1、 1 二项式定理二项式定理 1二项式定理： 011 ()() nnnrn rrnn nnnn abC aC abC abC bnN ， 2基本概念： 二项式展开式：右边的多项式叫做()nab的二项展开式。 二项式系数:展开式中各项的系数 r n C(0,1,2, )rn. 项数：共(1)r 项，是关于a与b的齐次多项式 通项：展开式中的第1r 项 rn rr n C ab 叫做二项式展开式的通项。用 1 rn rr rn TC ab 表示。 3注意关键点： 项数：展开式中总共有(1)n项。 顺序：注意正确选择a,b,其顺序不能更改。()nab与()nba是不同的。 指数：a的指数从n逐项减到0
2、，是降幂排列。b的指数从0逐项减到n，是升幂排列。各项的次数和等于n. 系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是 012 ,. rn nnnnn CC CCC项的系数是a与b的系数（包括 二项式系数） 。 4常用的结论： 令1,abx 0122 (1)() nrrnn nnnnn xCC xC xC xC xnN 令1,abx 0122 (1)( 1)() nrrnnn nnnnn xCC xC xC xC xnN 5性质： 二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即 0n nn CC， 1kk nn CC 二项式系数和：令1ab,则二项式系数的和为 01
3、2 2 rnn nnnnn CCCCC， 变形式 12 21 rnn nnnn CCCC。 奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和： 在二项式定理中，令1,1ab ，则 0123 ( 1)(1 1)0 nnn nnnnn CCCCC ， 从而得到： 024213211 1 22 2 rrnn nnnnnnn CCCCCCC 奇数项的系数和与偶数项的系数和： 2 0011222012 012 0011222021 210 0123 0123 () () 1, (1) 1,(1) nnnnnnn nnnnn nnnnnnn nnnnn n n n n axC a xC axC axC a xa
4、a xa xa x xaC a xC axC a xC a xa xa xa xa xaaaaaa xaaaaaa 令则 令则 024 135 (1)(1) ,() 2 (1)(1) ,() 2 nn n nn n aa aaaa aa aaaa 得奇数项的系数和 得偶数项的系数和 二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n是偶数时，则中间一项的二项式系数 2 n n C取得最大值。 如果二项式的幂指数n是奇数时，则中间两项的二项式系数 1 2 n n C , 1 2 n n C 同时取得最大值。 系数的最大项：求()nabx展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别 为 12
5、1 , n A AA ，设第1r 项系数最大，应有 1 12 rr rr AA AA ，从而解出r来。 6二项式定理的十一种考题的解法： 题型一：二项式定理的逆用； 例： 12321 666 . nn nnnn CCCC 练： 1231 393 . nn nnnn CCCC 题型二：利用通项公式求 n x的系数； 例：在二项式 32 4 1 ()nx x 的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有 3 x的项的系数？ 练：求 29 1 () 2 x x 展开式中 9 x的系数？ 3 题型三：利用通项公式求常数项； 例：求二项式 210 1 () 2 x x 的展开式中的常数项？ 练：求二项式 6
6、 1 (2) 2 x x 的展开式中的常数项？ 练：若 2 1 ()nx x 的二项展开式中第5项为常数项，则_.n 题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项； 例：求二项式 93 ()xx展开式中的有理项？ 题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和； 例：若 2 32 1 ()nx x 展开式中偶数项系数和为256，求n. 练：若 35 2 11 ()n xx 的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024，求它的中间项。 题型六：最大系数，最大项； 例：已知 1 (2 ) 2 n x，若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数是多 少？
7、 练：在 2 () n ab的展开式中，二项式系数最大的项是多少？ 4 练：在 3 1 () 2 n x x 的展开式中，只有第5项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少 例：写出在 7 ()ab的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？ 例：若展开式前三项的二项式系数和等于79，求 1 (2 ) 2 n x的展开式中系数最大的项？ 练：在 10 (12 )x的展开式中系数最大的项是多少？ 题型七：含有三项变两项； 例：求当 25 (32)xx的展开式中x的一次项的系数？ 练：求式子 3 1 (2)x x 的常数项？ 题型八：两个二项式相乘； 例： 342 (1 2 ) (1)xxx求展开式中
8、的系数. 练： 6103 4 1 (1) (1)x x 求展开式中的常数项. 5 练： 2* 3 1 (1)(),28,_. n xxxnNnn x 已知的展开式中没有常数项且则 题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和； 例： 2006 (2),2,_.xxSxS在的二项展开式中 含 的奇次幂的项之和为当时 题型十：赋值法； 例：设二项式 3 1 (3)nx x 的展开式的各项系数的和为p，所有二项式系数的和为s,若 272ps,则n等于多少？ 练：若 n x x 1 3的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为多少？ 例： 20091232009 200912 01232009 22009 (1 2 )(), 222 aaa xaa xa xa xaxxR若则的值为 练： 554321 54321012345 (2),_.xa xa xa xa xa xaaaaaa若则 题型十一：整除性； 例：证明： 22* 389() n nnN 能被 64 整除
