1、7.3.3 余弦函数的性质与图像余弦函数的性质与图像 课后篇巩固提升 基础达标练 1.函数 y=cos( )的图像的两条相邻对称轴间的距离为( ) A. B. C. D. 解析 y=cos( )的最小正周期 T= . 其相邻两条对称轴间的距离为半个周期,故两条相邻对称轴间的距离为 d= . 答案 B 2.(多选)设函数 f(x)=cos x+ ,则下列结论正确的是( ) A.f(x)的一个周期为 2 B.y=f(x)的图像关于直线 x=- 对称 C.f x+ 的一个零点为 D.f(x)在 , 上单调递减 解析已知函数 f(x)=cos x+ . 在 A 中,由余弦函数的周期性得 f(x)的一个
2、周期为 2,故 A 正确; 在 B 中,函数 f(x)=cos x+ 的对称轴满足条件 x+ =k,kZ,即 x=k- ,kZ,所以 y=f(x)的图像关于 直线 x=- 对称,故 B 正确; 在 C 中,f x+ =cos x+ =-sin x,-sin =0,所以 f x+ 的一个零点为 ,故 C 正确; 在 D 中,函数 f(x)=cos x+ 在 , 上先减后增,故 D 错误. 答案 ABC 3.函数 y=sin2x-cos x+1 的最大值为 . 解析 y=sin2x-cos x+1=-cos2x-cos x+2 =- cos x+ 2+ . -1cos x1, 当 cos x=-
3、时,ymax= . 答案 4.已知函数 y=a-bcos x 的最大值是 ,最小值是- ,求函数 y=-4bsin ax的最大值、最小值及周期. 解-1cos x1,由题意知 b0. 当 b0 时,-b-bcos xb, a-ba-bcos xa+b. - - 解得 y=-4bsin ax=-4sin x. 最大值为 4,最小值为-4,最小正周期为 4. 当 b0)的图像中与 y轴距离最近的最高点的坐标为( ) A. ,1 B.(,1) C.(0,1) D.(2,1) 解析作出函数 y=-cos x(x0)的图像(图略),由图易知,与 y轴距离最近的最高点的坐标为(,1). 答案 B 2.若把
4、函数 y=3cos 2x+ 的图像上的所有点向右平移 m(m0)个单位后,所得到的图像关于 y轴对 称,则 m的最小值是( ) A. B. C. D. 解析 y=3cos 2x+ y=3cos 2 x+ -m . 因为图像关于 y 轴对称,所以当 x=0 时,2 0+ -2m=k(kZ),m= (kZ),当 k=0 时,m= ,故选 C. 答案 C 3.函数 y=-xcos x 的部分图像是( ) 解析令 y=f(x),因为 f(x)的定义域为 R,f(-x)=-(-x)cos(-x)=xcos x=-f(x), 所以函数 y=-xcos x是奇函数,图像关于原点对称,所以排除 A,C; 因为
5、当 x 0, 时,y=-xcos x0,函数 f(x)=cos -x 在 , 上单调递减,则 的取值范围是( ) A.(0,2 B. 0, C. D. 解析令 t= -x,则函数 f(x)=cos -x , 由 y=cos t及 t= -x 复合而成, 因为 0, 所以 t= -x 为减函数, 要使得函数 f(x)=cos -x 在 , 上单调递减, 则 y=cos t必须单调递增, 令-+2kt2k(kZ), 即-+2k -x2k(kZ), 解得 x (kZ), 要使得函数 f(x)=cos -x 在 , 上单调递减, 则 , (kZ), 即 - - 解得 - - 当 k=0时, . 答案
6、D 5.设函数 f(x)=cos( )+1,有以下结论: 点(- )是函数 f(x)图像的一个对称中心; 直线 x= 是函数 f(x)图像的一条对称轴; 函数 f(x)的最小正周期是 ; 将函数 f(x)的图像向右平移 个单位后,对应的函数是偶函数. 其中所有正确结论的序号是 . 解析f(x)的图像是由 y=cos( )向上平移 1 个单位得到, y=cos( )的对称中心的纵坐标为 0, f(x)的对称中心的纵坐标为 1,故错; 当 x= 时,f(x)取得最小值 0, x= 是 f(x)的一条对称轴,故正确; T= =,故正确; f(x)的图像向右平移 个单位后,得到 y=cos 2x+1的
7、图像,它是偶函数,故正确. 答案 6.已知函数 f(x)=2cos x(0),且函数 y=f(x)的图像的两相邻对称轴间的距离为 . (1)求 f( )的值; (2)将函数 y=f(x)的图像向右平移 个单位后,再将得到的图像上各点的横坐标伸长到原来的 4倍,纵坐 标不变,得到函数 y=g(x)的图像,求 g(x)的单调递减区间. 解(1)因为 f(x)的周期 T=,故 =,所以 =2. 所以 f(x)=2cos 2x.所以 f( )=2cos . (2)将 y=f(x)的图像向右平移 个单位后,得到 y=2cos( - )的图像,再将所得图像上各点的横坐标变 为原来的 4 倍,纵坐标不变,得
8、到 y=2cos 的图像, 所以 g(x)=2cos( - ). 当 2k 2k+(kZ), 即 4k+ x4k+ (kZ)时,g(x)单调递减,因此 g(x)的单调递减区间为* + (k Z). 素养培优练 已知函数 f(x)=2cos 2x+ ,xR. (1)求函数 f(x)的单调递增区间; (2)当 x - 时,方程 f(x)=k 恰有两个不同的实数根, 求实数 k的取值范围; (3)将函数 f(x)=2cos 2x+ 的图像向右平移 m(m0)个单位后所得函数 g(x)的图像关于原点中心对 称,求 m的最小值. 解(1)由余弦函数的单调性,解不等式 2k+2x+ 2k+2,kZ, 得 +kx +k,kZ,所以函数 f(x)的单调递增区间为 +k, +k ,kZ. (2)函数 f(x)=2cos 2x+ 的单调递增区间为 +k, +k ,kZ,单调递减区间为 +k, +k ,kZ, 又 x*- +,所以函数 f(x)在 - ,- 上单调递增,在 - 上单调递减, 则 f - =0,f - =2,f =- , 所以当 0k0)个单位, 得到图像对应的函数为 g(x)=2cos 2x+ -2m , 则 g(x)是奇函数, g(0)=2cos 0+ -2m =0, 即 -2m=k+ ,kZ, 则 m=- ,kZ, 因为 m0,所以当 k=-1 时,mmin= .
