1、. 20132013 年高考数学总复习年高考数学总复习 8 8- -8 8 曲线与方程曲线与方程( (理理) )但因为测试但因为测试 新人教新人教 B B 版版 1.已知椭圆的焦点为F1、F2，P是椭圆上一个动点，延长F1P 到 点Q，使|PQ|PF2|，则动点Q的轨迹为( ) A圆 B椭圆 C双曲线一支 D抛物线 答案 A 解析 |QF1|PF1|PQ|PF1|PF2|2a， 动点Q的轨迹是以F1为圆心，2a为半径的圆 2(2010重庆一中)已知平面上两定点A、B的距离是 2，动点M满足条件MA MB 1，则动点M的轨迹是( ) A直线 B圆 C椭圆 D双曲线 答案 B 解析 以线段AB中点
2、为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则A(1,0)， B(1,0)，设M(x，y)， MA MB 1，(1x，y)(1x，y)0， x 21y20，故选 B. 3(2011银川一中二模)方程x1lg(x 2y21)0 所表示的曲线图形是( ) 答案 D 解析 原方程等价于? ? x10 x 2y211 或? ? x 2y210 x10 ， x 2y22(x1)或 x1(y0)，故选 D. . 4过椭圆x 2 9 y 2 41 内一点 R(1,0)作动弦MN，则弦MN中点P的轨迹是( ) A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线 答案 B 解析 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x，y)，
3、则 4x 2 19y 2 136,4x 2 29y 2 236， 相减得 4(x1x2)(x1x2)9(y1y2)(y1y2)0， 将x1x22x，y1y22y，y 1y2 x1x2 y x1代入可知轨迹为椭圆 5平面的斜线AB交于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交于点C， 则动点C的轨迹是( ) A一条直线 B一个圆 C一个椭圆 D双曲线的一支 答案 A 解析 过定点A且与AB垂直的直线l都在过定点A且与AB垂直的平面内，直 线l与的交点C也是平面、的公共点点C的轨迹是平面、的交线 6(2011天津市宝坻区质量检测)若中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的顶点 是椭圆x 2 2y 21
4、短轴端点，且该双曲线的离心率与此椭圆的离心率之积为 1，则该双曲线 的方程为( ) Ax 2y21 By 2x21 C.x 2 4y 21 D.y 2 4x 21 答案 B . 解析 椭圆x 2 2y 21 的短轴端点为(0，1)， 离心率e1c a 2 2 . 双曲线的顶点(0，1)，即焦点在y轴上， 且a1，离心率e2c a 2，c 2，b1. 所求双曲线方程为y 2x21.故选 B. 7F1、F2为椭圆x 2 4 y 2 31 的左、右焦点，A 为椭圆上任一点，过焦点F1向F1AF2的 外角平分线作垂线，垂足为D，则点D的轨迹方程是_ 答案 x 2y24 解析 延长F1D与F2A交于B，
5、连结DO，可知|DO|1 2|F 2B|1 2(|AF 1|AF2|)2， 动点D的轨迹方程为x 2y24. 8(2011聊城月考)过点P(1,1)且互相垂直的两条直线l1与l2分别与x、y轴交于 A、B两点，则AB中点M的轨迹方程为_ 答案 xy10 解析 设l1：y1k(x1)，则l2：y11 k(x1)， l1与x轴交点A(11 k，0)， l2与y轴交点B(0,11 k)，设 AB中点M(x，y)，则 ? ? ? ? ? x1 2 1 k y1 2 1 k ，消去k得，x y10. 9(2011宿迁模拟)已知两条直线l1：2x3y20 和l2：3x2y30，有一动 圆(圆心和半径都动)
6、与l1、l2都相交，且l1、l2被圆截得的弦长分别是定值 26 和 24，则 圆心的轨迹方程是_ 答案 (x1) 2y265 解析 设P(x，y)，动圆半径为r，P到l1，l2的距离分别为d1、d2，由题意知d 2 1 169r 2d2 2144，d 2 2d 2 125，即 x2y 2 13 x3y 2 13 25， 整理得，(x1) 2y265. . 10(2011新课标全国理，20)在平面直角坐标系中xOy中，已知点A(0，1)，B 点在直线y3 上，M点满足MB OA ，MA AB MB BA ，M点的轨迹为曲线C. (1)求C的方程； (2)P为C上的动点，l为C在P点处的切线，求O
7、点到l距离的最小值 解析 (1)设M(x，y)，由已知得B(x，3)又A(0，1)，所以MA (x，1 y)，MB (0，3y)，AB (x，2) 再由题意可知(MA MB )AB 0， 即(x，42y)(x，2)0. 所以曲线C的方程为y1 4x 22. (2)设P(x0，y0)为曲线C：y1 4x 22 上一点 因为y1 2x，所以 l的斜率为1 2x 0. 因此直线l的方程为yy01 2x 0(xx0)， 即x0x2y2y0x 2 00. 所以O点到l的距离d|2y 0x 2 0| x 2 04 .又y01 4x 2 02， 所以d 1 2x 2 04 x 2 04 1 2? ? ? ?
8、 ? ? x 2 04 4 x 2 04 2. 当x00 时取等号，所以O点到l距离的最小值为 2. 11.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，点M在棱AB上，且AM1 3，点 P是平面ABCD 上的动点，且动点P到直线A1D1的距离与点P到点M的距离的平方差为 1，则动点P的轨 迹是( ) A圆 B抛物线 C双曲线 D直线 答案 B . 解析 由P向AD作垂线垂足为N，由题意知|PN| 21|PM|21， |PN|PM|，即动点P到直线AD的距离等于动点P到点M的距离，点P的轨迹 是抛物线 12(2011天津模拟、深圳模拟)设圆(x1) 2y225 的圆心为 C，A(1,0)是圆内一
9、 定点，Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程 为( ) A.4x 2 21 4y 2 251 B.4x 2 21 4y 2 251 C.4x 2 25 4y 2 211 D.4x 2 25 4y 2 211 答案 D 解析 M为AQ垂直平分线上一点， |AM|MQ|. |MC|MA|MC|MQ|CQ|5，(5|AC|) M点轨迹是以A、C为焦点，长轴长为 5 的椭圆， a5 2，c1，则 b 2a2c221 4 ， 椭圆的标准方程是4x 2 25 4y 2 211. 13(2010浙江台州)在一张矩形纸片上，画有一个圆(圆心为O)和一个定点F(F在 圆外)
10、在圆上任取一点M，将纸片折叠使点M与点F重合，得到折痕CD.设直线CD与直 线OM交于点P，则点P的轨迹为( ) A双曲线 B椭圆 C圆 D抛物线 答案 A 解析 由OP交O于M可知|PO|PF|PO|PM|OM|3) 解析 如下图，|CA|CB|AE|BF|AD|BD|63) 15(2011西安模拟)已知定点A(0，1)，点B在圆F：x 2(y1)216 上运动， F为圆心，线段AB的垂直平分线交BF于P. (1)求动点P的轨迹E的方程；若曲线Q：x 22axy2a21 被轨迹 E包围着，求实 数a的最小值； (2)已知M(2,0)，N(2,0)，动点G在圆F内，且满足|MG|NG|OG|
11、2(O 为坐标 原点)，求MG NG 的取值范围 解析 (1)由题意得|PA|PB|. |PA|PF|PB|PF|4|AF|2， 动点P的轨迹E是以A、F为焦点的椭圆 设该椭圆的方程为y 2 a 2x 2 b 21(ab0)， 则 2a4,2c2，即a2，c1，故b 2a2c23， 动点P的轨迹E的方程为y 2 4 x 2 31， x 22axy2a21 即(xa)2y21， 曲线Q是圆心为(a,0)，半径为 1 的圆 而轨迹E为焦点在y轴上的椭圆，其左、右顶点分别为( 3，0)，( 3，0) 若曲线Q被轨迹E包围着，则 31a 31， a的最小值为 31. (2)设G(x，y)，由|MG|N
12、G|OG| 2得： . x 2y2 x 2y2x2y2. 化简得x 2y22，即 x 2y22， MG NG (x2，y)(x2，y) x 2y242(y21) 点G在圆F：x 2(y1)216 内，x2(y1)2|OF|， 又|OM|为O的半径为定值，故点P的轨迹是以F，O为焦点的椭圆 5(2011青岛模拟)圆O：x 2y216，A(2,0)，B(2,0)为两个定点直线 l是圆 O的一条切线， 若经过A、B两点的抛物线以直线l为准线，则抛物线焦点的轨迹是( ) A双曲线 B椭圆 C抛物线 D圆 答案 B 解析 设抛物线的焦点为F，因为A、B在抛物线上， . 所以由抛物线的定义知，A、B到F的
13、距离AF、BF分别等于A、B到准线l的距离AM、 BN， 过O作OPl，由于l是圆O的一条切线，所以四边形AMNB是直角梯形，OP是中位 线，故有|AF|BF|AM|BN|2|OP|84|AB|. 根据椭圆的定义知，焦点F的轨迹是一个椭圆 6(2010河北正定中学模拟)已知A、B分别是直线y 3 3 x和y 3 3 x上的两个 动点，线段AB的长为 23，P是AB的中点，则动点P的轨迹C的方程为_ 答案 x 2 9y 21 解析 设P(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2) P是线段AB的中点， ? ? ? ? ? xx 1x2 2 yy 1y2 2 A、B分别是直线y 3 3 x和y
14、3 3 x上的点， y1 3 3 x1和y2 3 3 x2. 代入中得， ? ? ? x1x22 3y y1y22 3 3 x 又|AB |2 3，(x1x2) 2(y 1y2) 212. 12y 24 3x 212，动点 P的轨迹C的方程为x 2 9y 21. 7(2011苏州模拟)已知1 m 2 n1(m0，n0)，当 mn取得最小值时，直线y2x 2 与曲线x|x| m y|y| n 1 的交点个数为_ 答案 2 解析 11 m 2 n2 2 mn，mn8. 当且仅当1 m 2 n时，即 m2，n4 时等号成立曲线为x|x| 2 y|y| 4 1. . 当x0，y0 时，表示椭圆y 2 4 x 2 21 的一部分；当 x0 时，表示双曲线y 2 4 x 2 2 1 的一部分；当x0，y0 时，表示双曲线x 2 2 y 2 41 的一部分，当 x0，y0 时，曲线不存 在如上图知，交点个数为 2.
