2020-2021学年江苏省南京市高三（上）期初数学试卷.docx

1、 第 1 页（共 19 页） 2020-2021 学年江苏省南京市高三（上）期初数学试卷学年江苏省南京市高三（上）期初数学试卷 一、 单项选择题 （本大题共一、 单项选择题 （本大题共 8 小题， 每小题小题， 每小题 5 分， 共计分， 共计 40 分 在每小题给出的四个选项中，分 在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1 （5 分）已知集合 Ax|x2x20，Bx|1x3，则 AB（ ） Ax|1x3 Bx|1x1 Cx|1x2 Dx|2x3 2 （5 分）已知（34i）z1+i，其

2、中 i 为虚数单位，则在复平面内 z 对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 （5 分）已知向量 ， 满足| | =1，| | =2，且| + | = 3，则 与 的夹角为（ ） A 6 B 3 C5 6 D2 3 4 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，若点 P（43，0）到双曲线 C： 2 2 2 9 =1 的一条 渐近线的距离为 6，则双曲线 C 的离心率为（ ） A2 B4 C2 D3 5 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c若 2bcosC2ac，则角 B 的 取值范围是（ ） A （0， 3 B （0，2 3 C 3，

3、） D2 3 ，） 6 （5 分）设 alog49，b2 1.2， = (8 27) ;1 3，则（ ） Aabc Bbac Cacb Dcab 7 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 A： （x1）2+y21，点 B（3，0） ，过动点 P 引圆 A 的切线，切点为 T若 PT= 2PB，则动点 P 的轨迹方程为（ ） Ax2+y214x+180 Bx2+y2+14x+180 Cx2+y210 x+180 Dx2+y2+10 x+180 8 （5 分）已知奇函数 f（x）的定义域为 R且 f（1+x）f（1x） 若当 x（0，1时，f （x）log2（2x+3） ，则 f（93

4、2 ）的值是（ ） A3 B2 C2 D3 二、 多项选择题 （本大题共二、 多项选择题 （本大题共 4 小题， 每小题小题， 每小题 5 分， 共计分， 共计 20 分 在每小题给出的四个选项中，分 在每小题给出的四个选项中， 至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9 （5 分）5G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业 第 2 页（共 19 页） 整体的快速发展，进而对 GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应，间接带动 国民经济各行业的发展，创造出更多的经济增加值

5、如图，某单位结合近年数据，对今 后几年的 5G 经济产出做出预测 由如图提供的信息可知（ ） A运营商的经济产出逐年增加 B设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓 C设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位 D信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势 10 （5 分）将函数 f（x）sin2x 的图象向左平移 6个单位后，得到函数 yg（x）的图象， 则（ ） A函数 g（x）的图象关于直线 = 12对称 B函数 g（x）的图象关于点（ 6，0）对称 C函数 g（x）在区间（ 5 12， 6）上单调递增 D函数 g（x）在区间（0，7 6 ）上有两个零点 11 （5 分）已

6、知（2+x） （12x）5a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6，则（ ） Aa0的值为 2 Ba5的值为 16 Ca1+a2+a3+a4+a5+a6的值为5 Da1+a3+a5的值为 120 12 （5 分）记函数 f（x）与 g（x）的定义域的交集为 I若存在 x0I，使得对任意 xI，不 等式f（x）g（x）（xx0）0 恒成立，则称（f（x） ，g（x） ）构成“M 函数对” 下 第 3 页（共 19 页） 列所给的两个函数能构成“M 函数对”的有（ ） Af（x）lnx，() = 1 Bf（x）ex，g（x）ex Cf（x）x3，g（x）x2 D() = +

7、1 ，() = 3 三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 20 分请把答案填写在答题卡相应位置分请把答案填写在答题卡相应位置 上）上） 13 （5 分）如图，一个底面半径为 R 的圆柱形量杯中装有适量的水若放入一个半径为 r 的实心铁球（小球完全浸入水中） ，水面高度恰好升高 3，则 = 14 （5 分）被誉为“数学之神”之称的阿基米德（前 287前 212） ，是古希腊伟大的物理 学家、数学家、天文学第 13 题家，他最早利用逼近的思想证明了如下结论：抛物线的弦 与抛物线所围成的封闭图形的面积，等于抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围

8、成 的三角形面积的三分之二这个结论就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被称为阿 基米德三角形 在平面直角坐标系心中， 已知直线 l： y4 与抛物线 C： = 1 4 2交于 A， B 两点，则弦与拋物线 C 所围成的封闭图形的面积为 15 （5 分）已知数列an的各项均为正数，其前 n 项和为 Sn，且 2Snanan+1，nN*，则 a4 ；若 a12，则 S20 16 （5 分）若不等式（ax2+bx+1）ex1 对一切 xR 恒成立，其中 a，bR，e 为自然对数 的底数，则 a+b 的取值范围是 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 小题，共计小题，共计 70 分请在答题卡指

9、定区域内作答解答时应写出文分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤）字说明、证明过程或演算步骤） 17（10 分） 已知向量 = （2cosx， 1） ， = （3sinx， 2cos2x） ， xR， 设函数() = + 1 （1）求函数 f（x）的最小正周期； （2）若 a 3， 7 12，且() = 8 5，求 cos2a 的值 18 （12 分）已知数列an是公比为 2 的等比数列，其前 n 项和为 Sn， 第 4 页（共 19 页） （1）在S1+S32S2+2，3= 7 3，a2a34a4，这三个条件中任选一个，补充到上 述题干中 求数列an的通项公式，

10、 并判断此时数列an是否满足条件 P： 任意 m， nN*， aman均为数列an中的项，说明理由； （2）设数列bn满足= (+1 );1，nN*，求数列bn的前 n 项和 Tn 注：在第（1）问中，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 19 （12 分）为调查某校学生的课外阅读情况，随机抽取了该校 100 名学生（男生 60 人， 女生40人） ， 统计了他们的课外阅读达标情况 （一个学期中课外阅读是否达到规定时间） ， 结果如表： 是否达标 性别 不达标 达标 男生 36 24 女生 10 30 （1）是否有 99%的把握认为课外阅读达标与性别有关？ 附：2= ()2 (+)(+)

11、(+)(+) P（K2k） 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （2）如果用这 100 名学生中男生和女生课外阅读“达标”的频率分别代替该校男生和女 生课外阅读“达标”的概率，且每位学生是否“达标”相互独立现从该校学生中随机 抽取 3 人（2 男 1 女） ，设随机变量 X 表示“3 人中课外阅读达标的人数” ，试求 X 的分布 列和数学期望 20 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面 ABCD，ADBC，ABBC PA1，AD2，PADDAB90，点 E 在棱 PC 上，设 CE

12、CP （1）求证：CDAE； （2）记二面角 CAED 的平面角为 ，且| = 10 5 ，求实数 的值 第 5 页（共 19 页） 21 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C： 2 4 + 2= 1 （1）设椭圆 C 的左、右焦点分别为 F1，F2，T 是椭圆 C 上的一个动点，求1 2 的取 值范围； （2）设 A（0，1） ，与坐标轴不垂直的直线 l 交椭圆 C 于 B，D 两点，若ABD 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，求直线 l 的方程 22 （12 分）已知函数 f（x）kxxlnx，kR （1）当 k2 时，求函数 f（x）的单调区间； （2）当 0 x1

13、 时，f（x）k 恒成立，求 k 的取值范围； （3）设 nN*，求证：1 2 + 2 3 + + :1 (;1) 4 第 6 页（共 19 页） 2020-2021 学年江苏省南京市高三（上）期初数学试卷学年江苏省南京市高三（上）期初数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、 单项选择题 （本大题共一、 单项选择题 （本大题共 8 小题， 每小题小题， 每小题 5 分， 共计分， 共计 40 分 在每小题给出的四个选项中，分 在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1 （5 分

14、）已知集合 Ax|x2x20，Bx|1x3，则 AB（ ） Ax|1x3 Bx|1x1 Cx|1x2 Dx|2x3 【解答】解：Ax|1x2，Bx|1x3， ABx|1x2 故选：C 2 （5 分）已知（34i）z1+i，其中 i 为虚数单位，则在复平面内 z 对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【解答】解： = 1+ 34 = (1+)(3+4) (34)(3+4) = 1+7 25 ， 在复平面内 z 对应的点为（ 1 25， 7 25） ，在第二象限， 故选：B 3 （5 分）已知向量 ， 满足| | =1，| | =2，且| + | = 3，则 与 的夹

15、角为（ ） A 6 B 3 C5 6 D2 3 【解答】解：| + | = 3 2 + 2 + 2 = 3 = 1， ， = | | |= 1 12 = 1 2， 故 与 的夹角为2 3 故选：D 4 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，若点 P（43，0）到双曲线 C： 2 2 2 9 =1 的一条 渐近线的距离为 6，则双曲线 C 的离心率为（ ） A2 B4 C2 D3 【解答】解：双曲线 C： 2 2 2 9 =1 的一条渐近线：y= 3 点 P（43，0）到双曲线 C： 2 2 2 9 =1 的一条渐近线的距离为 6， 第 7 页（共 19 页） 可得： |123 | 9 2:1

16、 = 6，解得 a= 3，b3，则 c23， 所以双曲线的离心率为：e= =2 故选：A 5 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c若 2bcosC2ac，则角 B 的 取值范围是（ ） A （0， 3 B （0，2 3 C 3，） D2 3 ，） 【解答】解：2bcosC2ac， 由正弦定理可得：2sinBcosC2sinAsinC2sinBcosC+2sinCcosBsinC， 可得 2sinCcosBsinC0， 由于 C 为三角形内角，sinC0， 可得：cosB 1 2， B（0，） ， 0B 3， 故选：A 6 （5 分）设 alog49，b2 1.2，

17、= (8 27) ;1 3，则（ ） Aabc Bbac Cacb Dcab 【解答】解： = 49， = 2;1.2， = ( 8 27) ;1 3， alog49log48= 3 2， 0b2 1.2（1 2） 1.21 2， = ( 8 27) ;1 3= 3 2， acb 故选：C 7 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 A： （x1）2+y21，点 B（3，0） ，过动点 P 引圆 A 的切线，切点为 T若 PT= 2PB，则动点 P 的轨迹方程为（ ） Ax2+y214x+180 Bx2+y2+14x+180 Cx2+y210 x+180 Dx2+y2+10 x+180

18、 第 8 页（共 19 页） 【解答】解：设 P（x，y） ，PT= 2PB，PT22PB2， 即 PA2AT22PB2， （x1）2+y212（x3）2+y2， 整理得：x2+y210 x+180， 故选：C 8 （5 分）已知奇函数 f（x）的定义域为 R且 f（1+x）f（1x） 若当 x（0，1时，f （x）log2（2x+3） ，则 f（93 2 ）的值是（ ） A3 B2 C2 D3 【解答】解：根据题意，f（x）是定义域为 R 的奇函数，则 f（x）f（x） ，则 f（1 x）f（x1） 又由 f（1+x）f（1x） ，则 f（1+x）f（x1） ， 则有 f（x+2）f（x）

19、，即 f（x）是周期为 4 的周期函数， f（93 2 ）f（48 3 2）f（ 3 2）f（ 3 2）f（ 1 2） ， 当 x（0，1时，f（x）log2（2x+3） ，则 f（1 2）log242， 故 f（93 2 ）f（1 2）2， 故选：B 二、 多项选择题 （本大题共二、 多项选择题 （本大题共 4 小题， 每小题小题， 每小题 5 分， 共计分， 共计 20 分 在每小题给出的四个选项中，分 在每小题给出的四个选项中， 至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9 （5 分）5G 时代已经到来，5G

20、 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业 整体的快速发展，进而对 GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应，间接带动 国民经济各行业的发展，创造出更多的经济增加值如图，某单位结合近年数据，对今 后几年的 5G 经济产出做出预测 第 9 页（共 19 页） 由如图提供的信息可知（ ） A运营商的经济产出逐年增加 B设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓 C设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位 D信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势 【解答】解：对于选项 A：由图可知，运营商的经济产出逐年增加，所以选项 A 正确， 对于选项 B：由图可知，设备制造商

21、的经济产出在 20202023 年间增长较快，后几年增 长逐渐趋于平缓，所以选项 B 正确， 对于选项 C： 由图可知， 设备制造商在各年的总经济产出中在前期处于领先地位， 而 2029 年、2030 年信息服务商在总经济产出中处于领先地位，所以选项 C 错误， 对于选项D： 由图可知， 在20202025年间信息服务商与运营商的经济产出的差距不大， 后几年中信息服务商的经济产出增长速度明显高于运营商的经济产出增长速度，两种差 距有逐步拉大的趋势，所以选项 D 正确， 故选：ABD 10 （5 分）将函数 f（x）sin2x 的图象向左平移 6个单位后，得到函数 yg（x）的图象， 则（ ）

22、A函数 g（x）的图象关于直线 = 12对称 B函数 g（x）的图象关于点（ 6，0）对称 C函数 g（x）在区间（ 5 12， 6）上单调递增 D函数 g（x）在区间（0，7 6 ）上有两个零点 第 10 页（共 19 页） 【解答】 将函数 f （x） sin2x 的图象向左平移 6个单位后， 得到函数 yg （x） sin （2x+ 3） 的图象， 当 = 12时，2 + 3 = 2，g（x）1，为最大值，函数 g（x）的图象关于直线 = 12对 称故 A 正确； 当 = 6，2 + 3 = 2 3 ，g（x）0，故 g（x）的图象不关于点（ 6，0）对称，故 B 错 误； 当 x（ 5

23、 12， 6） ，2 + 3 （ 2，0） ，g（x）单调递增，故 C 正确； 当 x（0，7 6 ） ，2 + 3 （ 3， 8 3 ） ，g（x）有两个零点，故 D 正确 故选：ACD 11 （5 分）已知（2+x） （12x）5a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6，则（ ） Aa0的值为 2 Ba5的值为 16 Ca1+a2+a3+a4+a5+a6的值为5 Da1+a3+a5的值为 120 【解答】解：已知(2 + )(1 2)5= 0+ 1 + 22+ 33+ 44+ 55+ 66， 令等式中的 x0，可得 a02，故 A 正确 a5的值，即展开式中 x5的系

24、数，为2 (2)55 5 + (2)45 4 = 16，故 a516 正确 在所给的等式中，令 x1，得 a0+a1+a2+a3+a4+a5+a63，又 a02， a1+a2+a3+a4+a5+a65，故 C 正确； 在所给的等式中，令 x1，得 a0a1+a2a3+a4a5+a6243， 由得：a1+a3+a5123，D 错误 故选：ABC 12 （5 分）记函数 f（x）与 g（x）的定义域的交集为 I若存在 x0I，使得对任意 xI，不 等式f（x）g（x）（xx0）0 恒成立，则称（f（x） ，g（x） ）构成“M 函数对” 下 列所给的两个函数能构成“M 函数对”的有（ ） Af（x

25、）lnx，() = 1 Bf（x）ex，g（x）ex Cf（x）x3，g（x）x2 D() = + 1 ，() = 3 第 11 页（共 19 页） 【解答】解：选项 A，f（x）lnx 在（0，+）递增，g（x）= 1 在（0，+）递减，所 以 yf（x）和 yg（x）在（0，+）满足“M 函数对”的定义； 选项 B，yf（x）g（x）exex，yexe，可得 x1 时，函数 y 递增；x1 时， 函数 y 递减，可得 x1 处函数 y 取得最小值 0， 即 f（x）g（x） ，故不满足“M 函数对”的定义； 选项 C，由 f（x）g（x） ，可得 x0 或 x1，在（0，1）内，f（x）g

26、（x） ，在（1， +） ，f（x）g（x） ，所以存在 x01 符合题意，故满足“M 函数对”的定义； 选项 D，由 yf（x）x+ 1 （x） ）和 yg（x）3（x0）的图象（如右图）可得 它们有两个交点，故不满足“M 函数对”的定义 故选：AC 三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 20 分请把答案填写在答题卡相应位置分请把答案填写在答题卡相应位置 上）上） 13 （5 分）如图，一个底面半径为 R 的圆柱形量杯中装有适量的水若放入一个半径为 r 的实心铁球（小球完全浸入水中） ，水面高度恰好升高 3，则 = 2 【解答】解：2

27、3 = 4 3 3 2 2 = 4 = 2， 故答案为：2 第 12 页（共 19 页） 14 （5 分）被誉为“数学之神”之称的阿基米德（前 287前 212） ，是古希腊伟大的物理 学家、数学家、天文学第 13 题家，他最早利用逼近的思想证明了如下结论：抛物线的弦 与抛物线所围成的封闭图形的面积，等于抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成 的三角形面积的三分之二这个结论就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被称为阿 基米德三角形 在平面直角坐标系心中， 已知直线 l： y4 与抛物线 C： = 1 4 2交于 A， B 两点，则弦与拋物线 C 所围成的封闭图形的面积为 64 3 【解答】解

28、：由题意知，点 A（4，4） ，B（4，4） ， = 1 4 2，y=1 2x， 在点 A 处的切线斜率为 2，切线方程为 y42（x4） ，即 y2x4， 同理可得，在点 B 处的切线方程为 y2x4， 弦 AB 与两条切线所围成的三角形面积为1 2 8 8 = 32， 弦与拋物线 C 所围成的封闭图形的面积为2 3 32= 64 3 故答案为：64 3 15 （5 分）已知数列an的各项均为正数，其前 n 项和为 Sn，且 2Snanan+1，nN*，则 a4 4 ；若 a12，则 S20 220 【解答】解：因为 2Snanan+1， 所以 2Sn+1an+2an+2， 两式相减得： 2

29、（Sn+1Sn）an+1（an+2an） ， 即 2an+1an+1（an+2an） ， 因为数列an的各项均为正数， 所以 2an+2an， 第 13 页（共 19 页） 因为 2Snanan+1， 所以 2a1a1a2， 所以 a22， 因为 2an+2an， 所以 a4a22， 所以 a42； 因为 2an+2an， 所以相邻的奇数项差值为 2，相邻的偶数项差值为 2， 所以所有的奇数项构成公差为 2 的等差数列，所有的偶数项构成等差数列， 因为 a2a12， 所以a2k1与a2k均为公差为 2 的等差数列， 所以20= 2 10 + 109 2 2 + 2 10 + 109 2 2 =

30、 220 故答案为：4；220 16 （5 分）若不等式（ax2+bx+1）ex1 对一切 xR 恒成立，其中 a，bR，e 为自然对数 的底数，则 a+b 的取值范围是 （，1 【解答】解：令 f（x）（ax2+bx+1）ex，题中的不等式即 f（x）f（0）恒成立， 显然 a0，f（x）exax2+（2a+b）x+b+1， 则 f（0）b+10b1，f（x）exax2+（2a+1）xxex（ax+2a1） ， 当 a0 时，f（x）在（，0）递增， （0，+）递减，f（x）f（0）符合题意， a0 时，f（x）在（，1;2 ）递减， （1;2 ，0）递增， （0，+）递减， x 12 ，a

31、x2x+10f（x）0，故 f（x）f（0）符合题意， 综上，a0，b1，因此 a+b（，1 故答案为： （，1 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 小题，共计小题，共计 70 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤）字说明、证明过程或演算步骤） 17（10 分） 已知向量 = （2cosx， 1） ， = （3sinx， 2cos2x） ， xR， 设函数() = + 1 （1）求函数 f（x）的最小正周期； （2）若 a 3， 7 12，且() = 8 5，求 cos2a 的值 第 14 页（共 19 页） 【

32、解答】解： （1）() = + 1 =23sinxcosx2cos2x+1= 3sin2xcos2x2sin （2x 6） ， 函数 f（x）的最小正周期为 T= 2 2 = （2）f（a）2sin（2a 6）= 8 5，sin（2a 6）= 4 5， a 3， 7 12，2a 6 2，cos（2a 6）= 3 5， cos2acos （2a 6） + 6cos （2a 6） cos 6 sin （2a 6） sin 6 = 3 5 3 2 4 5 1 2 = ;4;33 10 18 （12 分）已知数列an是公比为 2 的等比数列，其前 n 项和为 Sn， （1）在S1+S32S2+2，3=

33、 7 3，a2a34a4，这三个条件中任选一个，补充到上 述题干中 求数列an的通项公式， 并判断此时数列an是否满足条件 P： 任意 m， nN*， aman均为数列an中的项，说明理由； （2）设数列bn满足= (+1 );1，nN*，求数列bn的前 n 项和 Tn 注：在第（1）问中，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 【解答】解： （1） ：选时，由于S1+S32S2+2， 所以 S3S2S2S1+2，整理得 a3a2+2， 由于数列an是公比为 2 的等比数列， 所以 4a12a1+2，解得 a11 所以= 2;1 此时任意 m，nN*，aman2m+n 2， 由于 m+n1

34、N+，所以 aman是数列an的第 m+n1 项，因此数列an都满足条件 P 选时， 因为3= 7 3， 数列an是公比为 2 的等比数列， 所以1+ 21+ 41= 7 3，解得1 = 1 3 所以= 1 3 2;1 第 15 页（共 19 页） 因此12= 2 9 1，即 a1a2不为数列an中的项 因此数列an不满足条件 P 选时，a2a34a4， 数列an是公比为 2 的等比数列， 所以+1 = 2（常数） ， 所以 a14， 此时任意 m，nN*，aman2m+n 2， 由于 m+n1N+，所以 aman是数列an的第 m+n1 项，因此数列an都满足条件 P （2）数列an是公比为

35、 2 的等比数列， 所以+1 = 2（常数） ， 所以= 2;1， 则= 1 20+ 2 21+ + 2;1， 2= 1 21+ 2 22+ + 2， 得：= 1 + 2 + 22+ + 2;1 2= 21 21 2， 整理得= ( 1) 2+ 1 19 （12 分）为调查某校学生的课外阅读情况，随机抽取了该校 100 名学生（男生 60 人， 女生40人） ， 统计了他们的课外阅读达标情况 （一个学期中课外阅读是否达到规定时间） ， 结果如表： 是否达标 性别 不达标 达标 男生 36 24 女生 10 30 （1）是否有 99%的把握认为课外阅读达标与性别有关？ 附：2= ()2 (+)(

36、+)(+)(+) P（K2k） 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （2）如果用这 100 名学生中男生和女生课外阅读“达标”的频率分别代替该校男生和女 第 16 页（共 19 页） 生课外阅读“达标”的概率，且每位学生是否“达标”相互独立现从该校学生中随机 抽取 3 人（2 男 1 女） ，设随机变量 X 表示“3 人中课外阅读达标的人数” ，试求 X 的分布 列和数学期望 【解答】解： （1）假设 H0：课外阅读达标与性别无关，根据列联表，得： 2= ()2 (+)(+)(+)(+) = 100(36

37、302410)2 (36+24)(10+30)(36+10)(24+30) = 2450 207 11.836 6.635， 当 H0成立时，k26.635 的概率约为 0.01， 有 99%以上的把握认为课外阅读达标与性别有关 （2）记事件 A 为：从该校男生中随机抽取 1 人，课外阅读达标； 事件 B 为：从该校女生中随机抽取 1 人，课外阅读达标 由题意知：P（A）= 24 60 = 2 5，P（B）= 30 40 = 3 4， 随机变量 X 的可能取值为 0，1，2，3， P（X0）（1 2 5） 2（13 4）= 9 100， P（X1）= 2 1 2 5 (1 2 5) (1 3

38、4) + 3 4 (1 2 5) 2 = 39 100， P（X2）= (2 5) 2 (1 3 4) + 2 1 2 5 (1 2 5) 3 4 = 2 5， P（X3）= (2 5) 2 3 4 = 3 25， 随机变量 X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 9 100 39 100 2 5 3 25 E（X）= 0 9 100 + 1 39 100 + 2 2 5 + 3 3 25 =1.55 20 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面 ABCD，ADBC，ABBC PA1，AD2，PADDAB90，点 E 在棱 PC 上，设 CECP （1）求证：CDAE；

39、 （2）记二面角 CAED 的平面角为 ，且| = 10 5 ，求实数 的值 第 17 页（共 19 页） 【解答】 （1）证明：PAD90，PAAD， 平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，PAAD，PA平面 PAD， PA平面 ABCD，又 CD平面 ABCD， PACD， ADBC，DAB90，ABC90， 又 ABBC1，AC= 2，BAC45， CAD45，又 AD2，CD=2 + 4 2 2 2 45 = 2， AC2+CD2AD2，故 ACCD， 又 PAACA， CD平面 PAC，又 AE平面 PAC， CDAE （2）解：以 AB，AD，AP 为坐标轴建

40、立空间直角坐标系 Axyz，如图所示， 则 A（0，0，0） ，D（0，2，0） ，P（0，0，1） ，C（1，1，0） ， = （1， 1， 1） ， = （0， 2， 0） ， = （1， 1， 0） ， = （1， 1， 0） ， = = （， ，） ， 故 = + =（1，1，） ， 设平面 ADE 的法向量为 = （x， y， z） ， 则 = 0 = 0 ， 即2 = 0 (1 ) + (1 ) + = 0， 令 z1 可得 =（，0，1） ， CD平面 APC， 是平面 ACE 的一个法向量， cos ， = | | | = 222+12， 二面角 CAED 的余弦值的绝对值为

41、10 5 ，故 222;2:1 = 10 5 ， 第 18 页（共 19 页） 解得 = 2 3或 2（舍） ，故 = 2 3 21 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C： 2 4 + 2= 1 （1）设椭圆 C 的左、右焦点分别为 F1，F2，T 是椭圆 C 上的一个动点，求1 2 的取 值范围； （2）设 A（0，1） ，与坐标轴不垂直的直线 l 交椭圆 C 于 B，D 两点，若ABD 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，求直线 l 的方程 【解答】解： （1）因为椭圆 C： 2 4 + 2= 1，所以 F1（3，0） ，F2（3，0） ， 设 T（x0，y0） ，则1

42、 2 =（3 x0，y0） （3 x0，y0）x02+y023， 因为 T 在椭圆上，可得0 2 4 +y021， 所以1 2 = 3 4x0 22，且 x020，4， 所以1 2 的取值范围是2，1； （2）因为直线 l 与坐标轴不垂直，故设直线 l 的方程为 ykx+m（m1） ， 设 B（x1，y1） ，D（x2，y2） ， 由 = + 2+ 42= 4可得（1+4k 2）x2+8kmx+4m240， 所以 x1+x2= 8 1+42，x1x2= 424 1+42 ， 因为ABD 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形， 所以 ABAD，即 =0，因此（y1+1） （y2+1）+x1x20

43、， 即（kx1+m+1） （kx2+m+1）+x1x20， 从而（1+k2）x1x2+k（m+1） （x1+x2）+（m+1）20， 第 19 页（共 19 页） 即（1+k2） 4 2;4 1:42 k（m+1） 8 1:42 +（m+1）20， 化为 4（1+k2） （m1）8k2m+（1+4k2） （m+1）0，解得 m= 3 5， 又线段 BD 的中点 M（ 4 1+42， 1:42） ，且 AMBD， 所以 1+42:1 ; 4 1+42 = 1 ，即 3m1+4k 2，解得 k 5 5 ， 又当 k 5 5 ，m= 3 5时，64k 2m24（1+4k2） （4m24）=576 2

44、5 0， 所以满足条件的直线 l 的方程为 y 5 5 x+ 3 5 22 （12 分）已知函数 f（x）kxxlnx，kR （1）当 k2 时，求函数 f（x）的单调区间； （2）当 0 x1 时，f（x）k 恒成立，求 k 的取值范围； （3）设 nN*，求证：1 2 + 2 3 + + :1 (;1) 4 【解答】解： （1）当 k2 时，f（x）2xxlnx，f （x）1lnx，由 f （x）0，解得 0 xe；由 f （x）0，解得 xe， 因此函数 f（x）单调递增区间为（0，e） ，单调递减区间为（e，+） （2）f（x）kxxlnx，故 f （x）k1lnx， 当 k1 时，因

45、为 0 x1，所以 k10lnx，因此 f （x）0 恒成立，即 f（x）在（0， 1上单调递增，所以 f（x）f（1）k 恒成立， 当 k1 时，令 f （x）0，解得 xek 1（0，1） ， 当 x（0，ek 1） ，f （x）0，f（x）单调递增；当 x（ek1，1） ，f （x）0，f（x） 单调递减， 于是 f（ek 1）f（1）k，与 f（x）k 恒成立相矛盾， 综上，k 的取值范围为1，+） 证明： （3）由（2）知，当 0 x1 时，xxlnx1令 x= 1 2（nN*） ， 则 1 2 + 2 2 1，即 2lnnn21，因此 :1 ;1 2 ， 所以1 2 + 2 3 + + :1 0 2 + 1 2 + + ;1 2 = (;1) 4