1、 椭圆的离心率与几何性质椭圆的离心率与几何性质 1.若椭圆的一短轴端点与两焦点连线成 120 角，则该椭圆的离心率为 . 2.若椭圆的一个焦点与短轴的两个顶点可构成一个等边三角形,则椭圆的离心率为（ ） 1123 . . . . 4222 ABCD 3.在一椭圆中以焦点 F1、F2为直径两端点的圆，恰好过短轴的两顶点，则此椭圆的离心率 e 等于（ ）. A 1 2 B 2 2 C 3 2 D 2 5 秒杀秘籍：秒杀秘籍：椭圆离心率的计算 定义：如图所示，P 为椭圆的上顶点，令 122 ,PFFOPF，离心 率就是sincos c e a 例例 1：已知直线220 xy经过椭圆 22 22 1
2、(0) xy ab ab 的一个顶 点和一个焦点,那么这个椭圆的方程为_,离心率为_. 解 ：解 ： 220;2,00,1xy直线过点；, 故 过 椭 圆 的 上 顶 点 和 左 焦 点 ， 根 据 图 形 可 得 2,1,5cba；故椭圆方程为 2 2 1 5 x y， 2 5 5 c e a 椭圆顶点三角形与离心率：椭圆顶点三角形与离心率：如右图， 2 tan1 b e a ， 例例 2：椭圆 )0(1 2 2 2 2 ba b y a x 的四个顶点为 A、B、C、D,若菱形 ABCD 的内切圆恰好过焦点,则椭圆的离心率是( ) A. 2 53 B. 8 53 C. 2 15 D. 8
3、15 解：解：根据图形可得 222 22 tan bcc bacacac ab ac ； 即 2 2 2 51 110, 2 cc eee aa （黄金椭圆 2 bac） 半通径的焦点三角形与离心率：半通径的焦点三角形与离心率：如右图，过椭圆右焦点作垂直于 x 轴的直线 交椭圆于点 P，则 2 2 b PF a ， 12 ,FPF 2 2 222 222 1 cos 12 b a b a ace acea 例例 3： 设椭圆的两个焦点分别为 1 F, 2 F,过 2 F作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若 12 FPF为等腰直角三角 形,则椭圆的离心率为_ . 解：解：根据图形可得 2 2 2 2
4、 22 12 cos21 122 e ee e 例例 4：椭圆 22 1 123 xy 的两个焦点为 F1，F2, 点 P 在椭圆上，若线段 PF1的中点在 y 轴上，则|PF1|是|PF2| 的 倍。 解：解： 由题意可知， 3 2 e ， 根据线段 PF1的中点在 y 轴上可以知道 2 PFx 轴， 2 2 2 1 11 cos= 17 PFe PFe 4.椭圆的两个焦点和短轴两个顶点，是一个含 60角的菱形的四个顶点，则椭圆的离心率为 ( ) A. 2 1 B. 2 3 C. 3 3 D. 2 1 或 2 3 5.椭圆的长轴为 12, A A B为短轴一端点,若 12 ABA=120o,
5、则椭圆的离心率为( ) A. 3 3 B. 6 3 C. 3 2 D. 1 2 6.椭圆1 2 2 2 2 b y a x (ab0)的左焦点 F 到过顶点 A(a, 0), B(0, b)的直线的距离等于 7 b ，则椭圆的离心率 为（ ） A. 2 1 B. 5 4 C. 77 6 D. 77 6 7.以 1 F、 2 F为焦点的椭圆 22 22 xy ab =1(0ab)上一动点P,当 12 FPF最大时 12 PFF的正切值为 2,则此 椭圆离心率e的大小为_ 8.已知椭圆 22 22 1 (0) xy ab ab ,A是椭圆长轴的一个端点,B是椭圆短轴的一个端点,F为椭圆的一 个焦点
6、. 若ABBF,则该椭圆的离心率为 （ ） A. 51 2 B. 51 2 C. 51 4 D. 51 4 9.过椭圆)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的左焦点 1 F做x轴的垂线交椭圆于点P, 2 F为右焦点,若 21PF F=60 ,则椭 圆的离心率为( ) A. 2 2 B. 3 3 C. 2 1 D. 3 1 10.椭圆 2 2 1 4 x y的两个焦点为 1 F、 2 F,过 1 F作垂直于x轴的直线与椭圆相交,一个交点为P,则P到 2 F的距 离为( ) A. 3 2 B.3 C. 7 2 D.4 11.已知 12 ,F F是椭圆的两个焦点，过 1 F且与椭圆长轴垂
7、直的直线交椭圆于 A，B 两点，若AB 2 F是正三角 形，则这个椭圆的离心率为（ ） A 3 3 B 2 3 C 2 2 D 3 2 12.已知椭圆)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的两个焦点为 F1、F2，过 F2做垂直于 x 轴的直线与椭圆相交，一个交 点为 P，若PF1F2=30，那么椭圆的离心率是 （ ） Asin30 Bcos30 Ctan30 Dsin45 13.设 F1、F2为椭圆的两个焦点，A 为椭圆上的点，且0 212 FFAF，cosAF1F2 3 22 ，则椭圆的离心 率为( ) A. 8 10 B. 4 10 C. 4 2 D. 2 2 14.椭圆的焦
8、距、短轴长、长轴长成等差数列，则这个椭圆的离心率是 . 15.已知 F1是椭圆的左焦点，A 和 B 分别为右顶点和上顶点，P 是椭圆上一点， 11 PFF A，ABPO/， 则这个椭圆的离心率是 . 16.已知 F1 F2是椭圆的左、 右焦点， A 和 B 分别为右顶点和上顶点， P 是椭圆上一点， 11 PFF A，ABPF / 2 ， 则这个椭圆的离心率是 . 例例 5：已知椭圆 22 12 1 2516 xy FF ， 、为焦点，点 P 为椭圆上一点， 12 30FPF，求 21PF F S。 解解：设 12 ,.PFm PFn 12 2 22 10 1 2 16 62cos302 1
9、cos30 1 sin303 2 F PF mn mnmnmn Smn V 12 32 16 3 F PF S V 。 另解： 12 2 2 22 6sin30 106sin30 111 sin3032 16 3 2222cos3041 cos30 F PF mn Smn 即： V 例例 6：已知 P 是椭圆1 2 2 2 2 b y a x 上一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，若P F1F2=600，P F2 F1=300，则 该椭圆的离心率为（ ） A 13 B 2 3 C ) 13(2 D 2 13 解：解：P F1F2=600，P F2 F1=300可知： 12 1212 2 31 2
10、sin30sin60 FFcc e aaFFFF 秒杀秘籍：秒杀秘籍： 焦点三角形面积与离心率取值范围 椭圆 22 22 1 xy ab 焦点为 F1、F2，P 为椭圆上的点， 12 FPF，则 12 22 sin =tan 1 cos2 F PF Sbb V ； 证：证：设 12 ,.PFm PFn 12 2 22 22 21 2 22cos212 1 cos 1 sin3 2 F PF mna b cmnmnmn Smn 得： V 12 222 22 2 2 2sin cossin 3tan 1 cos2cos2 F PF Sbbb 代入得： V 推论与应用：推论与应用：（注意：r 为内切
11、圆半径） （1）直角三角等面积法：如右图，当 12 PFPF时，有 12 2 2 2 2 P F PFP c yb Sby c V ； 12 22 2 2 F PF mn Sbmnb V ；ra c ； 12 1212 21 2sinsin2sin45 FFcc e aaFFFF 。 （2）任意角度的等面积法： 12 2 12 1 tantan 22 F PFP Sc ybPF PFac r V uuu r uuu r （3）最大面积、最大夹角问题：当点 P 位于椭圆的短轴顶点时， 12 2 2 P F PFP c y Sc ybc V 取最大值， 根据等面积原理，此时 12 2 22 =ta
12、ntan F PF c Sbbc b V 。 （4） 直角顶点的讨论： 当 12 2 2 =tan FPF Sbbc V 时，取得最大值， 若90， 则45 2 ， 2 tan1 c b ； 同理，若90，则45 2 ， 2 tan1 c b ；若90，则45 2 ， 2 tan1 c b 。在分析直角顶 点个数时，当cb时， 12 PFPF有四个点 P 存在；当cb时， 12 PFPF有两个点 P 存在；当cb时， 12 PFPF无点 P 存在。（注意： 12 PFPF与 12 Rt PFF的区别） （5）已知的度数，求椭圆离心率的取值范围：假设为椭圆的最大角，则 2 1sine ； 例例
13、7：已知 P 是椭圆 22 1 43 xy 上的一点,F1、F2是该椭圆的两个焦点,若 PF1F2的内切圆半径为 1 2 ,则 12 PFPF的值为( ) A. 3 2 B. 9 4 C. 9 4 D.0 解：解： 利用等面积法： 12 2 12 111 tantan3tan(2 1)tan 222222 F PF SbPF PFac r V uuu r uuu r ； 2 2 2 2tan4 tan 1 tan3 ； 12 1212 3149 2234 F PF SPF PFPF PF V uuu r uuu ruuu r uuu r 。 例例 8：椭圆 22 1 259 xy 的焦点分别为
14、 F1、F2, P 是椭圆上位于第一象限的点，若 PF1F2的内切圆半径为 4 3 ， 则点 P 的纵坐标为（ ） A2 B3 C4 D2 3 解：解：利用等面积法： 12 3 FPFPP Sc yac ry V 例例 9：若椭圆1 34 22 yx 的两个焦点 1 F、 2 F，试问：椭圆上是否存在点P，使90 21PF F？存在， 求出点P的纵坐标；否则说明理由。 性质：性质：当点 P 从右至左运动时， 21PF F由锐角变成直角，又变成钝角，过了 Y 轴之后，对称地由钝角变 成直角再变成锐角，并且发现当点 P 与短轴端点重合时， 21PF F达到最大。 22 cb， 2 tan1 c b
15、 ，则45 2 ， 12 PFPF无点 P 存在。 例例 10：椭圆1 49 22 yx 的焦点为 Fl、F2，点 P 为其上动点，当 21PF F为钝角时，点 P 横坐标的取值范 围是_。 解：解： 根据上题的性质， 当 12 PFPF时， 有 12 2 2 2 2 P F PFP c yb Sby c V ， 2 4 5 P b y c 时， 21PF F 为钝角，故 3 5 3 5 x-, 55 。 例例 11：已知 1 F、 2 F是椭圆)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的两个焦点，椭圆 上一点P使90 21PF F，求椭圆离心率e的取值范围。 解：解：利用焦点三角形性
16、质，设短轴一端点为B则 22 45tan 21 bbS PFF bcbcS BFF 2 2 1 21 bc 2 b 2 c 22 ca 2 c 2 2 2 a c e 2 1 故 2 2 e1 例例 12：已知椭圆 22 1 49 xy 的两个焦点分别为 12 ,F F，点 P 在椭圆上，若 P、F1、F2是一个直角三角形的三 个项点， 12 PFPF，则 1 2 PF PF 的值是 。 解：解： 若 1 F或 2 F是直角顶点， 则点 P 到x轴的距离为半通径的长 2 4 3 b a ， 12 14 2 3 PFaPF 1 2 7 2 PF PF ； 2 max tan1 c b 则 max
17、 45 2 ，则当 P 是直角顶点时，则 12 122 tan4tan454 22 F PF PF PF Sb ，又又 12 26PFPFa，故 12 4;2PFPF； 1 2 2 PF PF 。 17.已知椭圆 22 12 1 259 xy FF ， 、为焦点，点 P 为椭圆上一点， 12 3 FPF ，求 21PF F S。 18.设P为椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 上一点， 1 F， 2 F为焦点，如果 12 75PFF， 21 15PF F，则 椭圆的离心率为（ ） A 1 2 B 2 2 C 3 3 D 6 3 19.已知 12 F、F是椭圆 22 22 :1(0)
18、xy Cab ab 的两个焦点，p为椭圆C上的一点，且 12 PFPF。若 12 PFF的面积为 9，则b . 20.点P是椭圆 22 1 2516 xy 上一点, 1 F, 2 F是椭圆的两个焦点,且 12 PFF的内切圆半径为1,当P在第一象限 内时,P点的纵坐标为_. 21.已知 1 F、 2 F是椭圆的两个焦点，满足 12 0MF MF的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围 （ ） A(0,1) B 1 (0, 2 C 2 (0,) 2 D 2 ,1) 2 22.已知 P 是椭圆1 925 22 yx 上的点， 1 F、 2 F分别是椭圆的左、 右焦点， 若 2 1 | 21 21
19、 PFPF PFPF ， 则 21PF F 的面积为（ ） A. 33 B. 32 C. 3 D. 3 3 23.已知 1 F、 2 F是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点， 21F PF满足3:2:1: 211221 PFFFPFFPF， 则此椭圆的离心率是_ 24：已知椭圆)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的两焦点分别为, 21 FF若椭圆上存在一点,P使得,1200 21 PFF 求椭圆的离心率e的取值范围。 25.已知椭圆 2 2 2 1(1) x ya a 的两个焦点分别为 1 F, 2 F,P为椭圆上一点,且 12 60FPF,则 12 | |PFPF的值等于 26.椭
20、圆1 4 2 2 y x 的左右焦点为 1 F、 2 F， P 是椭圆上一点，当 21PF F的面积为 1 时， 21 PFPF 的值 为（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 6 27. 椭圆1 4 2 2 y x 的左右焦点为 1 F、 2 F， P 是椭圆上一点，当 21PF F的面积最大时， 21 PFPF 的值 为（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 2 28. 已知点 P 在椭圆 22 1 4520 xy 上,左、右焦点分别为 12 ,F F，若 PF1与 PF2互相垂直，则点 P 的坐标 为 . 29.已知椭圆 22 1 169 xy 的左、右焦点分别为 12 ,F F
21、，点 P 在椭圆上，若 P、F1、F2是一个直角三角形的三个 项点，则点 P 到x轴的距离为 。 30. 已 知 椭 圆 22 1 95 xy 的 两 个 焦 点 分 别 为 12 ,F F， 点P在 椭 圆 上 ， 若 1 2 1 2 PF PF ， 则 12 cosFPF= 。 31. 已 知 椭 圆 22 1 84 xy 的 两 个 焦 点 分 别 为 12 ,F F， 在 椭 圆 上 满 足 12 PFPF的 点 P 的 个 数 是 。 32. 已知椭圆 22 1 4020 xy 的两个焦点分别为 12 ,F F， 12 FPF为直角三角形，这样的点 P 的个数 是 。 33.P 为椭
22、圆1 1625 22 yx 上一点,左、右焦点分别为 F1,F2.(1)若 PF1的中点为 M,求证|MO|= 2 1 5|PF1|;(2)若 F1PF2=60 ,求|PF1|PF2|之值.(3)求|PF1|PF2|的最值。 34.P 是椭圆 22 22 1 xy ab (0)ab上一点，,E F是两个焦点，O是椭圆中心， 若POF是面积为3的 正三角形，求 2 b的值。 35.已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴， 1 F、 2 F为焦点，点 P 在椭圆上，直线 1 PF与 2 PF倾斜角的 差为90， 21PF F的面积是 20，离心率为 3 5 ，求椭圆的标准方程. 36.设椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 12 FFA， ，是椭圆上的一点， 212 AFFF，原点O到 直线 1 AF的距离为 1 1 3 OF证明2ab A O 1 F 2 F B x
