 21 1 1 1 xxt t xtxt eex xt e ? ? ? ? ， 21 1 t t xtxt e ? ? ? ? ， 12 2 1 t t xxt e ? ? ? ，因为 12 2xx? 2 2 1 t t t e ? ? ?(2)(1)20 t tet?， 设( )(2)(1)2 (0) t
6、 g ttet t?，( )(1)1 t g tte?，( )0 t g tte?， ( )g t?在(0,)t?上单调递增，( )(0)0g tg?，所以( )g t在(0,)t?上单调递增，( )(0)0g tg?， 从而(2)(1)20 t tet?，即 12 2xx?. （注：也可利用 2 1 (1) x tt x ?换元来实现） 【点评】两种方法均是为了实现将双变元的不等式转化为单变元的不等式，方法一利用归纳的通法通过消 元来实现，法二则是通过换元来实现， 12 ,x x能否用代换的变元 t 来表示是关键。 变式 1：已知函数( )lnf xxax?，a 为常数，若函数( )f x有
7、两个零点 12 ,x x，试证明： 2 1 2 x xe?. 【解析】方法一：化归为归纳的题型与方法： ln ( )0lnln x f xxaxxae?， 12 ,x x是方程( )0f x ?的两根，也是 ln ln x xae?的两根， 则 12 ln, lnxx是 x xae?的两根，设 1122 ln,lnux ux?，( ) x g xxe?，则 12 ()()g ug u?， 2 1 2 x xe? 12 lnln2xx? 12 2uu?，后续证明同题 1. 方法二：集中变元后换元的证法： 1122 ln0,ln0xaxxax?， 1212 lnln()xxa xx?， 1212
8、lnln()xxa xx?， . 12 12 lnlnxx a xx ? ? ? ，欲证明 2 1 2 x xe?，即证 12 lnln2xx?，因为 1212 lnln()xxa xx?， 所以即证 12 2 a xx ? ? ，所以原命题等价于证明 12 1212 lnln2xx xxxx ? ? ? ， 即证 112 12 212 2() ln() xxx xx xxx ? ? ? ，令 1 2 x t x ?，则1t ?，设 2(1) ( )ln(1) 1 t g ttt t ? ? ? ， 2 22 14(1) ( )0 (1)(1) t g t t tt t ? ? ? ，所以(
9、)g t在(1,)?单调递增，又因为(1)0g?，所以( )(1)0g tg?， 所以 2(1) ln 1 t t t ? ? ? ，所以 2 1 2 x xe?. 方法三：直接换元证法： 12 12 lnlnxx xx ? 22 11 ln ln xx xx ?，设 12 xx?， 2 1 (1) x tt x ?，则 21 xtx?， 1 1 ln ln tx t x ? 1 1 lnln ln tx t x ? ? 1 ln ln 1 t x t ? ? ， 21 ln lnln 1 tt xtx t ? ? ， 2 1 2 x xe? 12 lnln2xx? 1ln 2 1 t t t
10、 ? ? ? ? 2(1) ln 1 t t t ? ? ? 【点评】1.方法一通过取对数化归到极值点左移，对方程的合理变形是关键（这正是解决方程与不等式问 题的关键所在） ，因为要证 12 lnln2xx?，因此变形的方向是： 12 ln, lnxx是新构建的函数的两个零点，1 是该函数的极值点。 2.方法二是在方程组 1122 ln0,ln0xaxxax?无法求解得根的情况下，变形消去变元 a，将原不等式转 换为证明 12 1212 lnln2xx xxxx ? ? ? ，集中变元后换元实现化单变元，方法三是先构建 12 ,xx的等量关系 12 12 lnlnxx xx ?，再直接换元 2
11、 1 (1) x tt x ?来实现化单变元. 变式 2：设函数( )() x f xeaxa a?R，其图象与 x 轴交于 1 (,0)A x， 2 (,0)B x两点，且 12 xx?. （1）证明： 1 2 ()0fx x?（( )fx?为函数( )f x的导函数） ； （2）证明： 1 212 x xxx?. 【解析】 （1）法一：因为 1 2 1 2 0, 0, x x eaxa eaxa ? ? ? ? ? ? 两式相减得 21 21 xx ee a xx ? ? ? 记 21 (0) 2 xx s s ? ?，则 12 12 212 12 2 21 ()2() 22 xx xx
12、xx ss xxeee fesee xxs ? ? ? ? ? ? ? ? ， 设( )2() ss g ssee?，则( )2()0 ss g see?，所以( )g s是单调减函数， 则有( )(0)0g sg?，而 12 2 0 2 xx e s ? ?，所以 12 ()0 2 xx f ? ?. 又( ) x fxea?是单调增函数，且 12 1 2 2 xx x x ? ?，所以 1 2 ()0fx x?. . 法二： lnxa?是( )f x的极小值点，易证 12 lnxax?， 设( )(ln)(ln)(2 )(0) xx F xfaxfaxa eexx ? ?，( )(2)0
13、xx F xa ee?， ( )F x在(0,)?单调递增，因此( )(0)0F xF?，即0x ?时，(ln)(ln)faxfax?. 易证 12 lnxax?，所以 2 2lnlnaxa?， 因此 12222 ()()(ln(ln )(ln(ln )(2ln)f xf xfaxafaxafax?， 因为( )f x在(,ln )a?上单调递减，所以 12 2lnxax? 12 ln 2 xx a ? ?，即 12 1 2 ln 2 xx x xa ? ?， 又( ) x fxea?是单调增函数，所以 1 2 ()(ln )0fx xfa?. （2）法一： 1 2 1 2 (1), (1),
14、 x x ea x ea x ? ? ? ? ? ? ? 21 2 1 1 1 xx x e x ? ? ? ? ? 21 (1) (1)2 1 1 1 xx x e x ? ? ? ? ? ，设 1122 1,1uxux?， 易证 12 01uu? ?. 21 2 1 uu u e u ? ?，设 2 1 (1) u tt u ?， 21 utu?， 1 (1)tu et ? ? 1 ln 1 t u t ? ? ， 2 ln 1 tt u t ? ? ， 1 212 x xxx? 12 (1)(1)1xx? 1 2 1u u ? 2 ln 1 1 t t t ? ? ? ? ? ? ln1
15、 1 t tt ? ? ? 1 lntt t ? 1 2lntt t ?. 设 1 ( )2ln(1)g xxxx x ?， 2 2 (1) ( )0 x g x x ? ?，( )g x在(1,)?上单调递减， 所以( )(1)0g xg?，1t ?1t ?()0gt ? 1 2lntt t ?，从而 1 212 x xxx?. 法二： 1 ( )0(1) x f xxe a ? ?， 12 ,xx也是方程 1 (1) x xe a ? ?的两根，( )(1) x xxe? ? ?， 12 1 ()()xx a ?， ( )(2) x xx e? ? ?，所以( ) x?在(,2)?递增，(
16、2,)?递减，易证明： 12 12xx?， 因为 1 212 x xxx? 12 (1)(1)1xx? 12 ln(1)ln(1)0xx?. 设 1122 ln(1),ln(1)uxux?，由 12 12xx? 12 0uu?， 因此原问题 1 212 x xxx? 12 0uu?， ( )0(1)lnln(1) x f xea xxax? ln(1) (1)ln(1)lnln(1)ln x xxaexa ? ?， 12 ,xx是方程 ln(1) ln(1)ln x exa ? ?的两根，则 12 ,uu是ln x exa?的两根， 设( ) x g xex?， 12 ()()g ug u?，
17、( )1 x g xe?， . (0)0 g? ?，且( )g x在(,0)?单调递减，在(0,)?单调递增， 利用归纳的方法证明极小值点0x ?右偏， 12 0 2 uu? ?即 12 0uu?，从而 1 212 x xxx?. 【点评】1. 12 1 20 ()()()0 2 xx fx xffx ? ?化归为极值点偏移问题需借助( )fx?的单调性； 2.第二问化归的过程关键是对方程的变形。 2.已知函数 1 ( )ln()f xaxa x ?R. （1）若 a=2，求函数( )f x在 2 (1,)e上的零点个数（e 为自然对数的底数） ； （2）若( )f x有两零点 1212 ,(
18、)x xxx?，求证： 1 12 231 a xxe ? ?. 【解析】 （1）由题设， 2 1 ( ) x fx x ? ?，故( )f x在 2 (1,)e上单调递减， 所以( )f x在 2 (1,)e上至多只有一个零点. 又 2 2 1 (1) ()0ff e e ?，故( )f x在 2 (1,)e上只有一个零点. （2）证明： 先证 12 2xx?. 法一：利用通法证明 1 ( )lnf xax x ?的极值点 x=1 向左偏移，即 12 1 2 xx? ?. 法二：直接换元法化单变元：依题设，有 12 12 11 lnlnaxx xx ?，于是 212 1 21 ln xxx x
19、 xx ? ?， 记 2 1 (1) x t t x ?，则 1 1 ln t t tx ? ?，故 1 1 ln t x tt ? ?. 于是 2 121 1 (1) ln t xxx t tt ? ?， 2 12 1 2(ln ) 2 2 ln t t t xx t ? ? ?. 记函数 2 1 ( )ln(1) 2 x g xxx x ? ?. 因 2 2 (1) ( )0 2 x g x x ? ?，故( )g x在(1,)?上单调递增 于是1t ?时，( )(1)0g tg?. 又ln0t ?，所以， 12 2xx?. 再证 1 12 31 a xxe ? ?. 因( )0f x ?
20、( )1ln0h xaxxx? ?，故 12 ,xx也是( )h x的两零点. 由( )1ln0h xax? ?，得 1a xe ? ?，且 1a xe ? ?，( )0h x?， 1a xe ? ?，( )0h x?. 利用通法证明( )1lnh xaxxx? ?的极值点 1a xe ? ?向右偏移， . 所以 112 2 a xx e ? ? ?即 1 12 2 a xxe ? ?，由 12 2xx?即 12 1 2 xx? ?得： 111212 1212 3()3 1()()23 222 aa xxxx xxxxee ? ? ? 1 12 31 a xxe ? ?. 【点评】1. 方程的变形的方向： 12 ,xx是函数( )f x的两个零点，1 是该函数的极值点. 12 ,xx是函数( )h x的两个零点， 1a e ? 是该函数的极值点. 2.难点 1 12 31 a xxe ? ?的证明依赖利用 12 2xx?放缩.
