1、1 江苏省如皋市 2021 届高三上学期第一次教学质量调研 数学试题 202010 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1已知复数 z 满足(1i)z2i，其中 i 为虚数单位，则复数 z 的模为 A3B2C1D2 2已知集合 Aln(2)x yx，B 2 , A x y yx，则 AB A(，2)B(，4)C(0，2)D(0，4) 3已知，是三个不同的平面，且m，n，且 mn 是的 A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 4函数( )sin(ee)
2、 xx f x 的图像大致为 5 九章算术是我国古代的一本数学著作全书共有方田，粟米，衰分，少广，商宫，均 输，盈不足，方程和勾股共九章，收录 246 个与生产、生活实践相关的实际应用问题在 第六章“均输”中有这样一道题目： “今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各 有几何？”其意思为： “现有五个人分 5 钱，每人所得成等差数列，且较多的两份之和等 于较少的三份之和，问五人各得多少？”在该问题中，任意两人所得的最大差值为 A 1 3 B 2 3 C 1 6 D 5 6 6在三棱锥 PABC 中，PA面 ABC，ABC 是边长为 2 的正三角形，且 PA3，则 二面角 PBCA 的大小为
3、 A30B45C60D无法确定 2 7在平面直角坐标系 xOy 中，点 F 是椭圆 C： 22 22 1 xy ab (ab0)的左焦点，A 为椭圆 的上顶点，过点 A 作垂直于 AF 的直线分别与 x 轴正半轴和椭圆交于点 M，N，若 AM 3MN ，则椭圆 C 的离心率 e 的值为 A 2 2 B 51 2 C 1 2 D 1 3 8已知全集 UN, 12020 xxnn，若集合 AU，BU，AB，A，B 的元素个数相同，且对任意的 nA，2nB，则 AB 的元素个数最多为 A20B18C16D以上结果都不正确 二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分在每小题给出
4、的四个选项中， 至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 C： 22 22 1 xy ab (a0，b0)的离心率为 5 2 ， 且双曲线 C 的左焦点在直线 xy50 上，A，B 分别是双曲线 C 的左，右顶点， 点 P 是双曲线 C 的右支上位于第一象限的动点，记 PA，PB 的斜率分别为 1 k， 2 k，则下 列说法正确的是 A双曲线 C 的渐近线方程为 y2xB双曲线 C 的方程为 2 2 1 4 x y C 1 k 2 k为定值 1 4 D存在点 P，使得 1 k 2 k1 10已知等比数列 n a的公比 q0，等差数
5、列 n b的首项 1 0b ，若 99 ab，且 1010 ab， 则下列结论一定正确的是 A 910 0a aB 910 aaC 10 0bD 910 bb 11设，是两个相交平面，则下列说法正确的是 A若直线 m，则在平面内一定存在无数条直线与直线 m 垂直 B若直线 m，则在平面内一定不存在与直线 m 平行的直线 C若直线 m，则在平面内一定存在与直线 m 垂直的直线 D若直线 m，则在平面内一定不存在与直线 m 平行的直线 12关于函数( )ecos x f xax，x(，)，下列说法正确的是 3 A当 a1 时，( )f x在 x0 处的切线方程为 yx B若函数( )f x在(，)
6、上恰有一个极值，则 a0 C对任意 a0，( )f x0 恒成立 D当 a1 时，( )f x在(，)上恰有 2 个零点 三、填空题（本大题共 4 小题， 每小题 5 分，共计 20 分请把答案填写在答题卡相应位置 上） 13命题 p： “x0，x20”的否定p： 14为弘扬我国古代的“六艺文化”，某学校欲利用每周的社团活动课可设“礼” “乐” “射” “御”“书”“数”6 门课程，每周开设一门，连续开设六周若课程“乐”不排在第 一周，课程“书”排在第三周或第四周，则所有可能的排法种数为 15已知 F 是抛物线 C： 2 2ypx(p0)的焦点，设点 A(p，1)，点 M 为抛物线 C 上任意
7、 一点，且 MAMF 的最小值为 3，则 p，若线段 AF 的垂直平分线交抛物线 C 于 P、Q 两点，则四边形 APFQ 的面积为（本题第一空 2 分，第二空 3 分） 16在梯形 ABCD 中，ADBC，ABBC，AD2AB2BC 2，将ABC 沿对角线 AC 翻折到AMC，连结 MD当 三棱锥 MACD 的体积最大时，该三棱锥的外接球的表面 积为 四、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤） 17 （本小题满分 10 分） 在 1 a， 2 a， 5 a成等比数列，且2 nn Tb； 2 42 SS，且 1 1 2(
8、) 2 n n T 这两个条 件中任选一个填入下面的横线上并解答 已知数列 n a是公差不为 0 的等差数列， 1 1a ，其前 n 项和为 n S，数列 n b的前 n 项和为 n T，若 （1）求数列 n a， n b的通项公式； （2）求数列 n n a b 的前 n 项和 n Q 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 18 （本小题满分 12 分） 如图，在六面体 ABCDA1B1C1D1中，AA1CC1，底面 ABCD 是菱形，且 A1D平面 4 AA1C （1）求证：平面 AB1C平面 A1DB； （2）求证：BB1DD1 19 （本小题满分 12 分） 如图，在平面直角
9、坐标系 xOy 中，已知等轴双曲线 E： 22 22 1 xy ab (a0，b0)的左 顶点 A，过右焦点 F 且垂直于 x 轴的直线与 E 交于 B，C 两点，若ABC 的面积为21 （1）求双曲线 E 的方程； （2）若直线 l：ykx1 与双曲线 E 的左，右两支分别交于 M，N 两点，与双曲线 E 的两条渐近线分别交于 P，Q 两点，求 MN PQ 的取值范围 20 （本小题满分 12 分） 已知数列 n a的前 n 项和为 n S，满足2 nn San，nN （1）求证：数列1 n a 为等比数列； （2）设 1 1 n n nn a b a a ，记数列 n b的前 n 项和为
10、n T，求满足不等式 30 31 n T 的最小正整 数 n 的值 21 （本小题满分 12 分） 5 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C： 22 22 1 xy ab (ab0)的左，右焦点分 别为 F1，F2，焦距为 2，且经过点(1， 2 2 )若斜率为 k 的直线 l 与椭圆交于第一象限内 的 P，Q 两点（点 P 在 Q 的左侧） ，且 OPPQ （1）求椭圆 C 的方程； （2）若 PF1QF2，求实数 k 的值 22 （本小题满分 12 分） 已知函数( )e(ln ) x f xxa xx，x0，若( )f x在 0 xx处取得极小值 （1）求实数 a 的取值范围； （2）若 0 ()0f x，求证： 0 3 00 ()f x xx 2 6 7 8 9 10 11 12 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 13
