1、专题三专题三 立体几何立体几何 微专题微专题1 空间几何体、空间中的位置关系空间几何体、空间中的位置关系 微专题1 空间几何体、空间中的位置关系 对点训练 小题考法小题考法 1 空间几何体的表面积与体积空间几何体的表面积与体积 (1)(2020 茂名第二次测试茂名第二次测试)如图， 某沙漏由上下如图， 某沙漏由上下 两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为 8 cm，细沙全，细沙全 部在上部时，其高度为圆锥高度的部在上部时，其高度为圆锥高度的 1 2 (细管长度忽略不细管长度忽略不 计计)当细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底当细沙全部漏入下部后，恰好堆成
2、一个盖住沙漏底 部的圆锥形沙堆，则此沙堆的侧面积为部的圆锥形沙堆，则此沙堆的侧面积为( ) A4 5 B8 5 C3 17 D4 17 微专题1 空间几何体、空间中的位置关系 对点训练 (2)(2020 泰安模拟泰安模拟)我国古代数学名著我国古代数学名著 九章算术 中记载：九章算术 中记载：“刍甍者， 下有袤有广，刍甍者， 下有袤有广， 而上有袤无广刍，草也甍，屋盖也而上有袤无广刍，草也甍，屋盖也 ”今有底面为正今有底面为正 方形的屋脊形状的多面体方形的屋脊形状的多面体(如图所示如图所示)，下底面是边长为，下底面是边长为 2 的正方形， 上棱的正方形， 上棱EF3 2， ， EF/平面平面AB
3、CD， EF与平面与平面ABCD 的距离为的距离为 2，该刍甍的体积为，该刍甍的体积为( ) A6 B11 3 C31 4 D12 微专题1 空间几何体、空间中的位置关系 对点训练 (3)如图， 正方体如图， 正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长的棱长 为为 1，E，F 分别为线段分别为线段 AA1，B1C 上的点，上的点， 则三棱锥则三棱锥 D1-EDF 的体积为的体积为_ 解析：解析： (1)细沙在上部容器时的体积为细沙在上部容器时的体积为 V1 3 22416 3 ， 流入下部后的圆锥形沙锥底面半径为流入下部后的圆锥形沙锥底面半径为 4，设高为，设高为 h， 则则1 3 42h16
4、3 ， 所以所以 h1，所以下部圆锥形沙锥的母线长，所以下部圆锥形沙锥的母线长 l 4212 17， 所以此沙锥的侧面积所以此沙锥的侧面积 S侧 侧4 174 17. 微专题1 空间几何体、空间中的位置关系 对点训练 (2)如图，作如图，作 FN/AE，FM/ED，则多面体被，则多面体被 分割为棱柱与棱锥两部分，分割为棱柱与棱锥两部分， 因为因为 EF 与平面与平面 ABCD 的距离为的距离为 2， 所以四棱锥， 所以四棱锥 F-NBCM 的高为的高为 2， 所以所以 V四棱锥 四棱锥F-NBCM1 3SNBCM 21 3 2 23 2 22 3， ， V棱柱 棱柱ADE-NMFS直截面直截面
5、3 2 1 2 223 2 3， 所以该刍甍的体积为所以该刍甍的体积为VV四棱锥 四棱锥F-NBCM V棱柱棱柱ADE-NMF2 3 311 3 . 微专题1 空间几何体、空间中的位置关系 对点训练 (3)由题图可得由题图可得 VD1-EDFVF-EDD1，因为，因为 B1C平面平面 EDD1， 所以所以 F 所在位置均使该三棱锥的高为所在位置均使该三棱锥的高为 1；而不论；而不论 E 在在 AA1上的哪一个位置，上的哪一个位置，S EDD1均为均为1 2， ， 所以所以 VD1-EDFV F-EDD11 3 1 2 11 6. 答案：答案：(1)D (2)B (3)1 6 微专题1 空间几何
6、体、空间中的位置关系 对点训练 求解几何体的表面积与体积的策略求解几何体的表面积与体积的策略 1求三棱锥的体积：等体积转化是常用的方法，转求三棱锥的体积：等体积转化是常用的方法，转 化的原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上化的原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上 2 求不规则几何体的体积： 常用分割或补形的思想， 求不规则几何体的体积： 常用分割或补形的思想， 将不规则的几何体转化为规则的几何体以易于求解将不规则的几何体转化为规则的几何体以易于求解 3求表面积：关键的思想是空间问题平面化求表面积：关键的思想是空间问题平面化 微专题1 空间几何体、空间中的位置关系 对点训练 1(
7、2020 临沂月考临沂月考)唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图 1 所示其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人所示其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人 的智慧与工艺 它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆的智慧与工艺 它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆 柱的组合体柱的组合体(假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度)，如图，如图 2 所示已知球的半径为所示已知球的半径为 R，酒杯内壁表面积为，酒杯内壁表面积为14 3 R2，设，设 酒杯上部分酒杯上部分(圆柱圆柱)的体积为的体积为 V1，下部分，下部分(半球半球)的体积为的体积为 V2，则，则
8、V1 V2 ( ) A2 B3 2 C 1 D3 4 微专题1 空间几何体、空间中的位置关系 对点训练 解析：解析：设酒杯上部分设酒杯上部分(圆柱圆柱)的高为的高为 h，球的半径为，球的半径为 R， 则酒杯下部分则酒杯下部分(半球半球)的表面积为的表面积为 2R2， 酒杯内壁表面积为， 酒杯内壁表面积为 14 3 R2，得圆柱侧面积为，得圆柱侧面积为14 3 R22R28 3R 2，酒杯上部 ，酒杯上部 分分(圆柱圆柱)的表面积为的表面积为 2Rh8 3R 2，解得 ，解得 h4 3R，酒杯 ，酒杯 下部分下部分(半球半球)的体积的体积 V21 2 4 3 R32 3R 3，酒杯上部分 ，酒杯
9、上部分 (圆柱圆柱)的体积的体积 V1R24 3R 4 3R 3. 微专题1 空间几何体、空间中的位置关系 对点训练 所以所以V1 V2 4 3R 3 2 3R 3 2. 答案：答案：A 微专题1 空间几何体、空间中的位置关系 对点训练 2已知三棱锥已知三棱锥 S-ABC 中，中，SABABC 2， ，SB 4，SC2 13，AB2，BC6，则三棱锥，则三棱锥 S-ABC 的体积的体积 是是( ) A4 B6 C4 3 D6 3 解析：解析：由由 SB4，AB2，且，且SAB 2，得 ，得 SA2 3； 又由又由 AB2，BC6，且，且ABC 2，得 ，得 AC2 10. 因为因为 SA2AC
10、2SC2，从而知，从而知SAC 2，即 ，即 SAAC 微专题1 空间几何体、空间中的位置关系 对点训练 所以所以 SA平面平面 ABC.又由于又由于 S ABC1 2 266，从而，从而 VS-ABC1 3S ABC SA1 3 62 34 3. 答案：答案：C 微专题1 空间几何体、空间中的位置关系 对点训练 小题考法小题考法 2 球与球的组合体球与球的组合体 (1)(2020郑 州 第 二 次 质 检郑 州 第 二 次 质 检 ) 在 正 方 体在 正 方 体 ABCD-A1B1C1D1中，三棱锥中，三棱锥 A1BC1D 内切球的表面积为内切球的表面积为 4，则正方体外接球的体积为，则正
11、方体外接球的体积为( ) A8 6 B36 C32 3 D64 6 (2)(2020 辽宁省部分重点中学协作体模拟辽宁省部分重点中学协作体模拟)已知三棱已知三棱 锥锥 A-BCD 中，侧面中，侧面 ABC底面底面 BCD，ABC 是边长为是边长为 3 的正三角形，的正三角形，BCD 是直角三角形，且是直角三角形，且BCD90 ， CD2，则此三棱锥外接球的体积等于，则此三棱锥外接球的体积等于( ) A4 3 B32 3 C12 D64 3 微专题1 空间几何体、空间中的位置关系 对点训练 解析：解析：(1)设正方体的棱长为设正方体的棱长为 a，则，则 BD 2a，因为，因为 三棱锥三棱锥 A1
12、-BC1D 内切球的表面积为内切球的表面积为 4，所以三棱锥，所以三棱锥 A1-BC1D 内切球的半径为内切球的半径为 1， 设， 设 A1-BC1D 内切球的球心为内切球的球心为 O，A1到面到面 BC1D 的距离为的距离为 h， 则则-VA1-BC1D4VO-BC1D，1 3S BC1Dh41 3 S BC1D 1，所以，所以 h4， 又因为又因为 h （ 2a）2 3 3 2a 2 6 3 2a， 微专题1 空间几何体、空间中的位置关系 对点训练 所以所以 6 3 2a4，a2 3， 又因为正方体外接球直径就是正方体对角线长，又因为正方体外接球直径就是正方体对角线长， 所以正方体外接球的
13、半径为所以正方体外接球的半径为 （2 3）2（2 3）2（2 3）2 2 3， 其体积为其体积为4 3 3336，故选，故选 B. (2)取取 BD 的中点的中点 O1，BC 中点中点 G，连接，连接 GO1、AG， 由题意可得由题意可得 O1为为BCD 的外心，的外心，AG 平面平面 BCD， 微专题1 空间几何体、空间中的位置关系 对点训练 过点过点 O1作直线垂直平面作直线垂直平面 BCD，可知三棱锥外接球的球心，可知三棱锥外接球的球心 在该直线上，设为在该直线上，设为 O， 过点过点 O 作作 OHAG 于于 H，连接，连接 AO、OD，可知四边形，可知四边形 OHGO1为矩形，为矩形
14、， 因为因为ABC 是边长为是边长为 3 的正三角形，的正三角形，CD2，所以，所以 AG 3 3 2 ，BD 13，O1G1， 设设 OO1m，则，则 HA3 3 2 m，所以，所以 OD2DO2 1 OO2 1 13 4 m2， 微专题1 空间几何体、空间中的位置关系 对点训练 OA2OH2HA21 3 3 2 m 2， ， 由由 OD2OA2可得可得13 4 m21 3 3 2 m 2，解得 ，解得 m 3 2 ， 所以三棱锥所以三棱锥 A-BCD 外接球的半径外接球的半径 R 13 4 m22， 所以此三棱锥外接球的体积所以此三棱锥外接球的体积 V4 3R 3 32 3 . 答案：答案
15、：(1)B (2)B 微专题1 空间几何体、空间中的位置关系 对点训练 1与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外 接球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球接球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球 与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切切 点点” “” “接点接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题作出截面图，把空间问题化归为平面问题 2若球面上四点若球面上四点 P，A，B，C 中中 PA，PB，PC 两两两两 垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正垂直或三棱锥的三条侧
16、棱两两垂直，可构造长方体或正 方体确定直径解决外接问题方体确定直径解决外接问题 微专题1 空间几何体、空间中的位置关系 对点训练 (2020 甘肃省第二次诊断甘肃省第二次诊断)在四棱锥在四棱锥 P-ABCD 中，底中，底 面面 ABCD 为矩形，为矩形，AB 3，BC1，PAC 为等边三角为等边三角 形，若四棱锥形，若四棱锥 P-ABCD 的体积为的体积为 1，则此四棱锥的外接球，则此四棱锥的外接球 表面积为表面积为( ) A4 3 B8 3 C16 3 D3 解析：解析： 连接连接 AC， BD 交于交于 O， 连接， 连接 PO.因为底面因为底面 ABCD 为矩形，为矩形， 故故 AC A
17、B2BC22. 又又PAC 为等边三角形，为等边三角形， 故故 PAPC2，AO1，PO 3. 微专题1 空间几何体、空间中的位置关系 对点训练 又四棱锥又四棱锥 P-ABCD 的体积为的体积为 1，设高为，设高为 h， 则则1 3 AB BC h 1，解得，解得 h 3. 故故 PO 为四棱锥为四棱锥 P-ABCD 的高， 即的高， 即 PO平面平面 ABCD. 又又 AC 为底面为底面 ABCD 外接圆的直径，外接圆的直径， 故此四棱锥的外接球球心在平面故此四棱锥的外接球球心在平面 PAC 中，即三角形中，即三角形 PAC 外接圆圆心外接圆圆心 设球半径为设球半径为 R，则，则 2R PC
18、 sin PAC 4 3， ， 微专题1 空间几何体、空间中的位置关系 对点训练 故表面积为故表面积为 4R2(2R)216 3 . 答案：答案：C 微专题1 空间几何体、空间中的位置关系 对点训练 小题考法小题考法 3 空间位置关系的判断空间位置关系的判断 (1)(多选题多选题)(2020 泰安模拟泰安模拟)已知已知 ， 是两个是两个 不重合的平面，不重合的平面，m，n 是两条不重合的直线，则下列命题是两条不重合的直线，则下列命题 正确的是正确的是( ) A若若 mn，m，n，则，则 B若若 m，n，则，则 mn C若若 ，m，则，则 m D 若 若 mn， 则则 m 与与 所成的角和所成的
19、角和 n 与与 所成所成 的角相等的角相等 微专题1 空间几何体、空间中的位置关系 对点训练 (2)(多选题多选题)(2020 泰安模拟泰安模拟)如图，在矩形如图，在矩形 ABCD 中，中，M 为为 BC 的中点，将的中点，将AMB 沿直线沿直线 AM 翻折成翻折成AB1M， 连接， 连接 B1D， N 为为 B1D 的中的中 点，则在翻折过程中，下列说法正确的是点，则在翻折过程中，下列说法正确的是( ) A存在某个位置，使得存在某个位置，使得 CNAB1 BCN 的长是定值的长是定值 C若若 ABBM，则，则 AMB1D D若若 ABBM1，当三棱锥，当三棱锥 B1-AMD 的体积最大的体积
20、最大 时，三棱锥时，三棱锥 B1-AMD 的外接球的表面积是的外接球的表面积是 4 微专题1 空间几何体、空间中的位置关系 对点训练 解析：解析： (1)选项选项 A： 若： 若 mn， m， 则， 则 n 或或 n， 又又 n，并不能得到，并不能得到 这一结论，故选项这一结论，故选项 A 错误；错误； 选项选项 B：若：若 m，n 则由线面垂直的性质定理和线面则由线面垂直的性质定理和线面 平行的性质定理可得平行的性质定理可得 mn，故选项，故选项 B 正确；选项正确；选项 C：若：若 ，m，则有面面平行的性质定理可知，则有面面平行的性质定理可知 m，故选，故选 项项 C 正确；选项正确；选项
21、 D：若：若 mn，则由线面角的定义，则由线面角的定义 和等角定理知，和等角定理知，m 与与 所成的角和所成的角和 n 与与 所成的角相等，所成的角相等， 故选项故选项 D 正确正确 微专题1 空间几何体、空间中的位置关系 对点训练 (2)对于对于 A：如图：如图 1，取，取 AD 中点中点 E，连接，连接 EC 交交 MD 与与 F，则，则 NEAB1，NFMB1，如果，如果 CNAB1，可得到，可得到 CNEN，又，又 ENNF，且三线，且三线 NE，NF，NC 共面共点，共面共点， 不可能，则不可能，则 A 错误错误 对于对于 B：如图：如图 1，可得由，可得由NECMAB1(定值定值)
22、， NE1 2AB1(定值 定值)，AMEC(定值定值)，由余弦定理可得，由余弦定理可得 NC2NE2EC22NE EC cos NEC， 所以， 所以 NC 是定值，是定值， 则则 B 正确正确 微专题1 空间几何体、空间中的位置关系 对点训练 对于对于 C：如图：如图 2，取，取 AM 中点中点 O，连接，连接 B1O，DO，由，由 题意得题意得 AM平面平面 ODB1，即可得，即可得 ODAM，从而，从而 AD MD，由题意不成立，可得，由题意不成立，可得 C 错误错误 对于对于 D： 当平面： 当平面 B1AM平面平面 AMD 时， 三棱锥时， 三棱锥 B1-AMD 的体积最大，的体积
23、最大， 由题意得由题意得 AD 中点中点 H 就是三棱锥就是三棱锥 B1-AMD 的外接球的的外接球的 球心，球心， 球半径为球半径为 1，表面积是，表面积是 4，则，则 D 正确正确 微专题1 空间几何体、空间中的位置关系 对点训练 答案：答案：(1)BCD (2)BD 微专题1 空间几何体、空间中的位置关系 对点训练 解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要 是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以 及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质
24、定理进行 判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模 型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全引型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全引 用到立体几何中用到立体几何中 微专题1 空间几何体、空间中的位置关系 对点训练 1(2020 随州调研随州调研)已知已知 m，n，是空间内两条不同的，是空间内两条不同的 直线，直线， 是空间内两个不同的平面，下列说法正确的是空间内两个不同的平面，下列说法正确的 是是( ) A若若 mn，m，则，则 n B若若 ，m，nm，则，则 n C若若 m，n，则，则 mn D若若 m，n，则，则 mn
25、 微专题1 空间几何体、空间中的位置关系 对点训练 解析：解析：若若 mn，m，则，则 n 或或 n，故，故 A 错错 误；若误；若 ，m，nm，若，若 n，则，则 n，故，故 B 错误；若错误；若 m，n，m 与与 n 的关系是异面或平行，的关系是异面或平行， 故故 C 错误；若错误；若 m，m，又因为，又因为 n，所以，所以 mn，故，故 D 正确，故选正确，故选 D. 答案：答案：D 微专题1 空间几何体、空间中的位置关系 对点训练 2.(多选题多选题)(2020 日照模拟日照模拟)如图，在长方如图，在长方 体体 ABCD-A1B1C1D1中，中，AA1AB4，BC 2， M， N 分别
26、为棱分别为棱 C1D1， CC1的中点， 则的中点， 则( ) AA、M、N、B 四点共面四点共面 B平面平面 ADM平面平面 CDD1C1 C直线直线 BN 与与 B1M 所成角的为所成角的为 60 DBN平面平面 ADM 解析：解析：如图所示，对于如图所示，对于 A 中，中， 直线直线 AM，BN 是异面直线，故是异面直线，故 A、 M、N、B 四点不共面，故四点不共面，故 A 错误；错误； 微专题1 空间几何体、空间中的位置关系 对点训练 对于对于 B 中，在长方体中，在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，可得中，可得 AD 平面平面 CDD1C1，所以平面，所以平面 ADM平面平面 CDD1C1，故，故 B 正确；正确； 对于对于 C 中，取中，取 CD 的中点的中点 O，连接，连接 BO、ON，可知，可知 三角形三角形 BON 为等边三角形，故为等边三角形，故 C 正确；正确； 对于对于 D 中，因为中，因为 BN平面平面 AA1D1D，显然，显然 BN 与平与平 面面 ADM 不平行，故不平行，故 D 错误错误 答案：答案：BC 谢谢观赏谢谢观赏 专专 题题 强强 化化 练练
