1、章末整合 专题一 专题二 专题三 专题四 专题一 扇形的弧长、面积公式的应用 例1已知扇形的圆心角为,所在圆的半径为r. (1)若=120,r=6,求扇形的弧长; (2)若扇形的周长为24,当为多少弧度时,该扇形面积S最大?并求出 最大面积. 解(1)=120=120 180 = 2 3 ,r=6, l=r=2 3 6=4. (2)设扇形的弧长为 l,则 l+2r=24,即 l=24-2r(0r12),扇形的面积 S=1 2lr= 1 2(24-2r)r=-r 2+12r=-(r-6)2+36,当且仅当r=6时,S有最大值36, 此时 l=24-2 6=12,= = 12 6 =2 rad.
2、专题一 专题二 专题三 专题四 方法规律弧度制下解决扇形相关问题的步骤 (2)分析题目的已知量和待求量,灵活选择公式. (3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解. (1)明确弧长公式和扇形的面积公式:l=r,S=1 2r 2 和 S=1 2lr.(这里 必 须是弧度制下的角) 专题一 专题二 专题三 专题四 变式训练1用一根长为10 m的绳索围成一个圆心角小于,且半径不 超过3 m的扇形场地,设扇形的半径为x m,面积为S m2. (1)写出S关于x的函数表达式,并求出该函数的定义域; (2)当半径x和圆心角为多大时,所围扇形的面积S最大,并求出最大 值. 专题一 专题二 专题三 专题四
3、解(1)设扇形弧长为 l,则 l=10-2x, S=1 2lx=(5-x)x=-x 2+5x, 由 0 3, 0 10-2 - 2 2 ;(2)tan 3 3 ;(3)|sin |1 2. 解(1)如图,由余弦线知角 的取值范围是 2k-3 4 2k+3 4 ,kZ . 专题一 专题二 专题三 专题四 (2)如图,由正切线知角 的取值范围是 k- 2|sin |的角的集合. 解如图,作出单位圆. 所以角 满足的集合为 k- 40,cos 0 知|sin |cos |,故 tan =-12 5 . 答案-12 5 专题一 专题二 专题三 专题四 (2)解由sin+cos sin-cos =2,化
4、简,得 sin =3cos , 所以 tan =3. (方法一)换元 原式= 33cos -cos 23cos +3cos = 8cos 9cos = 8 9. (方法二)弦化切 原式= 3tan -1 2tan +3 = 33-1 23+3 = 8 9. 原式=sin 2-2sincos sin2+cos2 +1 =tan 2-2tan tan2+1 +1=3 2-23 32+1 +1=13 10. 专题一 专题二 专题三 专题四 名师点析 1.sin +cos ,sin -cos ,sin cos 三个式子中,已知其中 一个,可以求其他两个,即“知一求二”,它们之间的关系是(sin cos
5、 )2=12sin cos . 2.已知tan =m,求关于sin ,cos 的齐次式的值 解决这类问题需注意以下两点:(1)一定是关于sin ,cos 的齐次式 (或能化为齐次式)的三角函数式;(2)因为cos 0,所以可除以cos , 这样可将被求式化为关于tan 的表示式,然后代入tan =m的值,从 而完成被求式的求值. 专题一 专题二 专题三 专题四 变式训练 3 已知 tan =-4 5. (1)求 sin-cos sin+cos的值; (2)求 2sin2-sin cos +1 的值. 解(1) sin-cos sin+cos = sin cos - cos cos sin co
6、s + cos cos = tan-1 tan+1 = -4 5-1 -4 5+1 =-9. (2)2sin2-sin cos +1=2sin 2-sincos sin2+cos2 +1= 2si n2 co s2 -sin cos co s2 si n2 cos 2+ cos 2 cos 2 +1=2tan 2-tan tan 2+1 +1 = 2(-4 5) 2-(-4 5) (-4 5) 2+1 +1=93 41. 专题一 专题二 专题三 专题四 专题四 利用三角函数的图像与性质解题 例 4 函数 f(x)=2sin(x+) 其中 0,| 2 ,若函数 f(x)的图像与 x 轴的任意两个
7、相邻交点间的距离为 2,且函数 f(x)的图像过点(0,1). (1)求 f(x)的解析式; (2)求 f(x)的单调递增区间; (3)求 f(x)在 - 2,0 内的值域. 专题一 专题二 专题三 专题四 解(1)因为函数 f(x)的图像与 x 轴的任意两个相邻交点间的距离为 2, 所以函数 f(x)的周期为 ,由 T=2 =,得 =2,又函数 f(x)的图像过点 (0,1), 所以 f(0)=1,即 2sin =1,而|0,b 为常数)的函数的单调区间,可以借助于正弦函数、余弦函数的单 调区间,通过解不等式求得. 3.具体求解时注意两点:要把x+看作一个整体,若0,0时,将“x+”代 入正
8、弦(或余弦)函数的单调区间,可以解得与之单调性一致的单调 区间;当A0时用同样方法可以求得与正弦(余弦)函数单调性 相反的单调区间. 专题一 专题二 专题三 专题四 变式训练 4 已知函数 f(x)=2sin 2+ (0). (1)当 = 3时,在给定的坐标系内,用“五点法”做出函数 f(x)在一个周 期内的图像; (2)若函数 f(x)为偶函数,求 的值; (3)在(2)的条件下,求函数在-,上的单调递减区间. 专题一 专题二 专题三 专题四 解(1)当 = 3时,f(x)=2sin 2 + 3 , 列表如下: x 2 + 3 0 2 3 2 2 x -2 3 3 4 3 7 3 10 3
9、f(x)=2sin x 2 + 3 0 2 0 -2 0 专题一 专题二 专题三 专题四 作出函数 f(x)=2sin 2 + 3 的一个周期内的图像,如图所示, 专题一 专题二 专题三 专题四 (2)函数 f(x)为偶函数,= 2+k(kZ), 00),且当x 0, 2 时,f(x)的最大值 为 3 ,最小值是-2,求 a 和 b 的值. 专题一 专题二 专题三 专题四 (1)解析 y=cos 2x+2sin x-2 =-sin 2x+2sin x-1=-(sin x-1)2. 因为-1sin x1,所以-4y0,所以函数 y=cos2x+2sin x-2,xR 的 值域为-4,0. 答案-
10、4,0 (2)解0 x 2,- 32x- 3 2 3 , - 3 2 sin 2x- 3 1,f(x)max=a+b= 3, f(x)min=- 3 2 a+b=-2. 由 + = 3, - 3 2 + = -2, 得 = 2, = -2 + 3. 专题一 专题二 专题三 专题四 规律方法三角函数最值问题的常见类型及求解方法 (1)y=asin2x+bsin x+c(a0),可以利用换元思想设t=sin x,转化为二次 函数y=at2+bt+c求最值,t的范围需要根据定义域来确定. (2)y=Asin(x+)+b,可先由定义域求得x+的范围,然后求得 sin(x+)的范围,最后得最值. 专题一 专题二 专题三 专题四 变式训练5函数y=sin 2x+cos x的最大值为 . 解析 y=sin2x+cos x=-cos2x+cos x+1=- cos x-1 2 2+5 4,故 cos x= 1 2 时,ymax=5 4. 答案5 4
