1、 高三数学试卷高三数学试卷（文科文科） 考生注意考生注意： 1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分考试时间 120 分钟 2请将各题答案填写在答题卡上 3本试卷主要考试内容：高考全部内容 第第卷卷 、选择题选择题：本大题共本大题共 12 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 60 分在分在每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题只有一项是符合题 目要求目要求的的 1设集合380|Axxx，则AZ A3| 8xx B4,5,6,7 C8|3xx D7, 6, 5, 4 2若23z ，则 A 2 z的实部为 1 B 2 z的实部为1 C 2 z的虚
2、部为2 6i D 2 z的虚部为2 6 3从 2，3，4，5，6，7，9，11，12 这 9 个数中任意选取 1 个，则这个数是质数的概率为 A 1 3 B 4 9 C 5 9 D 2 3 4某地区 7 月 1 日至 7 月 10 日白天的平均气温的折线图如图所示，则下列判断错误的是 A从 7 月 2 日到 7 月 5 日白天的平均气温呈下降趋势 B这 10 天白天的平均气温的极差大于6 C这 10 天中白天的平均气温为26的频率最大 D这 10 天中白天的平均气温大于26的有 5 天 5若函数 f x的图象关于点1,0对称，则 A1f x为偶函数 B1f x为偶函数 C1f x为奇函数 D1
3、f x为奇函数 6在平行四边形ABCD中，7CDED ，且BE ADDE ，则 A5 B6 C5 D6 7一个长方体的长，宽、高分别为 5，3，6则该长方体的外接球的表面积为 A36 B40 C45 D70 8函数 22 sin2co|()ssin|f xxxx的最小正周期为 A 4 B 2 C D 3 4 9若双曲 22 22 :1(0,0) yx Cab ab 与双曲线 D： 22 1 46 xy 有相同的渐近线，且 C 经过点2,6，则 AC 的实轴长为4 5且离心率为 15 3 BC 的实轴长为4 5且离心率为 10 2 CC 的实轴长为2 30且离心率为 15 3 DC 的实轴长为2
4、 30且离心率为 10 2 10在ABC中， 3 B ，且ABC的面积为9 3 ，则 ABC外接圆的半径的最小值是 A2 3 B6 C4 3 D12 11某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 A 1 2 B1 C 3 2 D2 12已知函数 32 1 ( )(3) 3 x f xxexxa，若 0f x 对xR恒成立，则 a 的取值范围是 A(3,) B(0,) C 2 2, 3 e D 2 4 , 3 e 第第卷卷 二二、填空题：本大题共填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在答题卡的相应位置分把答案填在答题卡的相应位置 13若 1 tan
5、 2 ，则 sincos sin2cos _ 14椭圆 22 1 49 xy 上一点到两焦点的距离之和为_ 15若 x，y 满足约束条件 240 10 0 xy yx y ，则23zyx的最大值为_ 16若函数 99 1 ( )log (2)log 4 f xxx x ，则 f x的值域为_ 三三、解答题解答题：本大题共本大题共 6 小题小题，共共 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤1721 题为题为 必考题必考题，每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22，23 题为选考题题为选考题，考生根据要求作答考生根据要求作答
6、 （一一）必考题必考题：共共 60 分分 17在递增的等比数列 n a中， 3 9a ， 24 30aa （1）求数列 n a的通项公式； （2）若 32 log nn ba，求数列 n b的前 n 项和 n S 18某公司销售部门对某产品在某地区的广告投与纯利润之间的关系进行研究，记录了 2020 年 6 月份到 10 月份的广告费与纯利润得到如下资料表： 月份 6 7 8 9 10 广告费 u（万元） 10 11 13 12 9 纯利润 v（万元） 23 25 30 26 16 （1）根据 6 至 10 月份的数据，求出 v 关于 u 的线性回归方程； （2）该公司销售部门打算 11 月份
7、对该地区投入广告费 15 万元，但公司决策部门规定，当纯利润预测 不低于 35 万元时才能对该地区继续投入广告，否则终止投入广告，试判断销售部门对该地区是否 继续投入广告 附：回归直线 ybxa的斜率和截距的最小二乘估计分别为 1 22 1 n ii i n i i x ynx y b xnx ， a ybx 19在直三棱柱 111 ABCABC中，ABAC，1AB ， 1 2ACAA （1）证明： 11 BC平面 1 ABC （2）求点 A 到平面 1 ABC的距离 20已知函数( )1 x f xnx e （1）若曲线 yf x的一条切线与直线 1 e yx e 垂直，求这条切线的方程 （
8、2）证明： 2 3 ( )ln. 4 f xxx 21已知抛物线 2 :20C ypx p的焦点为 F，点,2 2 p E ，| 2 5.EF （1）求抛物线 C 的方程； （2）已知过点 F 的直线 l 交抛物线 C 于 P、Q 两点，当 E 到l的距离最大时，求EPQ的面积 （二二）选考题选考题：共共 10 分请分请考生从第考生从第 22，23 两题中任选一题作两题中任选一题作答如答如果多做果多做，则按所做的第一个题目计则按所做的第一个题目计 分分 22 选修 44：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，曲线 C 的参数方程为 4cos 44sin x y （为参数） 以坐标原点为极点，
9、x 轴正 半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为34cossinm （1）求 C 的极坐标方程； （2）若 l 与 C 相交，求 m 的取值范围 23 选修 45：不等式选讲 已知函数 3f xxaxa （1）求不等式 1f xxa 的解集； （2）若( )18f xa对xR恒成立，求 a 的取值范围 高三数学试卷参考答案高三数学试卷参考答案（文科文科） 1D 因为83|Axx ，所以7, 6, 5, 4AZ 2B 因为 2 1 2 6zi ，所以 2 z的实部与虚部分别为1，2 6 3C 这 9 个数中 2，3，5，7，11 是质数，故所求概率为 5 9 4D 从 7 月 2 日到
10、 7 月 5 日白天的平均气温呈下降趋势这 10 天白天的平均气温的极差大于6这 10 天中白天的平均气温为26的频率为 0.3，比其他平均气温的频率都要大这 10 天中白天的平均气温 大于26的只有 4 天故选 D 5C 因为函数 f x的图象关于点1,0对称所以将 f x的图象向左平移 1 个单位长度后所得图象关 于原点对称，故选 C 6A 因为7CDED ，所以 6CEDE ， 则6BEBCCEADDE，所以165 7B 该长方体的外接球的半径 2596 10 2 R ， 则该长方体的外接球的表面积为 2 440R 8A 1 ( )| s i n 2c o s 2|s i n 4 2 f
11、xxx， 因为sin4yx的最小正周期为 2 42 ，所以 f x的最小正周期为 4 9C 依题意可设 C 的方程为 22 46 xy ，将2,6代入， 得 22 26 5 46 ，则 C 的方程为 22 5 46 xy ，即 22 1 3020 yx ， 则 C 的实轴长22 30a ，离心率 2015 1 303 e 10A 由三角形的面积公式可得 13 sin9 3 24 acBac，则36ac 由余弦定理可得 222 2 cos236bacaBacacac，即6b， 则ABC外接圆的半径 6 2 3 2sin3 2 2 b R B （当且仅当6ac时，等号成立） 11B 由三视图可知，
12、该三棱锥的两个顶点为正方体的顶点，另外两个顶点是正方体棱的中点，其直观图 如图所示 正视图的面积为 113 2222 11 1 222 ， 故该三棱锥的体积为 13 21 32 12D 2 222 xx fxxexexxx， 设函数 x g xex， 1 x g xe， 易证 00g xg， 令( )0fx，得2x；令( )0fx，得2x， 所以 2 min 4 ( )(2)0 3 f xfea，故 2 4 3 ae 13 1 3 1 s i nc o st a n11 2 3 s i n2 c o st a n23 2 146 因为49所以 2 9a 所以椭圆 22 1 49 xy 上一点到
13、两焦点的距离之和为26a 153 作出可行域如图中阴影部分所示： 由图可知，当直线23zyx，即 3 22 z yx经过点1,0A时，z 取得最大值， 故 max 2 03 13z 160,1 因为 99 22 ( )loglog1 x f x xx ，所以 f x在 1 , 4 上单调递减， 又 2 119 x ，所以 f x的值域为0,1 17解： （1）由题意可得 2 31 3 2411 3 30 1 aa q aaa qa q q ， 解得 1 1a ，3q 故 11 1 3 nn n aa q （2）由（1）可得 21 2 3 n n a ，则 32 log21 nn ban， 故
14、2 (121) 13521 2 n nn Snn 18解： （1）由表中数据可得 1 (10 11 13 129)11 5 u ， 1 (23253026 16)24 5 v 1 2 22 5 5 1 5 1351 5 11 24 3.1 6155 11 5 ii i i i uuv b uu ， 243.1 1110.1avbu ， 故 v 关于 u 的线性回归方程为3.110.1vu （2）当15u 时，3.1 15 10.136.435v ， 所以该公司销售部门将对该地区继续投入广告 19 （1）证明：在直三棱柱 111 ABCABC中， 11 BCBC， 因为BC 平面 1 ABC，
15、11 BC 平面 1 ABC， 所以 11 BC平面 1 ABC （2）解：在直三棱柱 111 ABCABC中， 1 AA 平面ABC， 因为AB 平面ABC，所以 1 AAABC， 又1AB ， 1 2AA ，所以 1 5AB 同理可得 1 2 2AC 因为ABAC，1AB ，2AC ，所以5BC 所以 1 ABC的面积为 1 2 2526 2 设点 A 到平面 1 ABC的距离为 h， 由 11 A A BCAABC VV ，得 111 61 22 332 h ， 解得 6 3 h 20 （1）解： 11 ( )fx xe 因为曲线 yf x的一条切线与直线 1 e yx e 垂直 所以这
16、条切线的斜率为 1e e ，令 111e xee ，得1x 所以切点为 1 1, e ，所求切线的方程为 11( 1) e yx ee ， 即（() 10exeye （2）证明： 11 ( ). ex fx xexe 当0,xe时， 0fx；当,xe时， 0fx 所以 max ( )( )ln0 e f xf ee e 设函数 2 3 ( )ln 4 g xxx ，则 2 121 ( )2 x g xx xx 当 2 0, 2 x ，时 0g x； 当 2 , 2 x 时， 0g x 所以 min 2111311 ( )lnln2 2222442 g xg 因为 1 ln2ln 2 e，所以
17、min0g x 又 max0f xf x，所以 2 3 ( )ln 4 f xxx 21解： （1）因为,2 2 p E ，,0 2 p F ，| 2 5EF ， 所以 22 22 5p ， 解得4p ，故抛物线 C 的方程为 2 8yx （2）由题意知，2,0F，因为直线l过点 F， 所以当EFl时，点 E 到l的距离最大 因 201 222 EF k ，所以直线l的斜率为 2， 联立方程组 2 2(2) 8 yx yx ，消去 y 得 2 640 xx 设 11 (),P x y， 22 (),Q xy则 12 6xx， 所以 12 6410PQxxp 因为| 2 5EF ，所以 EPQ的
18、面积为 1 102 510 2 5 22解： （1）由 4cos 44sin x y ，得 2 2 416xy， 即 22 80 xyy， 则 C 的极坐标方程为 2 8 sin0， 即8sin0p（或8sin ） （2）因为l的极坐标方程为3 cos4 sinpm， 所以l的直角坐标方程为340 xym 由（1）知曲线 C 表示圆心为0, 4C，半径为 4 的圆， 则 C 到l的距离 |16| 4 5 m d ， 解得364m，即 m 的取值范围为36,4 23解： （1）由 1f xxa ，得31xa， 则31xa或31xa， 即31xa或31xa， 故不等式 1f xxa 的解集为,3131,aa （2）因为 332fxxaxaxaxaa+， 所以 f x的最小值为2a 因为( )18f xa对xR恒成立，所以18 |2 |aa ， 又180a所以 9 18, 2, 4 a
