1、 第 1 页(共 19 页) 2020-2021 学年山东省聊城市高三(上)期中数学试卷学年山东省聊城市高三(上)期中数学试卷 一、单项选择题:本题共一、单项选择题:本题共 8 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 40 分在每小题给出的四个选项中,只分在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 (5 分)已知集合 |10Ax x , |21 x By y,则(AB ) A(1,) B( 1,) C(, 1) D(,1) 2 (5 分)如果一个复数的实部和虚部相等,则称这个复数为“等部复数” ,若复数 1 2 ai z i 为“等部复数” ,则实数a的
2、值为( ) A1 B0 C1 D2 3 (5 分)已知条件 2 :20p xx,条件:q xa,若p是q的必要不充分条件,则a的取 值范围是( ) A1a B1a C2a D2a 4 (5 分)已知函数( )yf x的图象如图所示,则此函数可能是( ) A( )cosf xx lnx B( )cos|f xx ln x C( )cos|f xx ln x D( ) |cos|f xxlnx 5 (5 分)刘微是中国魏晋时期杰出的数学家,他提出“割圆求周”方法:当n很大时,用 圆内接正n边形的周长近似等于圆周长,并计算出精确度很高的圆周率3.1416在九 章算术注中总结出“割之弥细,所失弥少,割
3、之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无 所失矣”的极限思想运用此思想,当取 3.1416 时可得sin1的近似值为( ) A0.00873 B0.01745 C0.02618 D0.03491 6(5 分) 函数( )sin()(0f xx ,|) 2 的图象如图所示, 为了得到( )sin(3) 4 g xx 的图象,只需将( )f x的图象( ) 第 2 页(共 19 页) A向右平移 6 个单位长度 B向左平移 6 个单位长度 C向右平移 2 个单位长度 D向左平移 2 个单位长度 7 (5 分)若函数( )f x为定义在R上的偶函数,且在(0,)内是增函数,又f(2)0, 则不等式(1
4、)0 xf x的解集为( ) A(,2)(0,2) B( 1,1)(3,) C( 1,0)(3,) D( 2,0)(2,) 8 (5 分)已知a,bR, x eaxb对任意的xR恒成立,则ab的最大值为( ) A 1 e B1 C2 D 2 e 二、多项选择题:本题共二、多项选择题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分在每小题给出的四个选项中,有分在每小题给出的四个选项中,有 多项符合题目要求全部选对的得多项符合题目要求全部选对的得 5 分,部分选对的得分,部分选对的得 3 分,有选错的得分,有选错的得 0 分分 9 (5 分)已知a,bR,下列说法正确的有( )
5、A若ab,则 22 11 ab B若ab,则 33 ab C若1ab ,则2ab D若 22 1ab,则 1 2 ab 10 (5 分)某大学进行强基计划招生时,需要进行逻辑思维和阅读表达两项能力的测试学 校对参加测试的 200 名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排 名其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如图所示: 则下面判断中一定正确的是( ) A甲同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前 第 3 页(共 19 页) B乙同学的阅读表达成绩排名比他的逻辑思维成绩排名更靠前 C甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中,甲同学更靠前 D甲、乙、丙三位同学的阅读表达成绩
6、排名中,丙同学更靠前 11 (5 分)已知向量 1 e, 2 e是平面内的一组基向量,O为内的定点,对于内任意一 点P,当 12 OPxeye时,则称有序实数对( , )x y为点P的广义坐标若点A、B的广义 坐标分别为 1 (x, 12 )(yx, 2) y,关于下列命题正确的是( ) A线段A、B的中点的广义坐标为 1212 (,) 22 xxyy BA、B两点间的距离为 22 1212 ()()xxyy C向量OA平行于向量OB的充要条件是 1221 x yx y D向量OA垂直于OB的充要条件是 1221 0 x yx y 12(5 分) 已知ABC的内角A,B,C的对边长a,b,c成
7、等比数列, 1 cos()cos 2 ACB, 延长BA至D则下面结论正确的是( ) A 6 A B 3 B C若3CD ,则ACD 周长的最大值为2 33 D若4BD ,则ACD 面积的最大值为3 三、填空题:本题共三、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分 13(5 分) 若曲线( )sinf xxx在 2 x 处的切线与直线10axy 平行, 则实数a 14 (5 分)已知ABC中,1AC ,3BC ,2AB ,点M是线段AB的中点,则 CM CA 15 (5 分)2020 年疫情期间,某医院 30 天每天因患新冠肺炎而入院就诊的人数依次构成数 列 n
8、 a,已知 1 1a , 2 2a ,且满足 2 1 ( 1)n nn aa ,则该医院 30 天内因患新冠肺炎就 诊的人数共有 16 (5 分)设 |,03 ( ) (6),36 lnxx f x fxx ,若方程( )f xm有四个不相等的实根(1 i x i ,2, 第 4 页(共 19 页) 3,4),则m的取值范围为 ; 2222 1234 xxxx的最小值为 四、解答题:本题共四、解答题:本题共 6 小题,共小题,共 70 分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17(10 分) 在ABC中, 角A,B,C的对边分别为a,b,c,(cosc
9、os)()cosaBCbcA, 10 3 ABC S (1)若ABC还同时满足下列三个条件中的两个:7a ,10b ,8c ,请指出这 两个条件,并说明理由; (2)若2 6a ,求ABC的周长 18 (12 分) n S为等差数列 n a的前n项和,且 1 2a , 7 35S ,记 nn blga,其中 x表 示不超过x的最大整数,如0.90, 991lg (1)求 1 b, 11 b, 101 b; (2)求数列 n b的前 2020 项和 19 (12 分)已知函数 3 ( )log (31)() x f xkx kR是偶函数 (1)求k的值; (2)若不等式 1 ( )0 2 f x
10、xa 对0 x,)恒成立,求实数a的取值范围 20 (12 分)已知函数( )2sin()(0f xx ,|) 2 的图象与直线2y 两相邻交点之 间的距离为,且图象关于 12 x 对称 (1)求( )yf x的解析式; (2)令函数( )( )1g xf x,且( )yg x在0,a上恰有 10 个零点,求a的取值范围 21 (12 分)某一企业为了进一步增加市场竞争力,计划在 2021 年利用新技术生产某款智 能手机通过市场分析,生产此款手机全年需投入固定成本 200 万元,每生产x(千部)手 机,需另投入成本( )P x万元,且 2 5100 ,050 ( ) 8100 50110380
11、,50 xxx P x xx x ,由市场调研知,每部手 机售价 5000 元,且全年内生产的手机若不超过 100(千部)则当年能全部销售完 (1)求出 2021 年的利润y(万元)关于年产量x(千部)的函数关系式(利润销售额 成本) ; (2)2021 年年产量x(千部)为多少时,企业所获利润最大?最大利润是多少? 第 5 页(共 19 页) 22 (12 分)已知函数( )1sin () x f xeax aR (1)当1a 时,判断( )f x在(0,)的单调性; (2)当0 x,时,( ) 0f x 恒成立,求实数a的取值范围 第 6 页(共 19 页) 2020-2021 学年山东省
12、聊城市高三(上)期中数学试卷学年山东省聊城市高三(上)期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题:本题共一、单项选择题:本题共 8 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 40 分在每小题给出的四个选项中,只分在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 (5 分)已知集合 |10Ax x , |21 x By y,则(AB ) A(1,) B( 1,) C(, 1) D(,1) 【解答】解: |1Ax x, |1By y ; ( 1,)AB 故选:B 2 (5 分)如果一个复数的实部和虚部相等,则称这个复数为“等部复数” ,若复数
13、 1 2 ai z i 为“等部复数” ,则实数a的值为( ) A1 B0 C1 D2 【解答】解: 2 1(1)1 2222 aiai ia zi ii , 复数 1 2 ai z i 为“等部复数” 1a 1a 故选:A 3 (5 分)已知条件 2 :20p xx,条件:q xa,若p是q的必要不充分条件,则a的取 值范围是( ) A1a B1a C2a D2a 【解答】解:条件 2 :20p xx,解得1x 或2x 条件:q xa, p是q的必要不充分条件, 2a 故选:D 4 (5 分)已知函数( )yf x的图象如图所示,则此函数可能是( ) 第 7 页(共 19 页) A( )co
14、sf xx lnx B( )cos|f xx ln x C( )cos|f xx ln x D( ) |cos|f xxlnx 【解答】 解: 由图象可知函数为偶函数, 其定义域为(,0)(0,), 函数的值域(,) , 故可排除AD, 对于B,当 6 x 时,()cos| 0 666 fln ,当1x 时,f(1)0,故B不符合, 对于C,当 6 x 时,()cos| 0 666 fln ,当1x 时,f(1)0,故C符合, 故选:C 5 (5 分)刘微是中国魏晋时期杰出的数学家,他提出“割圆求周”方法:当n很大时,用 圆内接正n边形的周长近似等于圆周长,并计算出精确度很高的圆周率3.141
15、6在九 章算术注中总结出“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无 所失矣”的极限思想运用此思想,当取 3.1416 时可得sin1的近似值为( ) A0.00873 B0.01745 C0.02618 D0.03491 【解答】解:将一个单位圆分成 180 个扇形, 则每个扇形的圆心角度数均为2 由垂径定理,可得每个圆心角所对的弦长22 1 sin12sin1ABAC , 这 180 个扇形对应的弦长之和近似于单位圆的周长, 1802 1 sin1360sin12 , 223.1416 sin10.01745 360360 故选:B 第 8 页(共 19 页) 6(5 分
16、) 函数( )sin()(0f xx ,|) 2 的图象如图所示, 为了得到( )sin(3) 4 g xx 的图象,只需将( )f x的图象( ) A向右平移 6 个单位长度 B向左平移 6 个单位长度 C向右平移 2 个单位长度 D向左平移 2 个单位长度 【解答】解:由函数( )sin()f xx的图象知, 5 41246 T ,解得 2 3 T , 所以 22 3 2 3 T ; 又 5 sin(3)1 12 ,且| 2 , 所以 4 , 所以( )sin(3) 4 f xx , 又函数( )sin(3)sin3() 464 g xxx , 所以将函数( )f x的图象向右平移 6 个
17、单位即可 故选:A 7 (5 分)若函数( )f x为定义在R上的偶函数,且在(0,)内是增函数,又f(2)0, 则不等式(1)0 xf x的解集为( ) A(,2)(0,2) B( 1,1)(3,) C( 1,0)(3,) D( 2,0)(2,) 【解答】解:根据题意,函数( )f x在(0,)内是增函数且f(2)0, 则在区间(0,2)上,( )0f x ,在区间(2,)上,( )0f x , 又由( )f x为偶函数,则在区间( 2,0)上,( )0f x ,在区间(, 2) 上,( )0f x , 0 (1)0 (1)0 x xf x f x 或 0 (1)0 x f x ,则有10
18、x 或3x , 第 9 页(共 19 页) 即不等式的解集为( 1,0)(3,), 故选:C 8 (5 分)已知a,bR, x eaxb对任意的xR恒成立,则ab的最大值为( ) A 1 e B1 C2 D 2 e 【解答】解:若0a ,则yaxb单调递减, x ye单调递增, 不能满足且 x eaxb对xR恒成立,故而0a 若0a ,则0ab 若0a ,由 x eaxb得 x b eax,则 2x ab aea x 设函数 2 ( ) x f xaea x, 2 ( )() xx f xaeaa ea , 令( )0fx得0 x ea,解得xlna, 当xlna时,( )0fx ,函数( )
19、f x递减; 当xlna时,( )0fx,函数( )f x递增; 当xlna时,函数( )f x取最小值,( )f x的最小值为 22 ()f lnaaa lna 设g(a) 22 (0)aa lna a,g(a)(12)(0)alna a, 由g(a)0得ae, 当0ae时,g(a)0,当ae时,g(a)0 当ae时,()ge取得最大值 1 () 22 e geee ab的最大值为 2 e 故选:D 二、多项选择题:本题共二、多项选择题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分在每小题给出的四个选项中,有分在每小题给出的四个选项中,有 多项符合题目要求全部选对的得多项
20、符合题目要求全部选对的得 5 分,部分选对的得分,部分选对的得 3 分,有选错的得分,有选错的得 0 分分 9 (5 分)已知a,bR,下列说法正确的有( ) A若ab,则 22 11 ab B若ab,则 33 ab C若1ab ,则2ab D若 22 1ab,则 1 2 ab 第 10 页(共 19 页) 【解答】解:对于A:由于ab,所以 22 222222 11()()baab ba aba ba b 不能确定正负,故A 错误 对于B:由于ab,所以 2 332 3 ()()0 24 bb ababa,故B正确; 对于C:当a和b为正数,且1ab 时,22abab, (当且仅当ab时,等
21、号成立) , 故C错误; 对于D:由于 22 1ab,所以 22 12abab,整理得 1 2 ab,故D正确 故选:BD 10 (5 分)某大学进行强基计划招生时,需要进行逻辑思维和阅读表达两项能力的测试学 校对参加测试的 200 名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排 名其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如图所示: 则下面判断中一定正确的是( ) A甲同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前 B乙同学的阅读表达成绩排名比他的逻辑思维成绩排名更靠前 C甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中,甲同学更靠前 D甲、乙、丙三位同学的阅读表达成绩排名中,丙同学更靠前 【
22、解答】对于A,甲同学的逻辑思维能力比较靠前,但是总成绩比较靠后,说明甲同学的 逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前,故A正确 对于B,乙同学的总排名比较靠前,但是他的逻辑思维排名比较靠后,说明他的阅读表达 排名比逻辑排名成绩更靠前,故B正确 对于C,甲乙丙三位同学的逻辑思维排名顺序是甲,丙,乙,故甲同学最靠前故C正确 对于D,丙同学的阅读表达和逻辑思维排名居中,故总成绩排名也居中,但是乙同学的总 成绩比居中靠前,故乙同学的阅读表达成绩比丙同学的阅读表达成绩排名更靠前, 故D错误 第 11 页(共 19 页) 故选:ABC 11 (5 分)已知向量 1 e, 2 e是平面内的一组基向量,
23、O为内的定点,对于内任意一 点P,当 12 OPxeye时,则称有序实数对( , )x y为点P的广义坐标若点A、B的广义 坐标分别为 1 (x, 12 )(yx, 2) y,关于下列命题正确的是( ) A线段A、B的中点的广义坐标为 1212 (,) 22 xxyy BA、B两点间的距离为 22 1212 ()()xxyy C向量OA平行于向量OB的充要条件是 1221 x yx y D向量OA垂直于OB的充要条件是 1221 0 x yx y 【解答】解:根据题意得,由中点坐标公式知A正确; 只有平面直角坐标系中两点间的距离公式B才正确,未必是平面直角坐标系因此B错误; 由向量平行的充要条
24、件得C正确; 当向量 1 e, 2 e是相互垂直的单位向量时,OA与OB垂直的充要条件为 1212 0 x xy y,因此 D不正确; 故选:AC 12(5 分) 已知ABC的内角A,B,C的对边长a,b,c成等比数列, 1 cos()cos 2 ACB, 延长BA至D则下面结论正确的是( ) A 6 A B 3 B C若3CD ,则ACD 周长的最大值为2 33 D若4BD ,则ACD 面积的最大值为3 【解答】解:B在ABC中,ABC,则ACB, 由 1 cos()cos 2 ACB,知 1 cos()cos() 2 ACAC, 所以 1 coscossinsincoscossinsin
25、2 ACACACAC, 所以 1 coscos 4 AC 第 12 页(共 19 页) 由a,b,c成等比数列知 2 bac, 由正弦定理边化角,得 2 sinsinsinBAC 得 1 sin2coscossinsincos()cos 4 BACACACB , 所以 1 sin2cos 4 BB又因为 22 sincos1BB, 所以 3 cos2cos0 4 BB,解得 1 cos 2 B 或 3 cos 2 B (舍), 所以 3 B ,故B正确; A由,得 2 1 sincoscossinsincos() 4 BACACAC, 所以 2 13 cos()()1 42 AC,所以AC,
26、故ABC为正三角形,如图所示: 则abc, 3 A ,故A错误; C由于在ACD中,由余弦定理 222 2cosCDACADAC ADDAC, 可得 22 923ACADAC ADAC ADAC ADAC AD, 解得3AC AD,当且仅当ACAD等号成立, 所以 222 9()ACADAC ADACADAC AD, 可得 2 ()912ACADAC AD,解得2 3ACAD,当且仅当ACAD等号成立, 所以ACD周长的最大值为2 33,故C正确; D由于 1133 3 sin3 2224 ACD SAC ADDAC ,当且仅当ACAD等号成立, 即 2 11333 sin(4)3 22244
27、 ACD SACADDACACADaaaa , 所以当 3 2 3 2() 4 a 时, ACD S取最大值,最大值为3,故D正确 故选:BCD 第 13 页(共 19 页) 三、填空题:本题共三、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分 13(5 分) 若曲线( )sinf xxx在 2 x 处的切线与直线10axy 平行, 则实数a 1 【解答】解:由( )sinf xxx,得( )sincosfxxxx, ()sincos1 2222 f , 直线10axy 的斜率为a, 曲线( )sinf xxx在 2 x 处的切线与直线10axy 平行, 1a 故答
28、案为:1 14(5 分) 已知ABC中,1AC ,3BC ,2AB , 点M是线段AB的中点, 则CM CA 1 2 【解答】解:ABC中,1AC ,3BC ,2AB , 可得 222 ACBCAB,所以0CA CB , 点M是线段AB的中点, 则 2111 () 222 CM CACACB CACA, 故答案为: 1 2 15 (5 分)2020 年疫情期间,某医院 30 天每天因患新冠肺炎而入院就诊的人数依次构成数 列 n a,已知 1 1a , 2 2a ,且满足 2 1 ( 1)n nn aa ,则该医院 30 天内因患新冠肺炎就 诊的人数共有 255 【解答】解:当n为奇数时: 2
29、2 nn aa (常数) ,该数列的奇数项为等差数列 当n为偶数时, 2nn aa ,该数列为常数列; 所以 122930 15 14 15 1 1522255 2 aaaa 故答案为:255 第 14 页(共 19 页) 16 (5 分)设 |,03 ( ) (6),36 lnxx f x fxx ,若方程( )f xm有四个不相等的实根(1 i x i ,2, 3,4),则m的取值范围为 (0,3)ln ; 2222 1234 xxxx的最小值为 【解答】解:当36x时,( )(6)f xfx,函数( )f x关于直线3x 对称, 画出函数( )f x的图象,如图所示 , 方程( )f x
30、m有四个不相等的实根, 函数( )f x与ym有 4 个交点, 由函数( )f x的图象可知03mln, 即m的取值范围为:(0,3)ln, 由函数( )f x的图象可知: 14 6xx, 23 6xx,且 1 lnxm , 2 lnxm, 1 m xe, 2 m xe, 3 6 m xe, 4 6 m xe, 2222222222 1234 (6)(6)2212()72 mmmmmmmm xxxxeeeeeeee , 令 mm tee, 03mln,13 m e , 10 2 3 t , 又 22222 1234 21268xxxxtt, 当3t 时, 2222 1234 xxxx的值最小,
31、最小值为 50, 第 15 页(共 19 页) 故答案为:(0,3)ln,50 四、解答题:本题共四、解答题:本题共 6 小题,共小题,共 70 分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17(10 分) 在ABC中, 角A,B,C的对边分别为a,b,c,(coscos)()cosaBCbcA, 10 3 ABC S (1)若ABC还同时满足下列三个条件中的两个:7a ,10b ,8c ,请指出这 两个条件,并说明理由; (2)若2 6a ,求ABC的周长 【解答】解: (1)因为(coscos)()cosaBCbcA, 所以sin (coscos)(s
32、insin)cosABCBCA, 所以sin()sin()ABCA, 又因为A,B,(0, )C, 所以ABCA,即2ABC, 所以 3 A , 因为10 3 ABC S, 所以 113 sin10 3 222 ABC SbcAbc ,解得40bc 选择条件,因为 sinsin ab AB , 所以 710 sin3 2 B ,所以 5 3 sin1 7 B ,这不可能,所以ABC不能同时满足; 选择条件,这与40bc 矛盾,所以ABC不能同时满足; 选择条件, 因为 222 2cosabcbcA, 所以 222 7828cos 3 bb , 所以3b , 或5b , 又因为40bc ,所以5
33、b ,所以ABC同时满足 (2)由 22222 (2 6)2cos()3()120 3 bcbcbcbcbc , 所以12bc, 所以ABC周长为122 6 18 (12 分) n S为等差数列 n a的前n项和,且 1 2a , 7 35S ,记 nn blga,其中 x表 第 16 页(共 19 页) 示不超过x的最大整数,如0.90, 991lg (1)求 1 b, 11 b, 101 b; (2)求数列 n b的前 2020 项和 【解答】解: (1)由题设知: 17 74 7() 735 2 aa Sa , 4 5a, 又 1 2a ,公差 41 1 3 aa d , 1 n an,
34、 又(1) nn blgalg n, 1 0b, 11 1b , 101 2b; (2)由(1)可知:当8n时,29 n a剟,0 n b ; 当998n剟时,1099 n a剟,1 n b ; 当99998n剟时,100999 n a剟,2 n b ; 当9992020n剟时,10002021 n a剟,3 n b , 2020 081 9029003 10224956T 19 (12 分)已知函数 3 ( )log (31)() x f xkx kR是偶函数 (1)求k的值; (2)若不等式 1 ( )0 2 f xxa 对0 x,)恒成立,求实数a的取值范围 【解答】解: (1)因为(
35、)yf x为偶函数,所以对任意的xR,()( )fxf x, 即 33 log (31)log (31) xx kxkx , 于是 3333 31 2log (31)log (31)loglog 3 31 x xx x kx x x , 而x不恒为 0,所以21k ,即 1 2 k ; (2)因为 1 ( )0 2 f xxa 对0 x,)恒成立, 即 3 log (31) x ax对0 x,)恒成立, 可令 33 ( )log (31)log (31) xx g xx , 因为 1 112 3x ,所以 33 ( )log (31) log 2 x g x ,所以 3 log 2a, 即a的
36、范围是 3 log 2,) 第 17 页(共 19 页) 20 (12 分)已知函数( )2sin()(0f xx ,|) 2 的图象与直线2y 两相邻交点之 间的距离为,且图象关于 12 x 对称 (1)求( )yf x的解析式; (2)令函数( )( )1g xf x,且( )yg x在0,a上恰有 10 个零点,求a的取值范围 【解答】解: (1)由已知可得T, 2 ,2, 又函数( )f x的图象关于 12 x 对称, 2 122 k ,kZ, 22 , 3 , ( )2sin(2) 3 f xx (2)令( )0g x 得: 1 sin(2) 32 x , 要使( )yg x在0,a
37、上恰有 10 个零点,则52252 636 a , 解得:19 65 412 a , 所以a的取值范围为: 1965 ,) 412 21 (12 分)某一企业为了进一步增加市场竞争力,计划在 2021 年利用新技术生产某款智 能手机通过市场分析,生产此款手机全年需投入固定成本 200 万元,每生产x(千部)手 机,需另投入成本( )P x万元,且 2 5100 ,050 ( ) 8100 50110380,50 xxx P x xx x ,由市场调研知,每部手 机售价 5000 元,且全年内生产的手机若不超过 100(千部)则当年能全部销售完 (1)求出 2021 年的利润y(万元)关于年产量
38、x(千部)的函数关系式(利润销售额 成本) ; (2)2021 年年产量x(千部)为多少时,企业所获利润最大?最大利润是多少? 【解答】解: (1)当050 x时, 22 500(5100 )2005400200yxxxxx; 当50100 x剟时, 81008100 500(50110380)200()10180yxxx xx 第 18 页(共 19 页) 2 5400200,050 8100 ()10180,50100 xxx y xx x 剟 ; (2)若050 x,则 22 54002005(40)7800yxxx, 当40 x 时,7800 max y万元; 当50100 x剟时,
39、8100 ()10180 101802 810010000yx x , 当且仅当 8100 x x ,即90 x 时,10000 max y万元 2021年年产量为 90 千部时,企业所获利润最大,最大利润是 10000 万元 22 (12 分)已知函数( )1sin () x f xeax aR (1)当1a 时,判断( )f x在(0,)的单调性; (2)当0 x,时,( ) 0f x 恒成立,求实数a的取值范围 【解答】解: (1)1a 时,( )1 sin x f xex ,故( )cos x f xex, 当(0,)x时,1 x e ,cos1x,故( )0fx, ( )f x在(0
40、,)递增; (2)( )1sin () x f xeax aR , ( )cos x f xeax , 设( )( )h xfx,( )sin x h xeax, 当0a即0a 时,0 x,sin0 x, sin0ax,而1 0 x e ,1sin0 x eax , 即( ) 0f x 恒成立, 当01a 时,( ) 0h x, 故( )fx在0,递增,而(0)10fa , 故( )(0)0fxf,故( )f x在0,递增, 即( )(0)0f xf成立, 当1a 时,( )sin0 x h xeax, 故( )fx在0,递增,而(0)10fa ,()0 2 f , 第 19 页(共 19 页) 故存在 0 0 x ,有 0 ()0fx, 当 0 0 xx时,( )0fx,( )f x递减, 当 0 xx时,( )0fx,( )f x递增, 故 0 xx时,( )f x取最小值,最小值是 0 ()f x, 而 0 ()(0)0f xf,不成立, 综上:实数a的取值范围是(,1