1、函数与导数函数与导数(5) 一、选择题(本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的) 12020 广东省七校联合体高三第一次联考试题已知函数 f(x)xln xa 的图象在点(1， f(1)处的切线经过原点，则实数 a( ) A1 B0 C.1 e D1 22020 湖北黄冈模拟函数 f(x)(x3)ex的单调递增区间是( ) A(，2) B(0,3) C(1,4) D(2，) 32020 河北示范性高中联考已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时，f(x)ln x3x，则曲线 yf(x)在点(1，3)处的切线与两坐标
2、轴围成图形的面积等于( ) A1 B.3 4 C. 1 4 D. 1 2 52020 江西南昌模拟已知 f(x)在 R 上连续可导，f(x)为其导函数，且 f(x)exe x xf(1) (exe x)，则 f(2)f(2)f(0)f(1)( ) A4e24e 2 B4e24e2 C0 D4e2 62020 洛阳市尖子生第一次联考定义在 R 上的函数 f(x)的导函数为 f(x)，若对任意 实数 x，都有 f(x)f(x)，且 f(x)2 019 为奇函数，则不等式 f(x)2 019ex0，使|f(x)|M|x|对一切实数 x 均成立 其中正确的结论是( ) A B C D 82020 石家
3、庄市重点高中高三毕业班摸底考试已知函数 f(x)3 x1 3x1xsin x，若 x2,1，使得 f(x2x)f(xk)0 成立，则实数 k 的取值范围是( ) A(1，) B(3，) C(0，) D(，1) 92020 山西太原模拟已知定义在(0，)上的函数 f(x)满足 xf(x)f(x)0 的解集是( ) A(，ln 2) B(ln 2，) C(0，e2) D(e2，) 102020 大同市高三学情调研测试试题已知 f(x) x ln x，方程 f 2(x)(2a3)f(x)a23a 0 有三个根，则 a 的取值范围为( ) Ae(3e，) Be(0,3e) C(，0) De3e，) 1
4、12020 南昌市高三年级摸底测试卷若函数 f(x)(x1)exax(e 为自然对数的底数)有 两个极值点，则实数 a 的取值范围是( ) A(1 e，0) B(，0) C(1 e，) D(0，) 12 2020 郑州市高中毕业年级第一次质量预测f(x) |2x1|，x1 ， g(x)5 4x 315 4 x2 m2，若 yf(g(x)m 有 9 个零点，则 m 的取值范围是( ) A(0,1) B(0,3) C(1，5 3) D( 5 3，3) 二、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 132020 黄冈中学、华师附中等八校第一次联考设曲线 y2axln(x1)在点(0,
5、0)处的 切线方程为 y2x，则 a_. 14从边长为 10 cm16 cm 的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，做成一个无盖 的盒子，则盒子容积的最大值为_ cm3. 152020 河南省豫北名校高三质量考评已知函数 f(x)eln x，g(x)x1 的图象与直线 ym(mR)的交点分别为 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 x1x2的取值范围是_ 162020 湖北省部分重点中学高三起点考试设函数 f(x)a 2 x 2e ln|ax|(a0)，若函数 f(x)有 4 个零点，则 a 的取值范围为_ 函数与导数函数与导数(5) 1答案：A 解析：f(x)ln x1，f(1)1，切线
6、方程为 yx1a，故 001a，解得 a 1，故选 A. 2答案：D 解析： 函数 f(x)(x3)ex的导数 f(x)(x3)ex1 ex(x3) ex(x2)ex， 令 f(x) (x2)ex0，解得 x2.故选 D. 3答案：A 解析：若 x0，则x0 时，f(x)1 x3，因为 f(x)是偶函数，所以 f(x)是奇函数，故在(1， 3)处切线的斜率 kf(1)f(1)2，所以切线方程为 y32(x1)，该切线与 x 轴，y 轴的交点分别为 1 2，0 ，(0，1)，所以该切线与两坐标轴围成图形的面积等于 1 2 1 21 1 4， 故选 C. 5答案：C 解析：函数 f(x)e xex
7、(x)f(1) (exex)f(x)，即函数 f(x)是偶函数，两边对 x 求导数， 得f(x)f(x) 即 f(x)f(x)， 则 f(x)是 R 上的奇函数， 则 f(0)0， f(2)f(2)，即 f(2)f(2)0，则 f(2)f(2)f(0)f(1)0.故选 C. 6答案：B 解析：令 g(x)fx ex ，因为 f(x)f(x)，所以 g(x)fxfx ex 0，所以 g(x)在 R 上单调 递减因为 f(x)2 019 是奇函数，所以 f(0)2 0190，即 f(0)2 019，则 g(0)2 019. 不等式 f(x)2 019ex0 可转化为fx ex 2 019， 即 g
8、(x)0， 则不等式 f(x)2 019ex0 的解集为(0，)，故选 B. 7答案：B 解析：易知 f(x)xsin x 为偶函数，f(x)sin xxcos x，当 x0， 2时，f(x)0，所 以 f(x)在0， 2上单调递增，又 f(x)xsin x 为偶函数，所以 f(x)在 2，0上单调递减，故正 确；因为 f(x)f(2x)xsin x(2x)sin(2x)xsin x(2x)sin x2xsin x2sin x0 不恒成立，所以点(，0)不是函数 f(x)的图象的对称中心，故错误；因为 f(x)f(x)xsin x (x)sin(x)xsin x(x)sin x2xsin xs
9、in x0不恒成立， 即f(x)f(x)不恒成立， 所以直线 x 2不是函数 f(x)的图象的对称轴，故错误；因为|f(x)|xsin x|x|sin x|x|，所 以当 M1 时，|f(x)|M|x|对一切实数 x 均成立，故正确综上可知，正确的结论是， 故选 B. 8答案：A 解析： 函数 f(x)3 x1 3x1xsin x 的定义域为 R， f(x) 3 x1 3 x1(x)sin(x)13 x 13x xsin xf(x)，f(x)为奇函数f(x)1 2 3x1xsin x，令 g(x)1 2 3x1，结合指数函 数的单调性，易知 g(x)在(，)上单调递增，令 h(x)xsin x
10、，则 h(x)1cos x0， h(x)在(，)上单调递增，f(x)g(x)h(x)在(，)上单调递增，f(x2x)f(x k)0，f(x2x)f(xk)，f(x)为奇函数，f(x2x)f(xk)，又 f(x)在(，)上 单调递增，x2xxk，即 x22x 1，故选 A. 9答案：A 解析：令 g(x)fx x ，g(x)xfxfx x2 0 等价于fe x ex f2 2 ，即 g(ex)g(2)，故 ex2，解得 x0 的解 集为(，ln 2)故选 A. 10答案：B 解析： 由题意知 f(x)ln x1 ln2x ， 令 f(x)0， 得 xe， 所以当 x(0,1)(1， e)时， f
11、(x)0，所以函数 f(x)在(0,1)，(1，e)上单调递减，在(e，)上单调递 增，当 xe 时，f(x)有极小值，且极小值为 e，则函数 f(x)的大致图象如图所示由方程 f2(x) (2a3)f(x)a23a0，得 f(x)a，或 f(x)a3，若方程 f2(x)(2a3)f(x)a23a 0 有三个根，则有 ae 或 ae a3e ，解得 0a3e 或 ae.故选 B. 11答案：A 解析：由题意得 f(x)exxa，因为函数 f(x)ex(x1)ax 有两个极值点，所以 f(x) 0 有两个不等根，即 aexx 有两个不等根，所以直线 ya 与 yexx 的图象有两个不同的交 点令
12、 g(x)exx，则 g(x)ex(x1)当 x1 时，g(x)1 时，g(x)0，所以 函数 g(x)在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，当 x1 时，g(x)取得最小 值，且最小值为1 e.当 x0 时，g(x)0 时，g(x)0，则可得函数 g(x)的大致图象，如图 所示，则1 ea0，故选 A. 12答案：A 解析： 作出函数 f(x)的图象如图 1 所示 函数 g(x)5 4x 315 4 x2m2， 则 g(x)15 4 x215 2 x，令 g(x)0 得 x0 或 x2，所以 g(x)的极大值为 g(0)m2，极小值为 g(2)m3，函 数 yg(x)的图象如图 2 所
13、示yf(g(x)m 有 9 个零点，令 g(x)t，结合图 1,2 知，f(t)m 有 3 个解，分别设为 t1，t2，t3(不妨设 t1t2t3)，且每个 t 对应都有 3 个 x 满足 g(x)t. 欲使函数 yf(g(x)m 有 9 个零点，由图 1 知，0m3，且 t1(2，1 2)，t2( 1 2， 1)，t3(2,9)，由函数 yf(x)的解析式知 t1m1 2 ，t2m1 2 ，t32m1，由图 2 知，t1，t2， t3(m3，m2)，则 m3m1 2 m2 m3m1 2 m2 m32m1m2 0m3 ，解得 5 3m 5 3 5m5 0m1 0m3 ，得 0m1)，所以 y|
14、x 02a12，解得 a3 2. 14答案：144 解析：设盒子容积为 y cm3，盒子的高为 x cm， 则 x(0,5)则 y(102x)(162x)x4x352x2160 x，y12x2104x160. 令 y0，得 x2 或20 3 (舍去)，ymax6122144(cm3) 15答案：1，) 解析： 由题意知 f(x1)g(x2)， 所以 eln x1x21， 所以 x2eln x11， 则 x1x2x1eln x1 1， x10.令h(x)xeln x1， 则h(x)1e x xe x .当xe时， h(x)0； 当0xe时， h(x)0)为偶函数 若函数 f(x)有 4 个零点， 则函数 f(x)在(0， )上有 2 个零点，当 x0 时，f(x)ax 2 2eln(ax)(a0)，所以 f(x) ax e 1 x ax2e ex ，易知函 数 f(x)在(0， e a)上单调递减，在( e a，)上单调递增，且 x0 时，f(x)，x 时， f(x)， 故只需 f(x)在(0， )上的最小值 f( e a)0， 所以 a e a 2e ln(a e a)1， 所以 a 的取值范围为(1，)
