1、 第 1 页（共 19 页） 2020-2021 学年山东省枣庄市滕州市高三（上）期中数学试卷学年山东省枣庄市滕州市高三（上）期中数学试卷 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知复数 2 1 i z i ，则| (z ) Ali B1i C2 D2 2 （5 分）设集合 |(1)Ax ylnx，集合 2 |By yx，则(AB ) A0，1 B0，1) C(，1 D(,1) 3 （5 分） “lnalnb”是
2、“ 11 ab ”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4 （5 分）数列 2 1 n a 是等差数列，且 1 1a ， 3 1 3 a ，那么 5 (a ) A 3 5 B 3 5 C5 D5 5 （5 分）若3cos22sin() 4 ，(, ) 2 ，则sin2的值为( ) A 4 2 9 B 5 2 9 C 7 9 D 7 9 6 （5 分）设0a ，0b ，且21ab，则 12 ( a aab ) A有最小值为 4 B有最小值为2 21 C有最小值为14 3 D无最小值 7 （5 分）已知O是ABC的外心，6AB ，10AC ，若AOx A
3、By AC，且 2105(0)xyx，则ABC的面积为( ) A24 B 20 2 3 C18 D20 2 8 （5 分）设函数( )f x在R上存在导函数( )fx，对任意的实数x都有( )()2f xfxx， 当0 x 时，( )21fxx若(1)()21f afaa，则实数a的取值范围是( ) A 1 ,) 2 B 3 ,) 2 C 1，) D 2，) 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有分在每小题给出的四个选项中，有 第 2 页（共 19 页） 多项符合题目要求全部选对的得多项符合题目要求全部
4、选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9 （5 分）已知函数( )| xx f xeex 则下面结论正确的是( ) A( )f x是奇函数 B( )f x在0，)上为增函数 C若0 x ，则 2 1 ()2f xe x D若(1)( 1)f xf，则02x 10 （5 分）已知函数( )sin()(0f xAxB A，0，0)部分自变量、函数 值如表所示，下列结论正确的是( ) x 3 7 12 x 0 2 3 2 2 ( )f x 2 5 A函数解析式为 5 ( )3sin(2) 6 f xx B函数( )f x图象的一条对称轴为 2 3
5、 x C 5 (,2) 12 是函数( )f x图象的一个对称中心 D函数( )f x的图象向左平移 12 个单位，再向下平移 2 个单位所得的函数为奇函数 11 （5 分）如图，矩形ABCD中，M为BC的中点，将ABM沿直线AM翻折成 1 AB M， 连结 1 B D，N为 1 B D的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是( ) A存在某个位置，使得 1 CNAB B翻折过程中，CN的长是定值 C若ABBM，则 1 AMB D D若1ABBM，当三棱锥 1 BAMD的体积最大时，三棱锥 1 BAMD的外接球的表 面积是4 第 3 页（共 19 页） 12 （5 分）下列不等式中正确的
6、是( ) A33 2lnln Bln e C 15 215 D328eln 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知向量( , 1)ak，( 4,2)b ，若a与b共线，则实数k的值为 14 （5 分）已知等比数列 n a满足 1 2a ， 465 21a aa，则 9 a 15 （5 分）已知二面角PABC的大小为120，且90PABABC ，ABAP， 6ABBC若点P、A、B、C都在同一个球面上，则该球的表面积的最小值为 16 （5 分）已知对任意x，都有 2 1 x xeaxxlnx，则实数a的取值范围是 四
7、、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）在条件()(sinsin )()sinabABcbC，sincos() 6 aBbA ， sinsin 2 BC baB 中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，6bc，2 6a ，_，求ABC 的面积 18 （12 分）已知 2 ( )(1)1()f xaxaxaR （）若( ) 0f x 的解集为 1 1, 2 ，求关于x的不等式 3 0 1 ax x 的解集； （）解关于x
8、的不等式( ) 0f x 19 （12 分）记等差数列 n a的前n项和为 n S，已知 5 20S ， 2 3a （）求数列 n a的通项公式； （）若数列 n b的通项公式2n n b ，将数列 n a中与 n b的相同项去掉，剩下的项依次构 成新数列 n c，设数列 n c的前n项和为 n T，求 2020 T 20 （12 分）如图，三棱柱 111 ABCABC中，侧棱 1 AA 平面ABC，ABC为等腰直角三角 形，90BAC，且 1 2ABAA，E，F分别是 1 CC，BC的中点 （）若D是 1 AA的中点，求证：/ /BD平面AEF； （）线段AE（包括端点）上是否存在点M，使直
9、线 1 B M与平面AEF所成的角为60？ 若有，确定点M的位置；若没有，说明理由 第 4 页（共 19 页） 21 （12 分）已知偶函数 4 ( )log (41)() x f xkx kR， （）求k的值； （）设 4 4 ( )log (2) 3 x g xaa，若函数( )f x与( )g x的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围 22 （12 分）已知函数( )12sinf xxx ，0 x （1）求( )f x的最小值； （2）证明： 2 ( ) x f xe 第 5 页（共 19 页） 2020-2021 学年山东省枣庄市滕州市高三（上）期中数学试卷学年山东省枣庄市滕州
10、市高三（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知复数 2 1 i z i ，则| (z ) Ali B1i C2 D2 【解答】解：因为复数 22 (1) (1)1 1(1)(1) iii ziii iii ； 22 |112z； 故选：C 2 （5 分）设集合 |(1)Ax ylnx，集合 2 |By yx，则(AB ) A0，1 B0，1) C(，1
11、D(,1) 【解答】解： |(1) |1Ax ylnxx x， 2 | |0By yxy y， 0AB，1) 故选：B 3 （5 分） “lnalnb”是“ 11 ab ”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：由 11 0lnalnbab ab ， 反之，由 11 ab ，不一定得到lnalnb，如1a ，1b ，此时1不能取对数 “lnalnb”是“ 11 ab ”的充分不必要条件 故选：A 4 （5 分）数列 2 1 n a 是等差数列，且 1 1a ， 3 1 3 a ，那么 5 (a ) A 3 5 B 3 5 C5 D5 第 6
12、 页（共 19 页） 【解答】解： 1 2 1 1a ， 3 2 3 1a ， 数列 2 1 n a 是等差数列，设公差为d 312d ，解得1d 5 2 1 1 45 1a ，解得 5 3 5 a 故选：B 5 （5 分）若3cos22sin() 4 ，(, ) 2 ，则sin2的值为( ) A 4 2 9 B 5 2 9 C 7 9 D 7 9 【解答】解：3cos22sin() 4 ， 22 3(cossin)(cossin)2(cossin)2(cossin) 22 ， cossin0，或3(cossin)2， (, ) 2 ， cossin0， 解得： 2 cossin 3 ，两边平
13、方可得： 2 1sin2 9 ， 7 sin2 9 故选：C 6 （5 分）设0a ，0b ，且21ab，则 12 ( a aab ) A有最小值为 4 B有最小值为2 21 C有最小值为14 3 D无最小值 【解答】解：0a ，0b ，且21ab， 120ba ，解得 1 0 2 a 12122(1)12121212 2(1)()232 212 21 11111 aaaaaa aa aabaaaaaaaaaa ，当且仅当21a ，32 2b 时取等号 第 7 页（共 19 页） 12a aab 有最小值2 21 故选：B 7 （5 分）已知O是ABC的外心，6AB ，10AC ，若AOx A
14、By AC，且 2105(0)xyx，则ABC的面积为( ) A24 B 20 2 3 C18 D20 2 【解答】解：取AC中点D，因为O是ABC的外心， 则DOAC 由于AOADDO， 所以：5 1050AO ACAD ACDO ACAD AC， 由于：AOxAByAC， 则： 2 ()|60 cos10050AO ACxAByAC ACxAC ABy ACxAy 即：6 cos105xAy， 由于2105xy， 所以：6 cos2xAx， 解得： 1 cos 3 A ， 所以： 2 2 sin 3 A， 则： 12 2 6 1020 2 23 ABC S 故选：D 8 （5 分）设函数(
15、 )f x在R上存在导函数( )fx，对任意的实数x都有( )()2f xfxx， 当0 x 时，( )21fxx若(1)()21f afaa，则实数a的取值范围是( ) A 1 ,) 2 B 3 ,) 2 C 1，) D 2，) 【解答】解：设( )( )g xf xx， 则( )()( ) ()0g xgxf xxfxx， ( )()g xgx，( )g x是偶函数， 当0 x 时，( )( )1g xfx， 第 8 页（共 19 页） 而( )21fxx，则( )( )120g xfxx ， ( )g x在(0,)上是增函数， (1)()21f afaa， (1)(1)()()f aaf
16、aa ， 即(1)()g aga， |1|aa， 即 1 2 a， 故选：A 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有分在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求全部选对的得多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9 （5 分）已知函数( )| xx f xeex 则下面结论正确的是( ) A( )f x是奇函数 B( )f x在0，)上为增函数 C若0 x ，则 2 1 ()2f xe x D若(1)( 1)f xf，则02x
17、【解答】解：已知函数( )| xx f xeex 则()|( ) xxxx fxeexeexf x ， 故函数( )f x为偶函数，故选项A错误； 当0 x 时，( ) xx f xeex ( )10 xx f xee ， 所以函数( )f x为增函数，故选项B正确； 当0 x 时，由基本不等式得 1 2x x ，当且仅当1x 时等号成立， 又由( )f x在(0,)上为增函数， 所以 1 ()f xf x （2） 222 22eee ， 又由函数 1 yx x 为奇函数， 当0 x 时， 1 2x x ， 2 11 ()()2f xfxe xx ， 综上，当0 x 时， 2 1 ()2f x
18、e x ，选项C正确； 由与函数( )f x为偶函数，由(1)( 1)f xf，得(|1|)(| 1|)fxf， 则|1| 1x ，解得02x，故选项D正确 第 9 页（共 19 页） 故选：BCD 10 （5 分）已知函数( )sin()(0f xAxB A，0，0)部分自变量、函数 值如表所示，下列结论正确的是( ) x 3 7 12 x 0 2 3 2 2 ( )f x 2 5 A函数解析式为 5 ( )3sin(2) 6 f xx B函数( )f x图象的一条对称轴为 2 3 x C 5 (,2) 12 是函数( )f x图象的一个对称中心 D函数( )f x的图象向左平移 12 个单
19、位，再向下平移 2 个单位所得的函数为奇函数 【解答】解：由图标可得2B ，25A，所以3A ，且 3 32 ， 7 2 12 ， 解得：2， 5 6 ， 所以函数的解析式 5 ( )3sin(2)2 6 f xx； 所以A不正确； 因为 25 2() 362 ，所以 2 3 x 是对称轴，所以B正确； 因为 55 2()0 126 ，所以C正确； 函 数( )f x的 图 象 向 左 平 移 12 个 单 位 ， 再 向 下 平 移2 个 单 位 所 得 的 函 数 5 ( )3sin2()223sin2 126 g xxx 为奇函数，所以D正确； 故选：BCD 11 （5 分）如图，矩形A
20、BCD中，M为BC的中点，将ABM沿直线AM翻折成 1 AB M， 连结 1 B D，N为 1 B D的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是( ) 第 10 页（共 19 页） A存在某个位置，使得 1 CNAB B翻折过程中，CN的长是定值 C若ABBM，则 1 AMB D D若1ABBM，当三棱锥 1 BAMD的体积最大时，三棱锥 1 BAMD的外接球的表 面积是4 【解答】解：对于A：如图 1，取AD中点E，连接EC交MD与F， 则 1 / /NEAB， 1 / /NFMB， 如果 1 CNAB，可得到ENNF， 又ENCN，且三线NE，NF，NC共面共点，不可能，故A错误 对于
21、B：如图 1，可得由 1 NECMAB （定值） ， 1 1 2 NEAB（定值） ，AMEC（定值） ， 由余弦定理可得 222 2cosMCNEECNE ECNEC， NC是定值，故B正确 对于C：如图 2，取AM中点O，连接 1 B O，DO， 由题意得AM 面 1 ODB，即可得ODAM， 从而ADMD，由题意不成立，可得C错误 对于D：当平面 1 B AM 平面AMD时，三棱锥 1 BAMD的体积最大， 由题意得AD中点H就是三棱锥 1 BAMD的外接球的球心， 球半径为 1，表面积是4，故D正确 故选：BD 第 11 页（共 19 页） 12 （5 分）下列不等式中正确的是( )
22、A33 2lnln Bln e C 15 215 D328eln 【解答】解：令( ) lnx f x x ，则 2 1 ( ) lnx fx x ，令( )0fx，得xe， 易得( )f x在(0, ) e上单调递增，在( ,)e 上单调递减， 所以f（2）( 3)f，即 23 23 lnln ，即3 2233lnlnln，故A正确； ()()ffe，即 lnln e e ，所以可得ln e ，故B错误； ( 15)ff（4） ，即 1542 4215 lnlnln ，即15215152lnlnln，所以 15 152lnln， 所以 15 215，故C正确； ( 8)ff（e） ，即 8
23、8 lnlne e ，即 3 2 1 2 2 2 ln e ，即 3 22 2 2 e ln ，所以324 2eln ，故D 错误 故选：AC 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知向量( , 1)ak，( 4,2)b ，若a与b共线，则实数k的值为 2 【解答】解：根据题意，向量( , 1)ak，( 4,2)b ， 第 12 页（共 19 页） 若a与b共线，则有2( 1)( 4)4k ，解可得2k ； 故答案为：2 14 （5 分）已知等比数列 n a满足 1 2a ， 465 21a aa，则 9 a 1 2
24、 【解答】解：依题意，设等比数列 n a的公比为q，根据 1 2a ， 465 21a aa， 所以 284 11 21aqa q，即 84 441qq， 解得 4 1 2 q ， 所以 82 91 11 2( ) 22 aa q， 故答案为： 1 2 15 （5 分）已知二面角PABC的大小为120，且90PABABC ，ABAP， 6ABBC 若点P、A、B、C都在同一个球面上， 则该球的表面积的最小值为 288 7 【解答】解：设(06)ABxx，则6BCx， 设PAB和ABC的外心分别为E、H，则E、H分别为PB、AC的中点， 过点E、H分别作PAB和ABC所在平面的垂线，两垂线的交点
25、为点O，则O为三棱锥 PABC的外心， 连接OB，则OB为三棱锥外接球的半径 取AB的中点G，连接EG、GH、OG，如图所示， 由题意可知， 2 x EG ，3 2 x GH ， 2 x GB ，且EGAB，GHAB， EGH为二面角PABC的平面角，即120EGH， 连接EH， OE 平面PAB，OH 平面ABC， OEEG，OHGH， O、E、G、H四点共圆，且该圆的直径为OG 在EGH中，由余弦定理知， 第 13 页（共 19 页） 2 22222 13 2cos( )(3)2(3) ()9 2222242 xxxxx EHEGGHEG GHEGHx， EGH的外接圆直径 2 23 9
26、sin120423 EHx OGx ， 2 22222 4371272 (9)( )() 34221277 xx OBOGGBxx， 当 12 7 x 时， 2 OB取得最小值，为 72 7 ， 此时该球的表面积取得最小值，为 2 72288 44 77 OB 故答案为： 288 7 16 （5 分）已知对任意x，都有 2 1 x xeaxxlnx，则实数a的取值范围是 (，1 【解答】解：对任意x，都有 2 1 x xeaxxlnx， 可得 2 1 1 x lnx ae xx 对0 x 恒成立， 设 2 1 ( ) x lnx f xe xx ，导数为 22 2 222 112 ( )2 x
27、 x lnxx elnx fxe xxx ， 可令 22 ( )2 x g xx elnx， 22 1 ( )2(22)0 x g xxx e x ， 则( )g x在0 x 递增，g（1） 2 20e， 1 ( )40 48 e gln， 可得( )g x在 1 ( 4 ，1)存在唯一的 0 x，使得 0 ()0g x， 当 0 (0,)xx，( )0g x ，( )0fx； 0 (xx，)，( )0g x ，( )0fx， 则( )f x在 0 (0,)x递减，在 0 (x，)递增，可得 0 2 0 0 00 1 ( )() x min lnx f xf xe xx ， 由 0 ()0g
28、x，即 0 22 00 20 x x elnx， 可设 22 ( )2 x h xx elnx， 1 1 4 x，可得 22 1 ( )2(22)0 x h xxxe x ，即( )h x在 1 ( 4 ，1)递 增， 由 0 2 0 00 11 2 x x eln xx ，可得 0 0 1 2xln x ， 即 0 2 0 1 x e x ，则 0 2 0 0 00 1 ( )()2 x min lnx f xf xe xx ， 故1 2a ，即1a， 所以a的取值范围是(，1 故答案为：(，1 第 14 页（共 19 页） 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70
29、分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）在条件()(sinsin )()sinabABcbC，sincos() 6 aBbA ， sinsin 2 BC baB 中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，6bc，2 6a ，_，求ABC 的面积 【解答】解：若选： 由正弦定理得()()()ab abcb c，即 222 bcabc， 所以 222 1 cos 222 bcabc A bcbc ， 因为(0, )A， 所以 3 A ， 又 2222 ()3abcbcbcbc， 2 6a
30、 ，6bc，所以4bc ， 所以 11 sin4sin3 223 ABC SbcA 若选 ： 由正弦定理得：sinsinsincos() 6 ABBA 因为0B， 所以sin0B ，sincos() 6 AA ， 化简得 31 sincossin 22 AAA， 即 3 tan 3 A ，因为0A，所以 6 A 又因为 222 2cos 6 abcbc ， 所以 2222 ()6(2 6) 2323 bca bc ，即2412 3bc ， 所以 111 sin(2412 3)63 3 222 ABC SbcA 若选 ： 第 15 页（共 19 页） 由正弦定理得sinsinsinsin 2 B
31、C BAB ， 因为0B，所以sin0B ， 所以sinsin 2 BC A ，又因为BCA， 所以cos2sincos 222 AAA ， 因为0A，0 22 A ，所以cos0 2 A ， 1 sin 22 A ， 26 A ， 所以 3 A 又 2222 ()3abcbcbcbc，2 6a ，6bc， 所以4bc ， 所以 11 sin4sin3 223 ABC SbcA 18 （12 分）已知 2 ( )(1)1()f xaxaxaR （）若( ) 0f x 的解集为 1 1, 2 ，求关于x的不等式 3 0 1 ax x 的解集； （）解关于x的不等式( ) 0f x 【解答】解：
32、（）由题意得：1x ， 1 2 x 是方程 2 (1)10axax 的根， 代入方程，解得2a ， 故原不等式等价于 23 0 1 x x ， 解得：1x 或 3 2 x， 所以不等式的解集为 3 (,1),) 2 ； （）当0a 时，原不等式可化为1 0 x ，解集为(，1， 当0a 时，原不等式可化为 1 ()(1) 0 xx a ， 解集为 1 (, 1,) a ， 当0a 时，原不等式可化为 1 ()(1) 0 xx a ， 当 1 1 a ，即1a 时，解集为 1 1, a ； 第 16 页（共 19 页） 当 1 1 a ，即1a 时，解集为 1； 当 1 1 a ，即10a 时，
33、解集为 1 , 1 a 19 （12 分）记等差数列 n a的前n项和为 n S，已知 5 20S ， 2 3a （）求数列 n a的通项公式； （）若数列 n b的通项公式2n n b ，将数列 n a中与 n b的相同项去掉，剩下的项依次构 成新数列 n c，设数列 n c的前n项和为 n T，求 2020 T 【解答】解： （）依题意， 15 53 ()5 520 2 aa Sa ，解得： 3 4a ， 又 2 3a ，故1d ， 1 2a ， 所以 1 (1)1 n aandn （）令数列 n a的前n项和为 n A，数列 n b的前n项和为 n B， 由（）可知 11 ab， 32
34、ab， 73 ab， 154 ab， 102310 ab， 204711 ab， 所以 2020203010 TAB， 2030 (22031)2030 2063495 2 A ， 10 10 2(12 ) 2046 12 B ， 故 2020 2061449T 20 （12 分）如图，三棱柱 111 ABCABC中，侧棱 1 AA 平面ABC，ABC为等腰直角三角 形，90BAC，且 1 2ABAA，E，F分别是 1 CC，BC的中点 （）若D是 1 AA的中点，求证：/ /BD平面AEF； （）线段AE（包括端点）上是否存在点M，使直线 1 B M与平面AEF所成的角为60？ 若有，确定点
35、M的位置；若没有，说明理由 【解答】 （）证明：连接 1 DC， 1 BC， 因为D，E分别是 1 AA， 1 CC的中点， 第 17 页（共 19 页） 故 1 / /AEDC，AE 平面 1 BDC， 1 DC 平面 1 BDC， 所以/ /AE平面 1 BDC 因为E，F分别是 1 CC，BC的中点， 所以 1 / /EFBC，EF 平面 1 BDC， 1 BC 平面 1 BDC， 所以/ /EF平面 1 BDC， 又AEEFE，AE 平面AEF，EF 平面AEF， 所以平面/ /AEF平面 1 BDC， 又BD平面 1 BDC，所以/ /BD平面AEF， （）解：由题意得AB，AC，
36、1 AA两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz， 则(0A，0，0)， 1(2 B，0，2)，(0E，2，1)，(1F，1，0) 因为(0,2,1)AE ，(1,1,0)AF 设平面AEF的法向量为( , , )nx y z， 得 20 0 yz xy ， 令2z ，得1x ，1y ， 所以平面AEF的一个法向量为(1, 1,2)n 设(0,2 , )(01)AMAE 剟，又 1 (2,0,2)AB ， 所以 11 ( 2,2 ,2)BMAMAB ， 若直线 1 B M与平面AEF所成角为60， 则 1 1 1 | sin60|cos,| | | n B M n B M nB M 22
37、2222 |1 ( 2)( 1)22(2)| 1( 1)2(2 )( 2)(2) 22 663 2 6548548 解得：0或 4 5 ，即当点M与点A重合， 或 4 5 AMAE时，直线 1 B M与平面AEF所成的角为60 第 18 页（共 19 页） 21 （12 分）已知偶函数 4 ( )log (41)() x f xkx kR， （）求k的值； （）设 4 4 ( )log (2) 3 x g xaa，若函数( )f x与( )g x的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围 【解答】 解： （） 由( )()f xfx得到：( 1)ff（1） 1 44 log (41)log
38、 (4 1)kk ， 1 2 k （）函数( )f x与( )g x的图象有且只有一个公共点 即方程 44 14 log (41)log (2) 23 xx xaa有且只有一个实根 化简得：方程 14 22 23 xx x aa有且只有一个实根 令20 x t ，则方程 2 4 (1)10 3 atat 有一个正根 3 1 4 at ，不合题意； 3 0 4 a或3 若 3 2 4 at ，不合题意；若 1 3 2 at 若一个正根和一个负根，则 1 0 1a ，即1a 时，满足题意 所以实数a的取值范围为 |1a a 或3a 22 （12 分）已知函数( )12sinf xxx ，0 x （
39、1）求( )f x的最小值； （2）证明： 2 ( ) x f xe 【解答】解： （1）( )12cosfxx ，令( )0fx，得 1 cos 2 x ， 故在区间0，上，( )fx的唯一零点是 3 x ， 第 19 页（共 19 页） 当0,) 3 x 时，( )0fx，( )f x单调递减；当(, 3 x 时，( )0fx，( )f x单调递增， 故 在 区 间0，上 ，( )f x的 极 小 值 为()13 33 f ， 当x时 ， ()121() 3 fxf ， ( )f x的最小值为()13 33 f ； （2）要证0 x 时， 2 ( ) x f xe，即证0 x 时， 2 (
40、 )(12sin )1 x g xxx e， 222 ( )2(12sin )(1 2cos )(324sin2cos ) xxx g xxx ex exxx e， 令( )sinh xxx，0 x ， 则( )1cos0h xx ，即( )h x是(0,)上的增函数， ( )(0)0h xh，即sinxx， 324sin2cos32sin4sin2cos32(sincos )32 2sin()0 4 xxxxxxxxx ， 2 ( )(324sin2cos )0 x g xxxx e ， 即( )g x是(0,)上的增函数，( )(0)1g xg， 故当0 x 时， 2 ( ) x f xe，即得证
