1、解析几何解析几何(14) 一、选择题(本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的) 12020 吉林辽源市田家炳中学调研以直线 x1 为准线的抛物线的标准方程为( ) Ay22x By22x Cy24x Dy24x 2 2020 山东潍坊一模双曲线 C： x2 9 y2 16(0)， 当 变化时， 以下说法正确的是( ) A焦点坐标不变 B顶点坐标不变 C渐近线方程不变 D离心率不变 32020 南昌市高三年级摸底测试卷已知圆 C：x2y210y210 与双曲线x 2 a2 y2 b2 1(a0，b0)的渐近线相切，则该双曲线的离心率是
2、( ) A. 2 B.5 3 C.5 2 D. 5 42020 重庆西南大学附中月考过抛物线 x24y 的焦点 F 作直线，交抛物线于 P1(x1， y1)，P2(x2，y2)两点，若 y1y26，则|P1P2|( ) A5 B6 C8 D10 52020 合肥市高三调研性检测设抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，斜率为 k 的直线 过 F 交 C 于点 A，B，AF 2FB，则直线 AB 的斜率为( ) A2 2 B2 3 C 2 2 D 2 3 62020 湖南五市十校联考在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C：y24x 的焦点为 F， 准线为 l，P 为 C 上一点，PQ 垂直
3、 l 于点 Q，M，N 分别为 PQ，PF 的中点，直线 MN 与 x 轴 交于点 R，若NFR60 ，则|NR|( ) A2 B. 3 C2 3 D3 7 2020 长沙市四校高三年级模拟考试已知抛物线 y22px(p0)的焦点为 F， 斜率为 2 2 的 直线 l 过点 F 与抛物线交于 A，B 两点，过 A，B 作抛物线准线的垂线，垂足分别为 C，D 两 点，M 为线段 AB 的中点，则CDM 是( ) A直角三角形 B等腰三角形 C等边三角形 D等腰直角三角形 82020 惠州市高三第二次调研考试试题已知双曲线 C1：x 2 4y 21，双曲线 C 2：x 2 a2 y2 b2 1(a
4、0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，双曲线 C1与 C2的离心率相同，点 M 在双曲线 C2的一条渐近线上，且 OMMF2，O 为坐标原点，若 SOMF216，则双曲线 C2的实轴长 是( ) A32 B4 C8 D16 92020 武汉市高中毕业生调研测试已知直线 ykx1 与双曲线 x2y24 的右支有两 个交点，则 k 的取值范围为( ) A. 0， 5 2 B. 1， 5 2 C. 5 2 ， 5 2 D. 1， 5 2 102020 黄冈中学、华师附中等八校第一次联考在ABC 中，A，B 分别是双曲线 E 的 左、 右焦点， 点 C 在 E 上， 若 BA BC0， (BABC
5、) AC0， 则双曲线 E 的离心率为( ) A. 51 B. 21 C. 21 2 D. 21 2 112020 河南洛阳尖子生联考 如图，已知在平面直角坐标系 xOy 中，点 S(0,3)，SA，SB 与圆 C：x2y2my0(m0) 和抛物线 x22py(p0)都相切，切点分别为 M，N 和 A，B，SAON，则点 A 到抛物线准线 的距离为( ) A4 B2 3 C3 D3 3 122020 黄冈中学、华师附中等八校第一次联考已知 F 为抛物线 y2x 的焦点，点 A， B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧，而且 OA OB2(O 为坐标原点)，若ABO 与AFO 的 面积分别为 S1
6、和 S2，则 S14S2的最小值是( ) A.7 3 2 B6 C2 3 D4 3 二、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 132020 湖北武汉调研测试已知 F 为椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的右焦点，O 为坐标原 点，M 为线段 OF 的垂直平分线与椭圆 C 的一个交点，若 cosMOF3 7，则椭圆 C 的离心率 为_ 142020 石家庄高中毕业班检测已知双曲线方程 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)，P 是双曲线 上一点，F1，F2为双曲线的焦点，F1PF260 ，PF1F2的面积为 3，则 b_. 152020 广西桂林模拟已知椭圆
7、 M：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1、F2， P 为椭圆 M 上任一点，且|PF1 | |PF2 |的最大值的取值范围是2c2,3c2，其中 c a2b2，则椭圆 M 的离心率 e 的取值范围是_ 162020山西省六校高三第一次阶段性测试已知抛物线y 24x 的焦点为F，斜率为 2 的直线交抛物线于A，B两点，交准线于点P，且P A 5 3B A ，则该直线在 y轴上的截距为 _，|AF|BF|_. 解析几何解析几何(14) 1答案：D 解析：易知以直线 x1 为准线的抛物线焦点在 x 轴的负半轴上，且抛物线开口向左，所 以 y24x，故选 D. 2答案：C 解
8、析：若 由正数变成负数，则焦点由 x 轴转入 y 轴，故 A 错误顶点坐标和离心率都 会随 改变而改变，故 B，D 错误该双曲线的渐近线方程为 y 4 3x，不会随 改变而改变， 故选 C. 3答案：C 解析：圆 C 的标准方程为 x2(y5)24，则圆 C 的圆心为 C(0,5)，半径 r2.双曲线x 2 a2 y2 b21 的一条渐近线的方程为 y b ax，即 bxay0.由题意得 5a a2b2 5a c 2，所以该双曲线 的离心率 ec a 5 2，故选 C. 4答案：C 解析：根据抛物线的定义得|P1P2|y1y2p，可得|P1P2|8，故选 C. 5答案：C 解析：解法一 由题意
9、知 k0，F(p 2，0)，则直线 AB 的方程为 yk(x p 2)，代入抛物线方 程消去 x，得 y22p k yp20.不妨设 A(x1，y1)(x10，y10)，B(x2，y2)，因为 AF 2FB，所以 y12y2.又 y1y2p2，所以 y2 2 2 p，x2p 4，所以 kAB 2 2 p0 p 4 p 2 2 2.根据对称性可得 直线 AB 的斜率为 2 2，故选 C. 解法二 如图，过 A，B 分别作准线的垂线，垂足分别为 D，E，设直线 AB 交准线于 M， 由抛物线的定义知|AF|AD|，|BF|BE|，结合 AF 2FB，知|BE|1 2|AD| 1 3|AB|，则 B
10、E 为 AMD 的中位线，所以|AB|BM|，所以|BE|1 3|BM|，所以|ME| |BM|2|BE|22 2|BE|，所 以 tanMBE|ME| |BE|2 2，即此时直线 AB 的斜率为 2 2.根据对称性可得直线 AB 的斜率为 2 2. 6答案：A 解析：如图，连接 MF，QF，设准线 l 与 x 轴交于 H，抛物线 y24x 的焦点为 F，准线 为 l，P 为 C 上一点，|FH|2，|PF|PQ|，M，N 分别为 PQ，PF 的中点，MNQF， PQ 垂直 l 于点 Q，PQOR，|PQ|PF|，NFR60 ，PQF 为等边三角形， MFPQ，F 为 HR 的中点，|FR|F
11、H|2，|NR|2.故选 A. 7答案：C 解析：四边形 ABDC 为直角梯形，取 CD 的中点为 N，连接 MN，则 MN 为梯形 ABDC 的 中位线，所以|MN|1 2(|AC|BD|)，且 MNCD.由抛物线的定义得|AC|BD|AF|BF| |AB|， 所以|MN|1 2|AB|.设直线AB的倾斜角为， 则tan 2 2 ， 所以sin 3 3 ， 所以|CD|AB|sin 3 3 |AB|， 则|CN|DN| 3 6 |AB|， 所以|MC|MD|MN|2|CN|2 3 3 |AB|， 所以|MC|MD| |CD|，则CDM 为等边三角形，故选 C. 8答案：D 解析：解法一 双曲
12、线 C1：x 2 4y 21 的离心率为 5 2 .由题意知 F2(c,0)，双曲线 C2的一条 渐近线方程为 yb ax，可得|F2M| bc a2b2b，即有|OM| c 2b2a，由 SOMF 216，可 得1 2ab16，即 ab32，又 a 2b2c2且离心率 ec a 5 2 ，所以 a8，b4，c4 5，所以 双曲线 C2的实轴长为 2a16.故选 D. 解法二 依题意，由双曲线 C1与 C2的离心率相同，得b 2 a2 1 4，即 a2b ，由双曲线的 焦点到渐近线的距离等于其虚半轴长，得|F2M|b，所以|OM|c2b2a.又OMF2的面积 为 16，所以1 2ab16，ab
13、32 ，由解得 b4，a8，故双曲线 C2的实轴长为 2a16， 选 D. 9答案：D 解析：通解 联立，得 x2y24， ykx1， 消去 y 得(1k2)x22kx50，所以 k 1，设直 线 与 双 曲 线 的 两 个 交 点 的 坐 标 分 别 为 (x1， y1) ， (x2， y2) ， 所 以 0， x1x20， x1x20， 即 2k2201k20， 2k 1k20， 5 1k20， 整理得 4k25， kk1k10， k21， 解得 1k 5 2 ，所以实数 k 的取值范围是 1， 5 2 ，故选 D. 优解 因为直线 ykx1 恒过定点(0，1)，双曲线 x2y24 的渐近
14、线方程为 y x， 要使直线 ykx1 与双曲线的右支有两个交点，则需 k1. 当直线 ykx1 与双曲线的右支相切时，方程 kx1 x24，即(1k2)x22kx50 有两个相等的实数根，所以 (2k)220(1k2)0，得 k 5 2 (负值舍去)，结合图象可知， 要使直线 ykx1 与双曲线的右支有两个交点，则需 k 5 2 . 综上，实数 k 的取值范围是 1， 5 2 ，故选 D. 10答案：B 解析： 解法一 不妨令 C 为第一象限的点，如图，作 ADBC，CDAB，连接 BD，由BA BC 0，(BA BC) AC0，可得 BCAB，ACBD，故四边形 ABCD 是正方形，所以
15、C(c,2c)，设 双曲线 E 的方程为x 2 a2 y2 b21(a0，b0)，因为点 C 在双曲线 E 上，所以 c2 a2 4c2 b2 1，又 b2c2 a2，所以 c46a2c2a40，因为 ec a1，所以 e 46e210，解得 e232 2或 e23 2 2(舍去)，所以 e 21，故选 B. 解法二 设双曲线 E 的方程为x 2 a2 y2 b21(a0，b0)，不妨令 C 为第一象限的点，如图， 作 ADBC， CDAB， 连接 BD， 由 BA BC0， (BABC) AC0， 可得 BCAB， ACBD， 故四边形 ABCD 是正方形，所以 2|OB|BC|，所以 2c
16、b 2 a ，因为 c2a2b2，所以 b2c2a2 2ac，即 c22aca20，因为 ec a1，所以 e 22e10，所以 e 21，故选 B. 11答案：A 解析：连接 OM，因为 SM，SN 是圆 C 的切线，所以|SM|SN|，|OM|ON|.又 SAON， 所以 SMON，所以四边形 SMON 是菱形，所以MSNMON.连接 MN，由切线的性质得 SMNMON，则SMN 为正三角形，又 MN 平行于 x 轴，所以直线 SA 的斜率 ktan 60 3.设 A(x0，y0)，则y03 x0 3 .又点 A 在抛物线上，所以 x202py0 .由 x22py， 得 yx 2 2p，y
17、 1 px，则 1 px0 3 ，由得 y03，p2，所以点 A 到抛物线 准线的距离为y0p 24，故选 A. 12答案：C 解析：依题意，设直线 AB 的方程为 xtym，联立直线与抛物线方程，得 xtym y2x ， 消去 x，得 y2tym0，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1y2m，因为 OA OB2，所以 x 1x2 y1y22，即(y1y2)2y1y220，因为点 A，B 位于 x 轴的两侧，所以 y1y20，因为 F(1 4，0)， 所以 S14S21 22(y1y2)4 1 2 1 4y1 3y1 2 2 y12 3， 当且仅当 3y1 2 2 y1且 y10，
18、 即 y1 2 3 3 时等号成立 13答案：2 3 解析：由题意知 F(c,0)，则可设 M c 2，y0 .将 M c 2，y0 代入椭圆 C 的方程，得 c2 4 a2 y20 b21， 即 b2 1 c2 4a2 y20.设 E 为线段 OF 的垂直平分线与 x 轴的交点，则MOE 为直角三角形由 于 cosMOF3 7，所以不妨设 c 23，则|OM|7，c6.由勾股定理可得|ME|y0| 7 232 2 10，即 b2 1 c2 4a2 40，得 b2 1 9 a2 40.又 a2b236，所以 a485a23240，解得 a2 81 或 a24(舍去)，故 a9，所以椭圆 C 的
19、离心率 ec a 6 9 2 3. 14答案：1 解析：SPF1F2 b2 tan 30 3b2 3，b21，b1. 15答案： 3 3 ， 2 2 解析：因为|PF1|PF2| |PF1|PF2| 2 2 2a 2 2a2， 所以 2c2a23c2，所以 2a 2 c23，所以 1 3e 21 2，解得 3 3 e 2 2 . 16答案：4 或8 9 7 或 35 9 解析： 设斜率为 2 的直线方程为 y2xb，代入 y24x，得 4x2(4b4)xb20，(4b4)2 16b20，即 b1 2.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x21b，x1x2 b2 4 .由 PA 5 3BA 得|PB| |PA| 2 5. 如图，分别过点 A，B 作准线的垂线，交准线于点 C，D，则|BD| |AC| 2 5，易得|AC|x11，|BD| x21，所以x21 x11 2 5，根据 x1x21b，得 x1 85b 7 ，x212b 7 ，代入 x1x2b 2 4 ，得 9b244b320，解得 b4 或 b8 9，则 x1x25 或 17 9 .又|AF|BF|x11x21x1 x22，所以|AF|BF|的值为 7 或35 9 .
