2020-2021学年河北省沧州市七校联盟高三（上）期中数学试卷.docx

1、 第 1 页（共 18 页） 2020-2021 学年河北省沧州市七校联盟高三（上）期中数学试卷学年河北省沧州市七校联盟高三（上）期中数学试卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 | 24Axx ， |2Bx x，则(AB ) A | 24xx B |24xx C | 22xx D |24xx 2 （5 分）复数 3 12 i z i 的虚部是( ) A 6 5 i B 3 5 i C 3 5 D 6 5

2、 3 （5 分） 25 3 ()x x 的展开式中 4 x的系数是( ) A90 B80 C70 D60 4 （5 分）若0mn ，3mn，则 14 mn 的最小值为( ) A2 B6 C9 D3 5 （5 分）2020 年 10 月 1 日是中秋节和国庆节双节同庆，很多人外出旅行或回家探亲，因 此交通比较拥堵 某交通部门为了解从A城到B城实际通行所需时间， 随机抽取了n台车辆 进行统计，结果显示这些车辆的通行时间（单位：分钟）都在30，55内，按通行时间分 为30，35)，35，40)，40，45)，45，50)，50，55五组，频率分布直方图如图所 示，其中通行时间在30，35)内的车辆有

3、 235 台，则通行时间在45，50)内的车辆台数是 ( ) A450 B325 C470 D500 6 （5 分）在矩形ABCD中，3 5AB ，2 2AD ，点E满足32DEDC，则(AE BD ) A21 B18 6 C22 D18 10 第 2 页（共 18 页） 7 （5 分）如图，在三棱锥DABC中，ACBD，一平面截三棱锥DABC所得的截面 为平行四边形EFGH已知2EF ，5EH ，则异面直线EG和AC所成角的正弦值是 ( ) A 14 7 B 7 7 C 35 7 D 2 7 8 （5 分）定义在R上的函数( )f x的导函数为( )fx，若( )( )fxf x，f（2）1

4、008，则 不等式 21 (1) 10080 x e f xe 的解集为( ) A( 1,) B(2,) C(,1) D(1,) 二、选择题；本大题共二、选择题；本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，在每小题给出的选项中，有多项符分，在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求全部选对的得合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9 （5 分）已知等差数列 n a的前n项和为 n S，公差为d，且 3 5a ， 7 3a ，则( ) A1d B1d C 9 18S D 9 36S 10 （5 分）已知函

5、数 2 3 ( )sincos3sin(0) 2 f xxxx，若将函数( )f x的图象平 移后能与函数sin2yx的图象完全重合，则下列说法正确的有( ) A函数( )f x的最小正周期为 B将函数( )f x的图象向左平移 12 个单位长度后，得到的函数图象关于y轴对称 C当(,) 4 4 x 时，函数( )f x的值域为 1 ( ,1 2 D当函数( )f x取得最值时，() 122 k xkZ 11 （5 分）已知(2)yf x为奇函数，且(3)(3)fxfx，当0 x，1时， 4 ( )2log (1)1 x f xx，则( ) A( )f x的图象关于( 2,0)对称 B( )f

6、 x的图象关于(2,0)对称 C 4 (2021)3log 3f D 3 (2021) 2 f 12 （5 分）椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab ， 1 F， 2 F分别为左、右焦点， 1 A， 2 A分别为左、 第 3 页（共 18 页） 右顶点，P为椭圆上的动点，且 1212 0PF PFPA PA恒成立，则椭圆C的离心率可能为( ) A 1 2 B 2 2 C 3 3 D 3 2 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在答题卡中的横线上分把答案填在答题卡中的横线上 13 （5 分）已知函数 3 2 ,0

7、( ) (),0 xx x f x lnx x ，则(f f（1）) 14 （5 分）若 2 sin() 63 ，则sin(2) 6 15 （5 分）若P为直线40 xy上一个动点，从点P引圆 22 :40C xyx的两条切线 PM，PN（切点为M，)N，则|MN的最小值是 16 （5 分） 在棱长为 2 的正方体 1111 ABCDABC D， 中，E，F分别为棱 11 A B， 11 BC的中点， 点P在线段EF上，则三棱锥 1 PD AC的体积为 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过

8、程或演算步骤 17 （ 10 分 ） 在 (sinsin )()(sinsin )AB abCB c， sincos() 6 aBbA ， sinsin 2 BC baB 这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答 问题： 在ABC中， 内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 且2 3bc，6a ， _ 求 ABC的面积 18 （12 分）设数列 n a的前n项和为 n S，且 1 2 n n S a （1）求数列 n a的通项公式； （2）设2 1 n n b a n ，求数列 n b的前n项和 n T 19 （12 分）某电商为了解消费者的下一部手机是否会选购某一品牌手机，随机抽取了

9、200 位以前的客户进行调查，得到如下数据：准备购买该品牌手机的男性有 80 人，不准备买该 品牌手机的男性有 40 人，准备买该品牌手机的女性有 40 人 （1）完成下列22列联表，并根据列联表判断是否有97.5%的把握认为这 200 位参与调查 者是否准备购买该品牌手机与性别有关 准备买该品牌手机 不准备买该品牌手机 合计 男性 第 4 页（共 18 页） 女性 合计 （2）该电商将这 200 个样本中准备购买该品牌手机的被调查者按照性别分组，用分层抽样 的方法抽取 6 人，再从这 6 人中随机抽取 3 人给予 500 元优惠券的奖励，另外 3 人给予 200 元优惠券的奖励，求获得 50

10、0 元优惠券与获得 200 元优惠券的被调查者中都有女性的概率 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab ac cd bd ，nabcd 2 0 ()P Kk 0.50 0.25 0.05 0.025 0.010 0 k 0.455 1.321 3.840 5.024 6.635 20 （12 分） 如图， 在四棱锥PABCD中， 底面ABCD是边长为 2 的正方形，90ADP， PDAD，二面角PADB为60，E为PD的中点 （1）证明：CE 平面PAD （2）求平面ADE与平面ABE所成锐二面角的余弦值 21 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy ab a

11、b 的离心率为 5 5 ，焦距为 2 （1）求的标准方程 （2）过的右焦点F作相互垂直的两条直线 1 l， 2 l（均不垂直于x轴） ， 1 l交于A，B两 点， 2 l交于C，D两点设线段AB，CD的中点分别为M，N，证明：直线MN过定 点 22 （12 分）已知函数 2 ( )(1 2 )1f xlnxmxm x （1）若1m ，求( )f x的极值； （2）若对任意0 x ，( ) 0f x 恒成立，求整数m的最小值 第 5 页（共 18 页） 2020-2021 学年河北省沧州市七校联盟高三（上）期中数学试卷学年河北省沧州市七校联盟高三（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试

12、题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 | 24Axx ， |2Bx x，则(AB ) A | 24xx B |24xx C | 22xx D |24xx 【解答】解： | 24Axx ， |2Bx x， |24ABxx 故选：B 2 （5 分）复数 3 12 i z i 的虚部是( ) A 6 5 i B 3 5 i C 3 5 D 6 5 【解答】解： 33 (12 )3663 12(12 )(1

13、2 )555 iiii zi iii ， 所以复数z的虚部是 3 5 ， 故选：C 3 （5 分） 25 3 ()x x 的展开式中 4 x的系数是( ) A90 B80 C70 D60 【解答】解： 25 3 ()x x 的展开式的通项公式为 2510 3 155 3 ()( )3 rrrrrr r TCxC x x ， 令1034r，得2r ，则 4 x的系数为 22 5 390C， 故选：A 4 （5 分）若0mn ，3mn，则 14 mn 的最小值为( ) A2 B6 C9 D3 【解答】解：因为0mn ，3mn， 所以 141141414 ()()(5)(52)3 333 nmnm

14、mn mnmnmnmn 当且仅当 4nm mn 时， 4 3 nm mn mn ，解得1m ，2n 取等号， 故选：D 第 6 页（共 18 页） 5 （5 分）2020 年 10 月 1 日是中秋节和国庆节双节同庆，很多人外出旅行或回家探亲，因 此交通比较拥堵 某交通部门为了解从A城到B城实际通行所需时间， 随机抽取了n台车辆 进行统计，结果显示这些车辆的通行时间（单位：分钟）都在30，55内，按通行时间分 为30，35)，35，40)，40，45)，45，50)，50，55五组，频率分布直方图如图所 示，其中通行时间在30，35)内的车辆有 235 台，则通行时间在45，50)内的车辆台数

15、是 ( ) A450 B325 C470 D500 【解答】解：因为30，35)，35，40)，40，45)，50，55四组通行时间的频率分别 是 0.1，0.25，0.4，0.05， 所以通行时间在45，50)内的频率是10.10.250.40.050.2， 通过的车辆台数是2352470 故选：C 6 （5 分）在矩形ABCD中，3 5AB ，2 2AD ，点E满足32DEDC，则(AE BD ) A21 B18 6 C22 D18 10 【解答】解：分别以AB，AD所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系如图： 因为3 5AB ，2 2AD ，32DEDC， 所以(2 5,2 2)AE ，(

16、 3 5,2 2)BD ， 故2 5( 3 5)2 22 222AE BD 故选：C 第 7 页（共 18 页） 7 （5 分）如图，在三棱锥DABC中，ACBD，一平面截三棱锥DABC所得的截面 为平行四边形EFGH已知2EF ，5EH ，则异面直线EG和AC所成角的正弦值是 ( ) A 14 7 B 7 7 C 35 7 D 2 7 【解答】 解： 很明显EFGH是平行四边形， 由线面平行的性质定理可得，/ /ACEH， 直线EG 和AC所成角为直线EG和EH所成角GEH 因为ACBD，所以90EHG 因为2EF ，5EH ，所以7EG ，故 14 sin 7 GEH 故选：A 8 （5

17、分）定义在R上的函数( )f x的导函数为( )fx，若( )( )fxf x，f（2）1008，则 不等式 21 (1) 10080 x e f xe 的解集为( ) A( 1,) B(2,) C(,1) D(1,) 【解答】解：令 ( ) ( ) x f x g x e ，则 ( )( ) ( )0 x fxf x g x e ， 所以( )g x在R上单调递增 因为 2 1008 (2)g e ，所以不等式 21 (1) 10080 x e f xe ， 可变形得 12 (1)(2) (2) x f xf g ee ，所以12x ， 解得1x 第 8 页（共 18 页） 故选：D 二、选

18、择题；本大题共二、选择题；本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，在每小题给出的选项中，有多项符分，在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求全部选对的得合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9 （5 分）已知等差数列 n a的前n项和为 n S，公差为d，且 3 5a ， 7 3a ，则( ) A1d B1d C 9 18S D 9 36S 【解答】解：因为 1937 538aaaa， 所以 19 9 9()9 8 36 22 aa S 因为 3 5a ， 7 3a ，所以公差 75 1 75 a

19、a d 故选：BD 10 （5 分）已知函数 2 3 ( )sincos3sin(0) 2 f xxxx，若将函数( )f x的图象平 移后能与函数sin2yx的图象完全重合，则下列说法正确的有( ) A函数( )f x的最小正周期为 B将函数( )f x的图象向左平移 12 个单位长度后，得到的函数图象关于y轴对称 C当(,) 4 4 x 时，函数( )f x的值域为 1 ( ,1 2 D当函数( )f x取得最值时，() 122 k xkZ 【解答】解：由题意得， 2 2 313(12sin)13 ( )sincos3sinsin2sin2cos2sin(2) 222223 x f xxx

20、xxxxx 因为函数( )f x的图象平移后能与函数sin2yx的图象完全重合， 所以1因为( )sin(2) 3 f xx ， 所以函数( )f x的最小正周期 2 2 T ，故A正确 将( )f x的图象向左平移 12 个单位长度， 得到曲线sin2()sin(2)cos2 1232 yxxx ， 其图象关于y轴对称，故B正确 当(,) 4 4 x 时， 5 2(,) 366 x ， 1 sin(2)(,1 32 x ，即( )f x的值域为 1 (,1 2 ， 故C错误 第 9 页（共 18 页） 令2() 32 xkkZ ，解得() 122 k xkZ ， 所以当( )f x取得最值时

21、，() 122 k xkZ ，故D正确 故选：ABD 11 （5 分）已知(2)yf x为奇函数，且(3)(3)fxfx，当0 x，1时， 4 ( )2log (1)1 x f xx，则( ) A( )f x的图象关于( 2,0)对称 B( )f x的图象关于(2,0)对称 C 4 (2021)3log 3f D 3 (2021) 2 f 【解答】解：根据题意，函数(2)yf x为奇函数，即(2)(2)fxfx ，则( )f x的图 象关于(2,0)对称，B正确， 若(2)(2)fxfx ，变形可得()(4)fxfx， 又由(3)(3)fxfx，变形可得( )(6)f xfx， 则有(6)(4

22、)fxfx ，则有(2)( )f xf x ， 故(4)(2)( )f xf xf x ，即函数( )f x是周期为 4 的周期函数， 若( )f x的图象关于(2,0)对称，则( 2,0)也是函数( )f x的对称中心，A正确， 函数( )f x是周期为 4 的周期函数，则(2021)(12020)fff（1） 4 3 2log 21 2 ，D 正确，C错误， 故选：ABD 12 （5 分）椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab ， 1 F， 2 F分别为左、右焦点， 1 A， 2 A分别为左、 右顶点，P为椭圆上的动点，且 1212 0PF PFPA PA恒成立，则椭圆C的离心率

23、可能为( ) A 1 2 B 2 2 C 3 3 D 3 2 【解答】解：设 0 (P x， 0) y， 1( ,0)Fc， 2( ,0) F c， 则 100 (,)PFcxy ， 200 (,)PFcxy， 100 (,)PAaxy ， 200 (,)PAaxy 因为 22 22222222222222 121200000 22 2 2222()330 bc PF PFPA PAxyacxbxacxacac aa 厖 恒成立， 第 10 页（共 18 页） 所以离心率 3 3 c e a 故选：AC 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共

24、20 分把答案填在答题卡中的横线上分把答案填在答题卡中的横线上 13 （5 分）已知函数 3 2 ,0 ( ) (),0 xx x f x lnx x ，则(f f（1）) 0 【解答】解：函数 3 2 ,0 ( ) (),0 xx x f x lnx x ， f（1）121 ， (f f（1）)( 1)10fln 故答案为：0 14 （5 分）若 2 sin() 63 ，则sin(2) 6 1 9 【解答】解 2 sin() 63 ， 2 1 cos(2)12sin () 369 2(2) 326 ， 1 sin(2)sin(2)cos(2) 63239 ， 故答案为： 1 9 15 （5

25、分）若P为直线40 xy上一个动点，从点P引圆 22 :40C xyx的两条切线 PM，PN（切点为M，)N，则|MN的最小值是 4 7 3 【解答】解：如图，由 22 40 xyx，得 22 (2)4xy，可知圆C的圆心为(2,0)C，半 径2r 如图： 要使|MN的长度最小，即要MCN最小，则MCP最小 第 11 页（共 18 页） | tan 2 PMPM MCP r ， 当|PM最小时，|MN最小， 2 |4PMPC，当|PC最小时，|MN最小 6 |3 2 1 1 min PC ， 22 cos 33 2 MCP， 2 5 cos2cos1 9 MCNMCP ， 则 22 54 7

26、|22222() 93 min MN 故答案为： 4 7 3 16 （5 分） 在棱长为 2 的正方体 1111 ABCDABC D， 中，E，F分别为棱 11 A B， 11 BC的中点， 点P在线段EF上，则三棱锥 1 PD AC的体积为 2 【解答】解：因为/ /EFAC，AC 平面 1 D AC， 所以/ / /EFEF平面 1 D AC， 所以无论点P在线段EF上什么位置，它到平面 1 D AC的距离不变 当点P是EF与 11 D B的交点时， 111 3 4 PDD B， 则P到平面 1 D AC的距离是 1 B到平面 1 D AC距离的 3 4 因为 1 B到平面 1 D AC的

27、距离为 1 224 3 2 3 333 B D ， 所以P到平面 1 D AC的距离是 34 3 3 43 ， 因为 1 D AC的面积 1 2 3 (2 2)2 3 4 D AC S， 所以三棱锥 1 PD AC的体积 1 2 332 3 V 故答案为：2 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 第 12 页（共 18 页） 17 （ 10 分 ） 在 (sinsin )()(sinsin )AB abCB c， sincos() 6 aBbA ， sinsin 2 BC ba

28、B 这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答 问题： 在ABC中， 内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 且2 3bc，6a ， _ 求 ABC的面积 【解答】解：若选，由正弦定理，得()()()ab abcb c，即 222 bcabc， 所以 222 1 cos 222 bcabc A bcbc ， 因为(0, )A， 所以 3 A 因为 2222 ()3abcbcbcbc，6a ，2 3bc， 所以2bc ， 所以 113 sin2 sin 2232 ABC SbcA 若选，由正弦定理，得sinsinsincos() 6 ABBA 因为0B， 所以sin0B ， 所以sincos

29、() 6 AA ， 化简得 31 sincossin 22 AAA， 所以cos()0 6 A 因为0A， 所以 3 A 因为 222 2cos 3 abcbc ，6a ，2 3bc， 所以2bc ， 所以 113 sin2 sin 2232 ABC SbcA 若选，由正弦定理，得sinsinsinsin 2 BC BAB 因为0B， 第 13 页（共 18 页） 所以sin0B ， 所以sinsin 2 BC A 因为 222 BCA ， 所以cos2sincos 222 AAA 因为0A，0 22 A ，可得cos0 2 A ， 可得 1 sin 22 A ，可得 3 A 因为 2222

30、()3abcbcbcbc，6a ，2 3bc，可得2bc ， 所以 113 sin2 sin 2232 ABC SbcA 18 （12 分）设数列 n a的前n项和为 n S，且 1 2 n n S a （1）求数列 n a的通项公式； （2）设2 1 n n b a n ，求数列 n b的前n项和 n T 【解答】解： （1）当1n 时， 1 1 1 2 S a ，解得 1 1a 因为21 nn Sa， 所以当2n时， 11 21 nn Sa ， 得， 11 22 nnnn SSaa ，所以 1 2 nn aa 故数列 n a是首项为 1，公比为 2 的等比数列， 其通项公式为 1 2n n

31、 a （2）由题知，(1)2n n bn， 所以 123 2 23 24 2(1)2n n Tn ， 2341 22 23 24 2(1)2n n Tn ， 得， 1231 2(2222 )(1)2 nn n Tn ， 11 2 (12 ) 2(1)22 12 n nn nn 所以 1 2n n Tn 19 （12 分）某电商为了解消费者的下一部手机是否会选购某一品牌手机，随机抽取了 200 第 14 页（共 18 页） 位以前的客户进行调查，得到如下数据：准备购买该品牌手机的男性有 80 人，不准备买该 品牌手机的男性有 40 人，准备买该品牌手机的女性有 40 人 （1）完成下列22列联表

32、，并根据列联表判断是否有97.5%的把握认为这 200 位参与调查 者是否准备购买该品牌手机与性别有关 准备买该品牌手机 不准备买该品牌手机 合计 男性 女性 合计 （2）该电商将这 200 个样本中准备购买该品牌手机的被调查者按照性别分组，用分层抽样 的方法抽取 6 人，再从这 6 人中随机抽取 3 人给予 500 元优惠券的奖励，另外 3 人给予 200 元优惠券的奖励，求获得 500 元优惠券与获得 200 元优惠券的被调查者中都有女性的概率 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab ac cd bd ，nabcd 2 0 ()P Kk 0.50 0.25 0.05

33、0.025 0.010 0 k 0.455 1.321 3.840 5.024 6.635 【解答】解： （1）由题意得22列联表如下： 准备买该品牌手机 不准备买该品牌手机 合计 男性 80 40 120 女性 40 40 80 合计 120 80 200 因为 2 2 200(40 8040 40) 5.5565.024 120 80 80 120 K ， 所以有97.5%的把握认为这 200 位参与调查者是否准备购买该品牌手机与性别有关 （2）由题意可知，用分层抽样的方法抽取的 6 人中， 男性有 80 64 120 人，女性有 40 62 120 人 设“获得 500 元优惠券者与获得

34、 200 元优惠券者都有女性”为事件A， 则 12 24 33 63 123 ( ) 205 C C P A C C ， 第 15 页（共 18 页） 即获得 500 元优惠券与获得 200 元优惠券的被调查者中都有女性的概率为 3 5 20 （12 分） 如图， 在四棱锥PABCD中， 底面ABCD是边长为 2 的正方形，90ADP， PDAD，二面角PADB为60，E为PD的中点 （1）证明：CE 平面PAD （2）求平面ADE与平面ABE所成锐二面角的余弦值 【解答】 （1）证明：四边形ABCD为正方形，ADCD 90ADP，CDDPD，AD平面PCD CE 平面PCD，ADCE 二面角

35、PADB为60，60PDC PDAD，CDAD，PCD为等边三角形 E为PD的中点，CEDP ADDPD， CE平面PAD （2）解：过P作POCD，垂足为O，易知O为CD的中点 平面PCD 平面ABCD， 平面PCD平面ABCDCD，PO 平面PDC， PO平面ABCD 设AB的中点为Q，连接OQ， 则/ /OQAD，OQ 平面PDC 以O为坐标原点，OQ的方向为x轴正方向，DC的方向为y轴正方向，OP的方向为z轴正 方向， 建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz 第 16 页（共 18 页） 正方形ABCD的边长为 2，(2A，1，0)，(2B，1，0)，(0C，1，0)， (0D，1，0)

36、，(0,0, 3)P， 13 (0,) 22 E， (0,2,0)AB ， 13 ( 2,) 22 AE ， 33 (0,) 22 CE ， CE 平面PAD， CE为平面ADE的一个法向量 设( , , )nx y z是平面ABE的法向量， 则 20 13 20 22 n ABy n AExyz ， 令4z ，得( 3,0,4)n 2 32 19 cos, 19|319 CE n CE n CE n 平面ADE与平面ABE所成锐二面角的余弦值为 2 19 19 21 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy ab ab 的离心率为 5 5 ，焦距为 2 （1）求的标准方程 （2）过

37、的右焦点F作相互垂直的两条直线 1 l， 2 l（均不垂直于x轴） ， 1 l交于A，B两 点， 2 l交于C，D两点设线段AB，CD的中点分别为M，N，证明：直线MN过定 点 【解答】 （1）解：因为离心率 5 5 c e a ，22c ，且 222 abc， 所以1c ，5a ，2b ， 故的标准方程为 22 1 54 xy 第 17 页（共 18 页） （2）证明：由（1）知(1,0)F 设直线AB的方程为(1)(0)yk xk， 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 联立方程组 22 (1) 1 54 yk x xy ，消去y得 2222 (54)105200kxk

38、xk， 则 2 12 2 10 54 k xx k ， 12 2 8 54 k yy k ， 所以M的坐标为 2 22 54 (,) 54 54 kk kk 因为CDAB，所以CD的斜率为 1 k 将M坐标中的k换为 1 k ，可得N的坐标为 22 54 (,) 45 45 k kk 当1k 时，设直线MN的斜率为 MN k， 则 2 9 55 NM MN NM yyk k xxk ， 所以直线MN的方程为 222 495 () 455545 kk yx kkk ， 即 2 95 () 559 k yx k ，则直线MN过定点 5 ( ,0) 9 当1k 时，直线MN的方程为 5 9 x ，也

39、过点 5 ( ,0) 9 综上所述，直线MN过定点 5 ( ,0) 9 22 （12 分）已知函数 2 ( )(1 2 )1f xlnxmxm x （1）若1m ，求( )f x的极值； （2）若对任意0 x ，( ) 0f x 恒成立，求整数m的最小值 【解答】解： （1）当1m 时， 2 ( )1f xlnxxx， 1(1)(21) ( )21 xx fxx xx 当 1 0 2 x时，( )0fx，则( )f x在 1 (0, ) 2 上单调递增； 当 1 2 x 时，( )0fx， ，则( )f x在 1 ( ,) 2 上单调递减 所以( )f x在时取得极大值且极大值为 11 ( )

40、2 24 fln，无极小值 （2）因为对任意0 x ，( ) 0f x 恒成立， 所以 2 1(2 )lnxxm xx在(0,)上恒成立， 第 18 页（共 18 页） 即 2 1 2 lnxx m xx 在(0,)上恒成立 设 2 1 ( ) 2 lnxx F x xx ，则 22 (1)(2) ( ) (2 ) xxlnx F x xx 设( )(2)xxlnx ， 显然( )x在(0,)上单调递减， 因为（1）10 ， 1111 ( )(2)220 2222 lnln ， 所以 0 1 ( ,1) 2 x，使得 0 ()0 x，即 00 20 xlnx 当 0 (0,)xx时，( )0 x； 当 0 (xx，)时，( )0 x 所以( )F x在 0 (0,)x上单调递增，在 0 (x，)上单调递减， 所以 00 0 2 000 11 ( )() 22 max lnxx F xF x xxx 因为 0 1 ( ,1) 2 x ，所以 0 11 ( ,1) 22x ， 故整数m的最小值为 1