1、专题二专题二 数数 列列 微专题微专题3 数列与函数、不等式的交汇问题数列与函数、不等式的交汇问题 微中微 数列与函数、不等式的交汇问题 角度角度 利用函数的性质解决不等式问题利用函数的性质解决不等式问题 1(2020 厦门市厦门市 5 月质检月质检)已知等差数列已知等差数列an的公差的公差 为为1，数列，数列bn满足满足 b12，b24，bn 12bnan. (1)证明：数列证明：数列bnn是等比数列；是等比数列； (2)记数列记数列bn的前的前 n 项和为项和为 Sn，求使得，求使得 Sn2 020 的的 最小正整数最小正整数 n 的值的值 (1)证明：证明：因为因为 bn 12bnan，
2、所以当，所以当 n1 时，时，b2 2b1a1，即，即 44a1，所以，所以 a10， 所以所以 an0(n1) (1)n1， 微中微 数列与函数、不等式的交汇问题 所以所以 bn 12bnn1，所 以，所 以 bn 1（n1） bnn 2bnn1（n1） bnn 2（ （bnn） bnn 2， 又又 b11211，所以，所以bnn是以是以 1 为首项，为首项，2 为为 公比的等比数列公比的等比数列 (2)解：解： 由由(1)得得 bnn1 2n 1 2n 1， 所以 ， 所以 bnn2n 1， ， 所 以所 以 Sn (1 2 n) 20212n 1 n（1n） 2 1 2n 12 n 2
3、n 2 2n1， 微中微 数列与函数、不等式的交汇问题 因为因为 S101 0782 020，且，且Sn为递为递 增数列，增数列， 所以使得所以使得 Sn2 020 的最小正整数的最小正整数 n 的值为的值为 11. 微中微 数列与函数、不等式的交汇问题 2若数列若数列an是公差为是公差为 2 的等差数列，数列的等差数列，数列bn满足满足 b11，b22，且，且 anbnbnnbn 1. (1)求数列求数列an，bn的通项公式；的通项公式； (2)设数列设数列cn满足满足 cna n 1 bn 1 ， 数列， 数列cn的前的前 n 项和为项和为 Tn， 若不等式， 若不等式(1)nTn n 2
4、n 1对一切对一切 nN*恒成立， 求实恒成立， 求实 数数 的取值范围的取值范围 微中微 数列与函数、不等式的交汇问题 解：解：(1)因为数列因为数列bn满足满足 b11，b22，且，且 anbnbn nbn 1. 所以所以 n1 时，时，a112，解得，解得 a11. 又数列又数列an是公差为是公差为 2 的等差数列，的等差数列， 所以所以 an12(n1)2n1.所以所以 2nbnnbn 1，化为，化为 2bnbn 1， 所以数列所以数列bn是首项为是首项为 1，公比为，公比为 2 的等比数列，所以的等比数列，所以 bn2n 1. 微中微 数列与函数、不等式的交汇问题 (2)由数列由数列
5、cn满足满足 cna n 1 bn 1 2n 2n n 2n 1，数列，数列cn的的 前前 n 项和为项和为 Tn1 2 2 3 22 n 2n 1，所以，所以 1 2Tn 1 2 2 22 n1 2n 1 n 2n， ， 两式作差，得两式作差，得 1 2Tn 11 2 1 22 1 2n 1 n 2n 1 1 2n 11 2 n 2n 2 微中微 数列与函数、不等式的交汇问题 n2 2n ，所以，所以 Tn4n 2 2n 1. 不等式不等式(1)nTn n 2n 1，化为，化为(1)n4 2 2n 1， n2k(kN*)时，时，4 2 2n 1，取，取 n2，所以，所以 3. n2k1(kN
6、*)时，时， 2. 综上可得：实数综上可得：实数 的取值范围是的取值范围是(2，3) 微中微 数列与函数、不等式的交汇问题 角度角度 利用放缩法解决不等式问题利用放缩法解决不等式问题 1 (2020 绵阳南山中学适应性考试绵阳南山中学适应性考试)已知数列已知数列an， bn 的前的前 n 项和分别为项和分别为 Sn，Tn，且，且 an0，6Sna2 n 3an，bn 2an （2an1）（）（2an 11），若 ，若 kTn恒成立，则恒成立，则 k 的最小值的最小值 为为( ) A.1 7 B. 1 49 C.49 D. 8 441 解析：解析：当当 n1 时，时，6a1a2 1 3a1，解得
7、，解得 a13.当当 n 1 时，由时，由 6Sna2 n 3an， 微中微 数列与函数、不等式的交汇问题 得得 6Sn 1a2 n 13an1，两式相减并化简得，两式相减并化简得(anan1) (anan 13)0， 由于由于 an0，所以，所以 anan 130，anan13，故，故 an 是首项为是首项为 3，公差为，公差为 3 的等差数列，的等差数列， 所 以所 以 an 3n. 则则 bn 2an （2an1）（）（2an 11） 1 7 1 8n1 1 8n 1 1 ， 微中微 数列与函数、不等式的交汇问题 故故Tn b1 b2 bn 1 7 1 81 1 821 1 821 1
8、831 1 8n1 1 8n 1 1 1 7( 1 7 1 8n 1 1) 1 49 1 7（8n 1 1） ，由于，由于 Tn是单调递增数列，是单调递增数列， 1 49 1 7（8n 1 1） 1 49， ，k 1 49.故 故 k 的最小值为的最小值为 1 49，故选 ，故选 B. 答案：答案：B 微中微 数列与函数、不等式的交汇问题 2设数列设数列an(n1，2，3，)的前的前 n 项和项和 Sn满足满足 Sn2ana1，且，且 a1，a21，a3成等差数列成等差数列 (1)求数列求数列an的通项公式；的通项公式； (2)记数列记数列 1 an 的前的前 n 项和为项和为 Tn， 求使得
9、， 求使得|Tn1| 1 1 000 成立的成立的 n 的最小值的最小值 解：解：(1)由已知由已知 Sn2ana1，有，有 anSnSn 12an2an1 (n2)，即，即 an2an 1(n2) 从而从而 a22a1，a32a24a1. 又因为又因为 a1，a21，a3成等差数列，即成等差数列，即 a1a32(a21)， 微中微 数列与函数、不等式的交汇问题 所以所以 a14a12(2a11)，解得，解得 a12， 所以数列所以数列an是首项为是首项为 2，公比为，公比为 2 的等比数列，故的等比数列，故 an2n. (2)由由(1)可得可得 1 an 1 2n ，所以，所以 Tn 1 2
10、 1 22 1 2n 1 2 1 1 2 n 11 2 1 1 2n. 微中微 数列与函数、不等式的交汇问题 由由|Tn1| 1 1 000，得 ，得 1 1 2n 1 1 000，又因为，又因为 nN*， 因为因为 295121 0001 024210，所以，所以 n10， 于是，使于是，使|Tn1| 1 1 000成立的 成立的 n 的最小值为的最小值为 10. 微中微 数列与函数、不等式的交汇问题 3 (2020 江西省名师联盟调研江西省名师联盟调研)设数列设数列an满足：满足： a11， 3a2a11，且，且 2 an a n 1an1 an 1an1 (n2) (1)求数列求数列an
11、的通项公式；的通项公式； (2)设数列设数列 b11 2， ， 4bnan 1an， 设， 设bn的前的前 n 项和为项和为 Tn， 证明：证明：Tn1. (1)解：解：因为数列因为数列an满足：满足：a11，3a2a11，且，且 2 an a n 1an1 an 1an1 (n2)， 微中微 数列与函数、不等式的交汇问题 所以所以 2 an 1 an 1 1 an 1， ， 又又 a11， 3a2a11， 所以， 所以 1 a1 1， 1 a2 3 2，所以 ，所以 1 a2 1 a1 1 2， ， 所以所以 1 an 是首项为是首项为 1，公差为，公差为1 2的等差数列，所以 的等差数列，
12、所以 1 an 11 2(n 1)1 2(n 1)，所以，所以 an 2 n1. (2)证明：证明：因为数列因为数列 b11 2， ，4bnan 1an，所以，所以 bn 1 n（n1） 1 n 1 n1， ， 微中微 数列与函数、不等式的交汇问题 所以所以 Tnb1b2bn 11 2 1 2 1 3 1 n 1 n1 1 1 n11.故 故 Tn1. 微中微 数列与函数、不等式的交汇问题 1求解数列与函数交汇问题应注意的两点：求解数列与函数交汇问题应注意的两点： (1)数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集(或或 它的有限子集它的有限子集)， 在求数列最值或不等关系时要特别重视， 在求数列最值或不等关系时要特别重视 (2)解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制 条件条件 2数列为背景的不等式恒成立、不等式证明，多与数列为背景的不等式恒成立、不等式证明，多与 数列的求和相联系，最后利用数列或数列对应函数的单数列的求和相联系，最后利用数列或数列对应函数的单 调性处理调性处理 谢谢观赏谢谢观赏
