1、8.1.28.1.2 向量数量积的运算律向量数量积的运算律 课标阐释 1.掌握向量数量积的运算律,并要注意运算律的适用范围以及与实 数乘法运算律的区别. 2.会应用运算律进行相关的计算或证明等问题. 思维脉络 激趣诱思 知识点拨 没有规矩不成方圆,国家法律保障每个公民的权利不受侵害,校规 可为每个学生创造一个良好的学习生活环境可见,世间事物往 往要遵循一定的规律和法则才能生存.初中我们学过实数的乘法运 算及乘法中的一些运算律,那么向量的数量积又满足哪些运算律呢? 激趣诱思 知识点拨 知识点:向量数量积的运算律 已知向量a,b,c与实数,则 交换律 a b=b a (a) b=(a b)=a (
2、b) 分配律 (a+b) c=a c+b c 激趣诱思 知识点拨 名师点析 (1)在实数运算中,若ab=0,则a与b中至少有一个为0.但是 在向量数量积的运算中,不能由a b=0推出a=0或b=0.事实上,当a0 时,由a b=0不能推出b一定是零向量,这是因为对任意一个与a垂直 的非零向量b,都有a b=0.实际上,由a b=0可推出以下四种结论: a=0,b=0;a=0,b0;a0,b=0;a0,b0,但ab. (2)已知实数a,b,c(b0),则ab=bca=c.但对于 向量的数量积,该推理不正确,即a b=b c a=c, 因为a b=b c(b0)表示向量c,a在向量b方向上的 投影
3、的数量相等,并不能说明a=c.如图所示, 虽然a b=b c,但ac. (3)对于实数a,b,c,有(a b)c=a(b c).但对于向量a,b,c,(a b)c=a(b c)未 必成立.这是因为(a b)c表示一个与c共线的向量,而a(b c)表示一个 与a共线的向量,而c与a不一定共线,所以(a b)c=a(b c)未必成立. 激趣诱思 知识点拨 微练习 已知|a|=2,|b|=5,=120,求(2a-b) a. 答案13 解析(2a-b) a=2a2-b a=2 22-5 2 - 1 2 =13. 微判断 (1)(a b) c=a (b c).( ) (2)若ab,则a b=0.( )
4、(3)若ab,则a b0.( ) (4)(a) b=(a b)(R).( ) 答案(1) (2) (3) (4) 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 向量数量积的计算向量数量积的计算 例1已知两个单位向量e1与e2的夹角为60,求: (1)e1 e2;(2)(2e1-e2) (-3e1+2e2);(3)(e1+e2)2. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解(1)e1 e2=|e1|e2|cos 60=1 2. (2)由(1)可知 e1 e2=1 2,|e1|=|e2|=1, 所以(2e1-e2) (-3e1+2e2) =-61 2+3e2 e1+4e1 e2-222 =-6
5、|e1|2+3 1 2+4 1 2-2|e2| 2 =-6+7 2-2=- 9 2. (3)(e1+e2)2=(e1+e2) (e1+e2) =1 2+e1 e2+e2 e1+22 =1 2+2e1 e2+22=1+1+1=3. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 求向量的数量积时,常用到的结论 (1)a2=|a|2; (2)(xa+yb) (mc+nd)=xma c+xna d+ymb c+ynb d,其中x,y,m,nR,类 似于多项式的乘法法则; (3)(a+b)2=a2+2a b+b2; (4)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a b+2b c+2a c. 同时还
6、要注意几何性质的应用,将向量适当转化,转化的目的是用 上已知条件. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 延伸探究对本例变形:已知 e1,e2是两个单位向量,且 (2e1-e2) (-3e1+2e2)=-9 2,求. 解设=,0, 则(2e1-e2) (-3e1+2e2)=-61 2+7e1 e2-222=-6+7 cos -2=-9 2.因此 cos =1 2,又 0,则 = 3,即= 3. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 向量的夹角和垂直问题向量的夹角和垂直问题 例2已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)b,则a与b的夹角为 ( ) A. 6 B. 3 C.
7、2 3 D.5 6 分析利用夹角公式计算. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解析设夹角为,因为(a-b)b, 所以(a-b) b=a b-b2=0, 所以a b=b2, 答案B 所以 cos = | = |2 2|2 = 1 2.又 0, 所以 a 与 b 的夹角为 3,故选 B. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 延伸探究若将本例条件改为“|a|=3|b|=|a+2b|”,试求a与b夹角的余 弦值. 解设a与b夹角为,因为|a|=3|b|, 所以|a|2=9|b|2. 又|a|=|a+2b|,所以|a|2=|a|2+4|b|2+4a b =|a|2+4|b|2+4|a|
8、b|cos =13|b|2+12|b|2cos , 即9|b|2=13|b|2+12|b|2cos , 故有 cos =-1 3. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 例 3 已知非零向量 m,n 的夹角为 ,且满足 4|m|=3|n|,cos =1 3.若 n (tm+n),则实数 t 的值为( ) A.4 B.-4 C.9 4 D.-9 4 分析利用向量垂直的充要条件求参数. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解析由4|m|=3|n|, 可设|m|=3k,|n|=4k(k0), 又n(tm+n), 所以n (tm+n)=n tm+n n =t|m|n|cos +|n|2
9、所以t=-4. 答案B =t 3k 4k 1 3+(4k) 2=4tk2+16k2=0. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 1.求向量夹角问题的两种思路 (1)数量积 a b 与模积|a|b|好求解,直接用变形公式 cos = |求值定 角. (2)a b 与|a|b|不好求,可采用寻求两者关系,再用变形公式 cos = | 求值定角. 2.两个向量的夹角与其数量积的关系 (1)向量a,b夹角为锐角的等价条件是a b0,且a与b不同向共线. (2)a,b夹角为钝角的等价条件是a b0). (1)a 与 b 能垂直吗? (2)若 a 与 b 夹角为 60,求 k 的值. 解(
10、1)因为|ka+b|=3|a-kb|, 所以(ka+b)2=3(a-kb)2,且|a|=|b|=1. 即 k2+1+2ka b=3(1+k2-2ka b), 所以 a b= 2+1 4 . 因为 k2+10,所以 a b0,即 a 与 b 不垂直. (2)因为 a 与 b 夹角为 60,且|a|=|b|=1, 所以 a b=|a|b|cos 60=1 2. 所以 2+1 4 = 1 2.所以 k=1. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 向量在几何中的应用向量在几何中的应用 例 4 已知ABC 三边长分别为 a,b,c,以 A 为圆心,r 为半径作圆,如图 所示,PQ 为直径,试判断
11、P,Q 在什么位置时, 有最大值? 分析由三角形法则构造 与 的数量积,然后转化为在实数范围 内求最大值. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解因为 = , + = , 即 =- =- , 所以 =( ) (- ) =- + 2 + = -r2+ ( ) = -r2+ =| | |cosBAC-r2+ =bccosBAC-r2+ . 当 与 同向时, 最大,且最大值为| | |=ra, 即当 与 共线且同方向时, 有最大值 bccosBAC+ar-r2. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 向量数量积在平面几何应用中的解题策略 (1)利用运算律结合图形先化简再运算.
12、 (2)注意向量的夹角与已知平面几何中的角的关系(相等还是互补). 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练2如图,半圆的直径AB=4,O为圆心,C为半圆上不同于A,B 的任意一点,若P为半径OC上的动点,则 的最小值等 于( ) A.2 B.0 C.-1 D.-2 ( + ) 解析 + =2 ,且| |+| |=2, ( + ) =2 =-2| | |=-2| |(2-| |)=2| |2-4| |=2(| |-1)2-2.当 | |=1 时,( + ) 有最小值-2. 答案D 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 平方转化法求向量的模平方转化法求向量的模 由 a a=|a
13、|2(|a|= )得到启示:求向量的模时,可先平方,后开方. 典例 已知|a|=|b|=5,向量a与b的夹角为 ,求|a+b|,|a-b|. 提示一先利用|a+b|2=(a+b)2,|a-b|2=(a-b)2求出后再开方. 提示二利用向量加法的平行四边形法则,a+b,a-b分别是平行四边 形的对角线对应的向量,利用向量的几何意义在三角形中求解. 3 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解(方法一)|a+b|= ( + )2= |2+ |2+ 2 5 2 + 52+ 2 5 5 cos 3=53. |a-b|= (-)2= |2+ |2-2 = 52+ 52-2 5 5 cos 3=5.
14、 (方法二)以 a,b 为邻边作平行四边形 ABCD,如图. |a|=|b|,且DAB= 3, ABD 为正三角形. |a-b|=| |=5. |a+b|=| |=2| |=2 | |2-| |2 =2 52- 5 2 2 =53. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 方法点睛 求向量的模的常见解法有两种,一种是利用a2=|a|2求解, 特别注意不要忘记开方.另一种是把向量求模问题转化到平面几何 中的长度计算上来. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 1.已知|a|=2,b是单位向量,且a与b夹角为60,则a (a-b)等于( ) 解析a (a-b)=a2-a b=4-21co
15、s 60=3. 答案C A.1 B.2-3 C.3 D.4-3 2.已知a,b是非零向量,且满足(a-2b)a,(b-2a)b,则=( ) A. 6 B. 3 C.2 3 D.5 6 解析由题意知 a2=2a b,b2=2a b, 所以|a|=|b|,a b=1 2|a| 2, 所以 cos= | = 1 2,即= 3. 答案B 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 3.已知向量a,b满足a b=0,|a|=1,|b|=2,则|2a-b|= . 解析|2a-b|= (2-)2 = 42-4 + 2= 8=22. 答案 22 4.在ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=3,BC=10,则
16、 = . 解析 =( + ) ( + )= 2 + + + =| |2+( + ) +| | |cos =9-25=-16. 答案-16 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 5.已知两单位向量a与b的夹角为120.若c=2a-b,d=3b-a,求c与d的 夹角的余弦值. 解a,b 是两个单位向量,|a|=|b|=1. 又a 与 b 的夹角为 120, a b=|a|b|cos 120=-1 2. |c|2=c c=(2a-b) (2a-b) =4a2-4a b+b2=4|a|2-4a b+|b|2=7, |c|=7. |d|2=d d=(3b-a) (3b-a)=9b2-6a b+a2=13,|d|=13. c d=(2a-b) (3b-a)=6a b-3b2-2a2+a b=-17 2 , cos=- 17 2713=- 1791 182 .
