1、专题一专题一 三角函数与平面向量三角函数与平面向量 专题一 三角函数与平面向量 真题研析 命题分析 知识方法 类型一类型一 三角函数的图象和性质三角函数的图象和性质 1.(2020 全国卷全国卷)设函数设函数 f(x)cos x 6 在在， 的图象大致如下图，则的图象大致如下图，则 f(x)的最小正周期为的最小正周期为( ) A.10 9 B.7 6 C.4 3 D.3 2 专题一 三角函数与平面向量 真题研析 命题分析 知识方法 解析：解析：由图可得：函数图象过点由图可得：函数图象过点 4 9 ，0 ，将它代入，将它代入 函数函数 f(x)可得：可得： cos 4 9 6 0，又，又 4 9
2、 ，0 是函数是函数 f(x)图象与图象与 x 轴负半轴的第一个交点，轴负半轴的第一个交点， 所以所以4 9 6 2，解得 ，解得 3 2，所以函数 ，所以函数 f(x)的的 最小正周期为最小正周期为 T2 2 3 2 4 3 . 答案：答案：C 专题一 三角函数与平面向量 真题研析 命题分析 知识方法 2(2019 全国卷全国卷)函数函数 f(x)sin 2x3 2 3cos x 的的 最小值为最小值为_ 解析：解析：f(x)sin 2x3 2 3cos xcos 2x3cos x 2cos2 x3cos x1， 因为因为 cos x1，1，知当，知当 cos x1 时时 f(x)取最小值，
3、取最小值， 则则 f(x)sin 2x3 2 3cos x 的最小值为的最小值为4. 答案：答案：4 专题一 三角函数与平面向量 真题研析 命题分析 知识方法 3(2020 全国卷全国卷)关于函数关于函数 f(x)sin x 1 sin x有如 有如 下四个命题：下四个命题： f(x)的图象关于的图象关于 y 轴对称轴对称 f(x)的图象关于原点对称的图象关于原点对称 f(x)的图象关于直线的图象关于直线 x 2对称 对称 f(x)的最小值为的最小值为 2. 其中所有真命题的序号是其中所有真命题的序号是_ 专题一 三角函数与平面向量 真题研析 命题分析 知识方法 解析：解析：对于命题对于命题，
4、f 6 1 2 25 2， ，f 6 1 2 2 5 2，则 ，则 f 6 f 6 ， 所以，函数所以，函数 f(x)的图象不关于的图象不关于 y 轴对称，命题轴对称，命题错误；错误； 对于命题对于命题，函数，函数 f(x)的定义域为的定义域为x|xk，kZ，定义，定义 域关于原点对称，域关于原点对称， f(x)sin(x) 1 sin（x） sin x 1 sin x sin x 1 sin x f(x)， 所以，函数所以，函数 f(x)的图象关于原点对称，命题的图象关于原点对称，命题正确；正确； 专题一 三角函数与平面向量 真题研析 命题分析 知识方法 对于命题对于命题，因为，因为 f 2
5、 x sin 2 x 1 sin 2 x cos x 1 cos x， ， f 2 x sin 2 x 1 sin 2 x cos x 1 cos x，则 ，则 f 2 x f 2 x ， 所以，函数所以，函数 f(x)的图象关于直线的图象关于直线 x 2对称，命题 对称，命题 正确；正确； 专题一 三角函数与平面向量 真题研析 命题分析 知识方法 对于命题对于命题， 当， 当x0 时，时， sin x0， 则， 则 f(x)sin x 1 sin x 00)， 则则 c2a2b22abcos C3m2m22 3mm 3 2 m2，即，即 cm. 选择条件选择条件的解析： 据此可得：的解析：
6、据此可得： ac 3mm 3m2 3， 所以所以 m1，此时，此时 cm1. 选择条件选择条件的解析：据此可得：的解析：据此可得：cos Ab 2 c2a2 2bc m2m23m2 2m2 1 2， ， 专题一 三角函数与平面向量 真题研析 命题分析 知识方法 则则 sin A1 1 2 2 3 2 ， 此时， 此时 csin Am 3 2 3，则，则 cm2 3. 选择条件选择条件的解析：可得的解析：可得c b m m 1，cb， 与条件与条件 c 3b 矛盾，矛盾，则问题中的三角形不存在则问题中的三角形不存在 法二法二 因为因为 sin A 3sin B，C 6， ，B(AC)， 所以所以
7、 sin A 3sin(AC) 3sin A 6 ， sin A 3sin(AC) 3sin A 3 2 3cos A 1 2， ， 专题一 三角函数与平面向量 真题研析 命题分析 知识方法 所以所以 sin A 3cos A，所以，所以 tan A 3，所以，所以 A 2 3 ，所以，所以 BC 6， ， 若选若选，ac 3，因为，因为 a 3b 3c，所以，所以 3c2 3， 所以所以 c1； 若选若选，csin A3，则，则 3c 2 3，c2 3； 专题一 三角函数与平面向量 真题研析 命题分析 知识方法 类型四类型四 平面向量及其应用平面向量及其应用 1 (2020 全国卷全国卷)已
8、知单位向量已知单位向量 a， b 的夹角为的夹角为 60 ， 则在下列向量中，与则在下列向量中，与 b 垂直的是垂直的是( ) Aa2b B2ab Ca2b D2ab 解析：解析：由已知可得：由已知可得：a b|a| |b| cos 60 111 2 1 2. A因为因为(a2b) ba b2b21 2 215 2 0，所以，所以 本选项不符合题意；本选项不符合题意； 专题一 三角函数与平面向量 真题研析 命题分析 知识方法 B因为因为(2ab) b2a bb221 2 120，所以，所以 本选项不符合题意；本选项不符合题意； C因为因为(a2b) ba b2b21 2 213 2 0，所，所
9、 以本选项不符合题意；以本选项不符合题意； D因为因为(2ab) b2a bb221 2 10，所以本，所以本 选项符合题意选项符合题意 答案：答案：D 专题一 三角函数与平面向量 真题研析 命题分析 知识方法 2 (2020 全国卷全国卷)已知向量已知向量 a， b 满足满足|a|5， |b|6， a b 6，则，则 cosa，ab( ) A31 35 B 19 35 C. 17 35 D. 19 35 解析：解析：因为因为|a|5，|b|6，a b6，所以，所以 a (ab)|a|2a b52619. |ab| （ab）2 a22a bb2 2526367， 因此，因此，cosa，aba
10、（ （ab） |a| |ab| 19 57 19 35. 答案：答案：D 专题一 三角函数与平面向量 真题研析 命题分析 知识方法 32020 新高考卷新高考卷(山东卷山东卷)已知已知 P 是边长为是边长为 2 的正的正 六边形六边形 ABCDEF 内的一点，则内的一点，则AP AB 的取值范围是的取值范围是( ) A(2，6) B(6，2) C(2，4) D(4，6) 解析：解析：AB 的模为的模为 2，根据正六边形的特征，可以得，根据正六边形的特征，可以得 到到AP 在在AB 方向上的投影的取值范围是方向上的投影的取值范围是(1，3)，结合向，结合向 量数量积的定义式， 可知量数量积的定义
11、式， 可知AP AB 等于等于AB 的模与的模与AP 在在AB 方方 向上的投影的乘积，所以向上的投影的乘积，所以AP AB 的取值范围是的取值范围是(2，6) 专题一 三角函数与平面向量 真题研析 命题分析 知识方法 答案：答案：A 专题一 三角函数与平面向量 真题研析 命题分析 知识方法 4 (2020 全国卷全国卷)设设 a， b 为单位向量， 且为单位向量， 且|ab|1， 则则|ab|_ 解析：解析：因为因为 a，b 为单位向量，所以为单位向量，所以|a|b|1， 所 以所 以 |a b| （ab）2|a|22a b|b|2 22a b1， 解得：解得：2a b1，所以，所以|ab|
12、（ab）2 |a|22a b|b|2 3. 答案：答案： 3 专题一 三角函数与平面向量 真题研析 知识方法 命题分析 1高考对三角函数部分的考查非常稳定，体现在三高考对三角函数部分的考查非常稳定，体现在三 个方面：个方面： (1)考查题量与分值稳定，一般为考查题量与分值稳定，一般为“三个小题三个小题”或或“两两 小一大小一大” ，对应的分值为，对应的分值为 15 分或分或 22 分分 (2)考查的内容稳定，主要涉及三个方面：考查的内容稳定，主要涉及三个方面：三角函三角函 数的图象和性质， 以小题的形式出现， 考查三角函数的定数的图象和性质， 以小题的形式出现， 考查三角函数的定 义、三角函数
13、的图象变换、单调性、周期性、奇偶性和最义、三角函数的图象变换、单调性、周期性、奇偶性和最 值等，一般与三角恒等变换交汇命题；值等，一般与三角恒等变换交汇命题；三角恒等变换，三角恒等变换， 专题一 三角函数与平面向量 真题研析 知识方法 命题分析 以小题的形式出现， 考查三角函数求值与化简；以小题的形式出现， 考查三角函数求值与化简； 解三角解三角 形的命题形式若以解答题的形式出现， 则会考查三角函数形的命题形式若以解答题的形式出现， 则会考查三角函数 与解三角形的综合问题， 若以小题的形式出现， 则考查正与解三角形的综合问题， 若以小题的形式出现， 则考查正 弦定理、余弦定理的简单应用弦定理、
14、余弦定理的简单应用 (3)题目难度稳定，一般属于中档偏下的题目，解答题目难度稳定，一般属于中档偏下的题目，解答 题都会出现在前两个解答题的位置， 选择、 填空题偶尔也题都会出现在前两个解答题的位置， 选择、 填空题偶尔也 会出现小题的压轴题位置，属于难题会出现小题的压轴题位置，属于难题 专题一 三角函数与平面向量 真题研析 知识方法 命题分析 2平面向量是历年高考的必考内容，命题突出向量平面向量是历年高考的必考内容，命题突出向量 的基本运算与工具性，一般考查小题，有时以条件的形的基本运算与工具性，一般考查小题，有时以条件的形 式出现在解答题中，命题关注以下四个方面：式出现在解答题中，命题关注以
15、下四个方面： (1)向量的线性运算，多为平面向量的基底分解向量的线性运算，多为平面向量的基底分解 (2)向量共线与垂直的坐标运算向量共线与垂直的坐标运算 (3)数量积的运算、模、夹角的求解数量积的运算、模、夹角的求解 (4)平面向量的综合应用，以数量积、模的取值范围平面向量的综合应用，以数量积、模的取值范围 问题为热点问题为热点 专题一 三角函数与平面向量 知识方法 真题研析 命题分析 1常用三常用三种函数的图象与性质种函数的图象与性质(下表中下表中 kZ) 函数函数 ysin x ycos x ytan x 图象图象 递增区间递增区间 2k 2， ，2k 2 2k ，2k (k 2， ，k
16、2) 递减区间递减区间 2k 2， ，2k3 2 2k，2k 专题一 三角函数与平面向量 知识方法 真题研析 命题分析 奇偶性奇偶性 奇函数奇函数 偶函数偶函数 奇函数奇函数 对称中心对称中心 (k，0) k 2， ，0 k 2 ，0 对称轴对称轴 xk 2 xk 周期性周期性 2 2 2.三角函数的常用结论三角函数的常用结论 (1)yAsin (x)，当，当 k(kZ)时为奇函数；当时为奇函数；当 k 2(k Z)时为偶函数；对称轴方程可由时为偶函数；对称轴方程可由 xk 2(k Z)求得求得 专题一 三角函数与平面向量 知识方法 真题研析 命题分析 (2)yAcos (x)， 当， 当k
17、2(k Z)时为奇函数；时为奇函数； 当当 k(kZ)时为偶函数；对称轴方程可由时为偶函数；对称轴方程可由 x k(kZ)求得求得 (3)yAtan (x)，当，当 k(kZ)时为奇函数时为奇函数 3三角函数的两种常见变换三角函数的两种常见变换 (1)ysin x 向左（向左（0）或向右（）或向右（0，0) 1 (2)ysin x 横坐标变为原来的横坐标变为原来的 倍倍 纵坐标不变纵坐标不变 ysin x 向左（向左（0）或向右（）或向右（0，0) 4三角函数公式三角函数公式 (1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式：两角和与差的正弦、余弦、正切公式： sin ( )sin cos cos si
18、n ； cos ( )cos cos sin sin； tan ( ) tan tan 1 tan tan . 专题一 三角函数与平面向量 知识方法 真题研析 命题分析 (2)二倍角公式：二倍角公式： sin 22sin cos ； cos 2cos2 sin2 2cos2 112sin2 . (3)辅助角公式：辅助角公式： asin xbcos x a2b2sin (x)，其中，其中 tan b a. 5正弦定理、余弦定理、三角形面积公式正弦定理、余弦定理、三角形面积公式 (1)正弦定理：在正弦定理：在ABC 中，中， a sin A b sin B c sin C 2R(R 为为ABC 的
19、外接圆半径的外接圆半径) 专题一 三角函数与平面向量 知识方法 真题研析 命题分析 变形：变形：a2Rsin A，sin A a 2R， ，abcsin Asin Bsin C 等等 (2)余弦定理：在余弦定理：在ABC 中，中，a2b2c22bccos A； 变形：变形：b2c2a22bccos A，cos Ab 2 c2a2 2bc . (3)三角形面积公式：三角形面积公式：S ABC1 2absin C 1 2bcsin A 1 2 acsin B. 专题一 三角函数与平面向量 知识方法 真题研析 命题分析 6平面向量基本定理：如果平面向量基本定理：如果 e1，e2是同一平面内的是同一平
20、面内的 两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有，有 且只有一对实数且只有一对实数 1，2，使，使 a1e12e2. 7向量共线定理：向量向量共线定理：向量 a(a0)与与 b 共线，当且仅当共线，当且仅当 有唯一一个实数有唯一一个实数 ，使，使 ba. 8平面向量的数量积：平面向量的数量积： a b|a|b|cos ( 为为 a 与与 b 的夹角的夹角)，规定，规定 0a0，数量积的几何意义是，数量积的几何意义是 a 的模与的模与 b 在在 a 方向上的投影的积方向上的投影的积 专题一 三角函数与平面向量 知识方法 真题研析 命题分析 9向量的平行与垂直：向量的平行与垂直：a，b 为非零向量，设为非零向量，设 a(x1， y1)，b(x2，y2)， ab 有唯一实数有唯一实数 使使 得得 ba(a0) x1y2x2y10 ab a b0 x1x2y1y20 谢谢观赏谢谢观赏
