1、专题四专题四 概率与统计概率与统计 微专题微专题3 “套路化”解决概率统计问题“套路化”解决概率统计问题 微中微 “套路化”解决概率统计问题 套路套路 信息巧提取信息巧提取 2019 年年 10 月，工信部颁发了国内首个月，工信部颁发了国内首个 5G 无无 线电通信设备进网许可证， 标志着线电通信设备进网许可证， 标志着 5G 基站设备将正式接基站设备将正式接 入公用电信商用网络 某入公用电信商用网络 某 4G 手机生产商拟升级设备生产手机生产商拟升级设备生产 5G 手机，有两种方案可供选择，方案手机，有两种方案可供选择，方案 1：直接引进：直接引进 5G 手机生产设备；方案手机生产设备；方案
2、 2：对已有的：对已有的 4G 手机生产设备进行手机生产设备进行 技术改造， 升级到技术改造， 升级到 5G 手机生产设备 该生产商对未来手机生产设备 该生产商对未来 5G 手机销售市场行情及回报率进行大数据模拟， 得到如下统手机销售市场行情及回报率进行大数据模拟， 得到如下统 计表：计表： 微中微 “套路化”解决概率统计问题 市场销售状态市场销售状态 畅销畅销 平销平销 滞销滞销 市场销售状态概率市场销售状态概率 2p 13p p 预期年利润数预期年利润数 值值(单位：亿单位：亿 元元) 方案方案1 70 40 40 方案方案2 60 30 10 (1)以预期年利润的期望值为依据，求以预期年
3、利润的期望值为依据，求 p 的取值范围，的取值范围， 讨论该生产商应该选择哪种方案进行设备升级？讨论该生产商应该选择哪种方案进行设备升级？ (2)设该生产商升级设备后生产的设该生产商升级设备后生产的 5G 手机年产量为手机年产量为 x 万部，通过大数据模拟核算，选择方案万部，通过大数据模拟核算，选择方案 1 所生产的所生产的 5G 手手 机年度总成本机年度总成本 y10.000 2x20.2x50(亿元亿元)， 选择方案， 选择方案 2 微中微 “套路化”解决概率统计问题 所生产的所生产的 5G 手机年度总成本为手机年度总成本为 y20.000 1x20.1x 60(亿元亿元)已知已知 p0.
4、2，当所生产的，当所生产的 5G 手机市场行情为手机市场行情为 畅销、 平销和滞销时， 每部手机销售单价分别为畅销、 平销和滞销时， 每部手机销售单价分别为 0.8 万元，万元， 0.80.001x(万元万元)，0.80.002x(万元万元)，根据，根据(1)的决策，的决策， 求该生产商所生产的求该生产商所生产的5G手机年利润期望的最大值？并判手机年利润期望的最大值？并判 断这个年利润期望的最大值能否达到预期年利润数值断这个年利润期望的最大值能否达到预期年利润数值 分析：分析：1.此类问题文字叙述较长，解答问题首先要过此类问题文字叙述较长，解答问题首先要过 文字关，其技巧是：文字关，其技巧是：
5、(1)快速了解快速了解“无关信息无关信息” ；(2)仔细阅仔细阅 读重要信息，把握信息所给内容读重要信息，把握信息所给内容(如本例中的数字、字母如本例中的数字、字母 等等)；(3)明确题目所求内容明确题目所求内容 微中微 “套路化”解决概率统计问题 2本题考查的是有关随机变量的问题，在解题过程本题考查的是有关随机变量的问题，在解题过程 中，一是需要中，一是需要明确预期利润就是随机变量的期望，再者明确预期利润就是随机变量的期望，再者 就是要用函数来研究和解决问题，求利润期望的最大值就是要用函数来研究和解决问题，求利润期望的最大值 时，要转化为二次函数的最大值问题解决时，要转化为二次函数的最大值问
6、题解决 解：解： (1)由由 02p1， 013p1， 0p1， 可得可得 p 的取值范围为的取值范围为 0p1 3. 方案方案 1 的预期平均年利润期望值为的预期平均年利润期望值为 E12p70(13p)40p(40)4020p(亿亿 元元) 微中微 “套路化”解决概率统计问题 方案方案 2 的预期平均年利润期望值为的预期平均年利润期望值为 E22p60(13p)30p(10)3020p(亿亿 元元) 当当 0pE2， 该手机生产商应该选择方案， 该手机生产商应该选择方案 1； 当当 p1 4时， 时，E1E2，该手机生产商可以选择方案，该手机生产商可以选择方案 1， 也可以选择方案也可以选
7、择方案 2； 当当1 4p 1 3时， 时，E136， 因此这个年利润期望的最大值可以达到， 因此这个年利润期望的最大值可以达到 预期年利润数值预期年利润数值 微中微 “套路化”解决概率统计问题 套路套路 数据巧处理数据巧处理 某地最近十年粮食需求量逐年上升， 下表是部某地最近十年粮食需求量逐年上升， 下表是部 分统计数据分统计数据 年份年份 2002 2004 2006 2008 2010 需求量需求量/万吨万吨 236 246 257 276 286 (1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线 方程方程 ybxa； (2)利用利用(1)中所求
8、出的直线方程预测该地中所求出的直线方程预测该地 2012 年的年的 粮食需求量粮食需求量 微中微 “套路化”解决概率统计问题 注：注：若若y 1 n i1 n yi(x1，yi)，(x2，y2)(xn，yn)为样本点，为样本点， y bxa 为回归直线，为回归直线， 则则x 1 n i1 n xi，y 1 n i1 n yi， b ay bx 微中微 “套路化”解决概率统计问题 分析：分析：如果直接套用公式如果直接套用公式 i1 n xiyi2 0112362 013 2462 019286， i1 n xi22 01122 01322 0192， 会导致运算量太大，很难快速准确地计算出结果为
9、了方会导致运算量太大，很难快速准确地计算出结果为了方 便计算可先将便计算可先将 x 同时减去一个数，将大数化小，根据根式同时减去一个数，将大数化小，根据根式 特点，应减去特点，应减去 x 的平均值，同时的平均值，同时 y 也进行同样的处理，这也进行同样的处理，这 样就能将数据化小，方便计算样就能将数据化小，方便计算 微中微 “套路化”解决概率统计问题 解：解：(1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近由所给数据看出，年需求量与年份之间是近 似直线上升，似直线上升， 下面来配回归直线方程，为此对数据预处理如下：下面来配回归直线方程，为此对数据预处理如下： 年份年份2006 4 2 0 2 4
10、需求量需求量257 21 11 0 19 29 对预处理后的数据，容易算得：对预处理后的数据，容易算得： x 0，y 3.2， b（ （4）（21）（）（2）（11）219429 42222242 6.5， 微中微 “套路化”解决概率统计问题 ay b x 3.2. 由上述计算结果，知所求回归直线方程为：由上述计算结果，知所求回归直线方程为： y 257b(x2 006)a6.5(x2 006)3.2， 即即y 6.5(x2 006)260.2. (2)利用直线方程利用直线方程， 可预测， 可预测2012年的粮食需求量为：年的粮食需求量为： 65(20122006)260.26.56260.2
11、299.2(万万 吨吨) 微中微 “套路化”解决概率统计问题 套路套路 公式巧变形公式巧变形 下图是我国下图是我国2008年至年至2014年生活垃圾无害化年生活垃圾无害化 处理量处理量(单位：亿吨单位：亿吨)的折线图的折线图 (1)由折线图看出， 可用线性回归模型拟合由折线图看出， 可用线性回归模型拟合 y 与与 t 的关的关 系，请用相关系数加以说明；系，请用相关系数加以说明； (2)建立建立 y 关于关于 t 的回归方程的回归方程(系数精确到系数精确到 0.01)，预测，预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量年我国生活垃圾无害化处理量 微中微 “套路化”解决概率统计问题 参 考 数 据
12、 ：参 考 数 据 ： i1 7 yi 9.32 ， i1 7 tiyi 40.17, i1 7 （yiy）20.55， 72.646. 参考公式：相关系数参考公式：相关系数 r， 回归方程回归方程y a b t 中斜率和截距的最小二乘估计公 中斜率和截距的最小二乘估计公 式分别为：式分别为：b ，a y b t . 微中微 “套路化”解决概率统计问题 分析：分析： 由折线图， 很明显无法得到年生活垃圾无害化由折线图， 很明显无法得到年生活垃圾无害化 处理量处理量 y 的具体值，自然不能直接套用相关系数公式的具体值，自然不能直接套用相关系数公式 r 与最小二乘估计公式与最小二乘估计公式 b ，
13、a y b t ，这需要对公式进行，这需要对公式进行 适当的变形：适当的变形： 微中微 “套路化”解决概率统计问题 因为因为t 1 7 i1 7 ti，所以，所以 i1 7 ti7t ， 于是有于是有 i1 7 （tit ） （） （yiy ） i1 7 tiyiy i1 7 tit i1 7 yi 7t y i1 7 tiyiy i1 7 tit i1 7 yiy i1 7 ti i1 7 tiyit i1 7 y.i 微中微 “套路化”解决概率统计问题 解：解： （1）由折线图这数据和附注中参考数据得）由折线图这数据和附注中参考数据得, t 4， i1 7 (tit )228, 0.55，
14、 i1 7 (tit )( yiy ) i1 7 tiyit i1 7 yi40.1749.322.89， r 2.89 0.5522.646 0.99. 因为因为 y 与与 t 的相关系数近似为的相关系数近似为 0.99，说明，说明 y 与与 t 的线性相关的线性相关 相当高，从而可以用线性回归模型拟合相当高，从而可以用线性回归模型拟合 y 与与 t 的关系的关系 微中微 “套路化”解决概率统计问题 (2)由由y 9.32 7 1.331 及及(1)得得b 2.89 28 0.103， a y b t 1.3310.10340.92. 所以，所以，y 关于关于 t 的回归方程为：的回归方程为：y 0.920.10t. 将将 2016 年对应的年对应的 t9 代入回归方程得：代入回归方程得：y 0.920.10 91.82. 谢谢观赏谢谢观赏
