1、8.1.38.1.3 向量数量积的坐标运算向量数量积的坐标运算 课标阐释 1.掌握向量数量积的坐标表示,会进行向量数量积的坐标运算. 2.能利用向量数量积的坐标运算解决有关长度、角度、垂直等相 关问题. 思维脉络 激趣诱思 知识点拨 “我知道,我一直有双隐形的翅膀,带我飞,飞过绝望.不去想他们拥 有美丽的太阳,我看见每天的夕阳也会有变化,我知道,我一直有双 隐形的翅膀,带我飞,给我希望”如果能为平面向量的数量积插 上“翅膀”,它又能飞多远呢?本节课我们来学习平面向量数量积的 “翅膀”坐标表示,它使平面向量的数量积同时具有几何形式和 代数形式的“双重身份”,从而可以使几何问题数量化,把定性研究推
2、 向定量研究. 激趣诱思 知识点拨 知识点:向量数量积的坐标表示 1.由向量坐标的定义可知,存在单位正交基底e1,e2,使得 a=x1e1+y1e2,b=x2e1+y2e2,因此 a b=(x1e1+y1e2) (x2e1+y2e2)=x1x2e1 e1+x1y2e1 e2+y1x2e2 e1+y1y2e2 e2 =x1x2+y1y2,从而a b=x1x2+y1y2. 2.当 a=(x1,y1),b=(x2,y2)都不是零向量时,因为|a|2=a a=1 2 + 1 2,|b|2=b b=22 + 2 2,所以 cos= 12+12 1 2+12 22+22. 3.在平面直角坐标系中,如果A(
3、x1,y1),B(x2,y2),则 =(x2-x1,y2-y1),从而 =(x2-x1)2+(y2-y1)2,因此| |= (2-1)2 + (2-1)2. 4.ab 的充要条件是 a b=0,因此 abx1x2+y1y2=0. 激趣诱思 知识点拨 名师点析 (1)公式a b=|a|b|cos与a b=x1x2+y1y2都是求两向 量的数量积,没有本质区别,只是书写形式上的差异,两者可以相互 推导.若题目中给出的是两向量的模与夹角,则可直接利用公式 a b=|a|b|cos求解;若已知两向量的坐标,则可选用公式 a b=x1x2+y1y2求解. (2)当 x1x2+y1y20 时, 0, 2
4、;当 x1x2+y1y2=0 时,= 2.因此可以用向量数量积的坐标形式判断夹角的 范围、三角形的形状等. 激趣诱思 知识点拨 微思考 向量数量积的坐标表示公式有什么特点?应用时应注意什么? 提示公式的特点是对应坐标相乘后再求和,在解题时要注意坐标的 顺序. 微练习 已知a=(3,-1),b=(1,-2),求a b,|a|,|b|,. 解a b=3 1+(-1) (-2)=5, |a|= 32+ (-1)2= 10,|b|= 12+ (-2)2= 5, cos= | = 5 10 5 = 1 2 = 2 2 , 又0,180,=45. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 向量数量积的坐
5、标运算向量数量积的坐标运算 例1已知向量a=(3,-1),b=(1,-2). (1)求(a+b)2; (2)求(a+b) (a-b). 分析利用a b=x1x2+y1y2(其中a=(x1,y1),b=(x2,y2)等基本公式计算. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解(1)a+b=(3,-1)+(1,-2)=(4,-3), (a+b)2=|a+b|2=42+(-3)2=25. (2)(方法一)a=(3,-1),b=(1,-2), a2=32+(-1)2=10,b2=12+(-2)2=5, (a+b) (a-b)=a2-b2=10-5=5. (方法二)a=(3,-1),b=(1,-2)
6、, a+b=(3,-1)+(1,-2)=(4,-3), a-b=(3,-1)-(1,-2)=(2,1), (a+b) (a-b)=(4,-3) (2,1)=42+(-3)1=5. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 向量数量积运算的途径及注意点 (1)进行向量数量积的运算,前提是牢记有关的运算法则和运算性质, 解题时通常有两条途径:一是先将各向量坐标表示,直接进行数量 积运算;二是先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知计算. (2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目,只需把握图形的特 征建立平面直角坐标系,并写出相应点的坐标即可求解. 探究一 探究二 探究三 素养形成
7、 当堂检测 延伸探究本例中,若存在向量c满足a c=-1,b c=3,试求c. 解设向量 c=(x,y), 则 3- = -1, -2 = 3, 解得 = -1, = -2, 故 c=(-1,-2). 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 利用向量数量积解决长度和夹角问题利用向量数量积解决长度和夹角问题 例2已知向量a=(3,-4),b=(2,x),c=(2,y),且ab,ac,求b,c及b与c的 夹角. 解a=(3,-4),b=(2,x),ab, 3x=2 (-4),解得 x=-8 3. 又 c=(2,y),ac,3 2-4y=0, 解得 y=3 2, 则 b= 2,- 8 3 ,c=
8、 2, 3 2 , b c=2 2-8 3 3 2=0,即 bc,=90. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 利用向量数量积的坐标表示求向量夹角的步骤 (1)求向量的数量积. (3)求夹角的余弦值cos . (4)求角.由向量夹角的范围及cos 求的值. (2)求模.利用|a|= 2+ 2计算两向量的模. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 例 3 已知向量 a=(-2,-1),a b=10,|a-b|= 5,则|b|=( ) A.2 5 B.2 10 C.20 D.40 解析设 b=(x,y),由 a=(-2,-1),a b=10,可得-2x-y=10. a-b=
9、(-2-x,-1-y), 所以|a-b|= (-2-)2+ (-1-)2= 5. 由可得 x=-4,y=-2. 所以 b=(-4,-2),|b|= (-4)2+ (-2)2=2 5. 答案A 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练1在ABC中, =(2,3), =(1,k),且ABC的一个内角为直 角,求 k 的值. 解当 A=90时, =0, 所以 2 1+3 k=0.所以 k=-2 3. 当 B=90时, =0, = =(1-2,k-3)=(-1,k-3), 所以 2 (-1)+3 (k-3)=0.所以 k=11 3 . 当 C=90时, =0, 所以-1+k(k-3)=0,
10、所以 k=3 13 2 . 因此,当 k=-2 3或 k= 11 3 或 k=3 13 2 时,ABC 的一个内角为直角. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 利用向量数量积的坐标运算求解几何问题利用向量数量积的坐标运算求解几何问题 例4已知在正方形ABCD中,E,F分别是CD,AD的中点,BE,CF交于点P. 求证:BECF. 分析建立平面直角坐标系,求 和 的坐标,计算 =0. 证明以 A 为坐标原点,AB,AD 所在直线分别为 x 轴,y 轴,建立如图所 示的平面直角坐标系. 设 AB=2,则 A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1). 因为 =(-1
11、,2), =(-2,-1), 所以 =(-1) (-2)+2 (-1)=0, 所以 ,即 BECF. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 向量法证明平面几何中 BECF 的方法 (方法一)(1)选取一组向量作基底;(2)用基底表示 和 ;(3)证明 =0;(4)给出几何结论 BECF. (方法二)先求 , 的坐标, =(x1,y1), =(x2,y2),再计算 的 值为 0,从而得到几何结论 BECF. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 2 已知三点 A(2,1),B(3,2),D(-1,4). (1)求证: ; (2)要使四边形 ABCD 为矩形,求点
12、C 的坐标,并求 cos. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 (1)证明A(2,1),B(3,2),D(-1,4), =(1,1), =(-3,3). 又 =1 (-3)+1 3=0, . (2)解 ,四边形 ABCD 为矩形, = . 设点 C 坐标为(x,y),则(1,1)=(x+1,y-4). + 1 = 1, -4 = 1, 得 = 0, = 5.C 点坐标为(0,5). =(-2,4), =(-4,2), =8+8=16,| |=2 5,| |=2 5. 则 cos= | | | = 16 20 = 4 5. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 向量中的数形结合思想
13、向量中的数形结合思想 数形结合思想就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图 形、位置关系结合起来,通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象 思维与形象思维的结合,可以使复杂问题简单化,使抽象问题具体 化,从而起到优化解题途径的目的.向量中的数形结合思想应关注 以下几点: (1)向量的几何表示关注方向. (2)向量运算中的三角形、平行四边形法则使向量具备形的特征. (3)向量的坐标表示和坐标运算又具备数的特征. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 典例 在ABC 中,BC 边上的中线 AD 的长为 2,P 是ABC 所在平面 上的任意一点,则 + 的最小值为( ) A.1 B.2 C
14、.-2 D.-1 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解析建立如图所示的平面直角坐标系,使得点 D在原点处,点 A 在 y 轴上,则 A(0,2). 设点 P的坐标为(x,y), 则 =(-x,2-y), =(-x,-y),故 + = ( + )=2 =2(x2+y2-2y) =2x2+(y-1)2-2-2, 当且仅当 x=0,y=1时等号成立. 所以 + 的最小值为-2. 答案C 方法点睛 建立平面直角坐标系,将所求问题转化为向量的数量积 的坐标运算求解. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 1.若 a=(2,-3),b=(x,2x),且 3a b=4,则 x 等于( ) A
15、.3 B.1 3 C.-1 3 D.-3 解析 3a b=3(2x-6x)=-12x=4,所以 x=-1 3. 答案C 2.已知向量 a=(1, 3),b=(-2,2 3),则=( ) A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 解析设 a 与 b 的夹角为 ,则 cos = | = 1(-2)+ 32 3 24 = 1 2,因为 0,所以 = 3. 答案C 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 3.已知向量 a=(2,4),b=(-2,2),若 c=a+(a b)b, 则|c|=,cos= . 解析 c=a+(a b)b=a+4b=(-6,12),|c|= (-6)2+ 122=6 5.
16、cos= | = -4+8 4+16 4+4 = 10 10 . 答案 6 5 10 10 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 4.已知 =(2,4), =(1,3),则 = . 解析因为 =(2,4), =(1,3), 所以 = =(-1,-1),所以 =2 (-1)+4 (-1)=-2+(-4)=-6. 答案-6 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 5.设向量a=(1,-1),b=(3,-4),x=a+b,为实数,试证明:使|x|最小的向 量x垂直于向量b. 证明因为|x|2=x x=|a|2+2|b|2+2a b, 所以 x2=252+14+2= 5 + 7 5 2 + 1 25. 当 5+7 5=0,即 =- 7 25时,|x|最小. 此时 x=a- 7 25b= 4 25 , 3 25 . 又 x b= 4 25 3- 3 25 4=0, 所以使|x|最小的向量 x 与 b 垂直.
