1、高三数学 崇明区崇明区 20202 21 1 届第一次高考模拟考试试卷届第一次高考模拟考试试卷 数数 学学 考生注意： 1 本试卷共 4 页，21 道试题，满分 150 分，考试时间 120 分钟 2 本试卷分设试卷和答题纸试卷包括试题与答题要求作答必须涂（选择题）或写（非选择 题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分 3 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息 一、填空题一、填空题（本大题共有（本大题共有 1212 题，满分题，满分 5454 分，其中分，其中 1 16 6 题每题题每题 4 4 分，分，7 71212 题每题题每题 5 5 分分） 【考生应
2、在答题纸相应编号的空格内直接填写结果 】 1设集合1, 2,3A，集合3, 4B ，则AB 2不等式 1 0 2 x x 的解集是 3已知复数 z 满足(z2)i1（i 是虚数单位） ，则z 4设函数 1 ( ) 1 f x x 的反函数为 1( ) fx ，则 1(2) f 5点(0,0)到直线2xy的距离是 6计算： 123 lim (2) n n n n 7若关于 x、y 的方程组 461 32 xy axy 无解，则实数a 8用数字 0、1、2、3、4、5 组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为 （结 果用数值表示） 9若 23 (2)nab的二项展开式中有一项为 412 ma b，
3、则m 10设 O 为坐标原点，直线xa与双曲线 22 22 :1 (0,0) xy Cab ab 的两条渐近线分别交 于,D E两点，若ODE的面积为 1，则双曲线 C 的焦距的最小值为 11已知函数( )yf x，对任意xR，都有(2)( )f xf xk(k为常数)，且当0,2x时， 2 ( )1f xx，则(2021)f 12已知点 D 为圆 22 :4O xy的弦 MN 的中点，点 A 的坐标为(1,0)，且1AM AN，则 OA OD uur uuu r 的范围是 高三数学 二、选择题二、选择题（本大题共有（本大题共有 4 4 题，满分题，满分 2020 分）分） 【每题有且只有一个
4、正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分， 否则一律得零分 】 13若0ab，则下列不等式恒成立的是（ ） A 11 ab Bab C 22 ab D 33 ab 14正方体上的点 P、Q、R、S 是其所在棱的中点，则直线 PQ 与直线 RS 异面的图形是（ ） A B C D 15设 n a为等比数列，则“对于任意的 * 2 , mm maa N”是“ n a为递增数列”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 16设函数( )yf x的定义域是R，对于下列四个命题： （1）若函数( )yf x是奇函数，则函数(
5、 )yff x是奇函数； （2）若函数( )yf x是周期函数，则函数( )yff x是周期函数； （3）若函数( )yf x是单调减函数，则函数( )yff x是单调减函数； （4）若函数( )yf x存在反函数 1( ) yfx ，且函数 1 ( )( )yf xfx 有零点，则函数( )yf xx 也有零点； 其中正确的命题共有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 三、解答题三、解答题（本大题共有（本大题共有 5 5 题，满分题，满分 7676 分）分） 【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 】 17 （本题满分 14 分，本题共有 2 个小题，第(1)
6、小题满分 7 分，第(2)小题满分 7 分） 如图， 已知AB 平面 BCD，BCBD， 直线 AD 与平面 BCD 所成的角为 30 ， 且2A B B C （1）求三棱锥ABCD的体积； （2）设 M 为 BD 的中点，求异面直线 AD 与 CM 所成角 的大小（结果用反三角函数值表示）. 18 （本题满分 14 分，本题共有 2 个小题，第(1)小题满分 6 分，第(2)小题满分 8 分） S R P Q Q P R S Q P S R R P S Q 高三数学 已知函数 2 1 ( )sin23cos 2 f xxx （1）求函数( )yf x的最小正周期； （2）在ABC中，角 A，
7、B，C 的对边分别为 a，b，c若锐角 A 满足 13 ( ) 2 f A ， 6 C ， 2c ，求ABC的面积 19 （本题满分 14 分，本题共有 2 个小题，第(1)小题满分 6 分，第(2)小题满分 8 分） 研究表明：在一节 40 分钟的网课中，学生的注意力指数 y 与听课时间 x（单位：分钟） 之间的变化曲线如图所示 当0,16x时 ，曲 线 是二 次函数 图 像的 一 部分 ；当16, 40 x时 ， 曲线 是 函数 0.8 log()80yxa图像的一部分当学生的注意力指数不高于 68 时，称学生处于“欠佳听课 状态” （1）求函数( )yf x的解析式； （2）在一节 40
8、 分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态” 的时间有多长？（精确到 1 分钟） y x 12 16 40 80 84 O 高三数学 20 （本题满分 16 分，本题共有 3 个小题，第(1)小题满分 4 分，第(2)小题满分 5 分，第(3)小 题满分 7 分） 已知椭圆 2 2 :1 4 x y的左右顶点分别为 A、B，P 为直线4x 上的动点，直线 PA 与椭圆 的另一交点为 C，直线 PB 与椭圆的另一交点为 D （1）若点 C 的坐标为(0,1)，求点 P 的坐标； （2）若点 P 的坐标为(4,1)，求以 BD 为直径的圆的方程； （3）求证：直线 CD 过定点 21 （本题满分 18
9、 分，本题共有 3 个小题，第(1)小题满分 4 分，第(2)小题满分 6 分，第(3)小 题满分 8 分） 对于数列 n a， 若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和， 则称 n a为 P 数列 （1）若数列1, 2, , 8 x 是 P 数列，求实数 x 的取值范围； （2）设数列 12310 ,aaaa是首项为1、公差为 d 的等差数列，若该数列是 P 数列， 求 d 的取值范围； （3）设无穷数列 n a是首项为 a、公比为 q 的等比数列，有穷数列 n b， n c是从 n a 中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别记为 1 T， 2 T 求证：当0a 且
10、12 TT时，数列 n a不是 P 数列 高三数学 崇明区 2021 届第一次高考模拟考试（数学）参考答案及评分标准 一、填空题 1. 3； 2.( 2,1)； 3.2i； 4. 1 2 ； 5.2； 6. 1 2 ； 7.2； 8.48； 9.60； 10.2 2； 11. 2； 12.-1，2). 二、选择题 13.D; 14.B; 15.C; 16.B 三、解答题 17.解： （1）因为AB 平面 BCD， 所以ADB就是直线 AD 与平面 BCD 所成的角，所以30ADB.3 分 所以2 3BD ， 所以 14 3 33 A BCDBCD VSAB .7 分 （2）取线段AB的中点N，
11、联结CN、MN，则/MNAD 所以CMN就是异面直线 AD 与 CM 所成的角.4 分 在CMN中，2MN ，5CN ，7CM 所以 222 3 7 cos 214 CMMNCN CMN CM MN .7 分 18.解： （1） 13(1cos2 )3 ( )sin2sin(2) 2232 x f xxx .4 分 所以函数( )yf x的最小正周期 2 | T .6 分 （2）由 13 ( ) 2 f A ，得： 1 sin(2)= 32 A 因为(0,) 2 A ，所以 2 2(,) 333 A ，所以2= 36 A ， 4 A .3 分 所以 2222 42 cos 242 bcab A
12、 bcb ，所以 26 2 b .6 分 所以 1 sin31 2 ABC SbcA.8 分 19.解： （1）当0,16x时，设 2 ( )(12)84(0)f xb xb 由(16)80f，得： 2 (16 12)84=80b，故 1 4 b .2 分 当16, 40 x时，由(16)80f，得： 0.8 log(16)8080a，故15a.4 分 高三数学 所以 2 0.8 1 (12)84,0,16 ( )4 log(15)80,(16,40 xx f x xx .6 分 （2）当0,16x时，由 2 1 (12)8468 4 x，得：0,4x.3 分 当16, 40 x时，由 0.8
13、 log(15)8068x，得： 12 150.829.6x 所以30,40 x.3 分 因此，在一节 40 分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有 14 分钟.8 分. 20. 解： （1）由题意，( 2,0)A ，直线AP的方程是：1 2 x y.3 分 由 1 2 4 x y x ，得：点 P 的坐标是(4,3).4 分 （2）由题意，(2,0)B，直线PB的方程是： 2 2 x y ，代入 2 2 1 4 x y，得： 2 20 xx，解得：0 x，或2x，所以点D坐标为（0，-1） ， 线段BD中点为 1 (1,) 2 ，|5BD .3 分 所以以 BD 为直径的圆的方程是
14、22 15 (1)() 24 xy.5 分 （3）设 0 (4,)Py， 11 ( ,)C x y， 22 D(,)xy，则直线AP的方程是： 0( 2)6y xy 代入 2 2 1 4 x y，得： 2222 000 (9)44360yxy xy 所以 2 0 1 2 0 218 = 9 y x y ， 0 1 2 0 6 9 y y y 同理，可得： 2 0 2 2 0 22 = 1 y x y ， 0 2 2 0 2 1 y y y .4 分 所以直线CD的方程为： 222 000000 222222 000000 2622222182 ()()()() 191191 yyyyyy xy
15、 yyyyyy 令0y ，得：1x 所以直线CD过定点（1，0）.7 分 21.解： （1）由题意，得： 12 812 x x ，所以35x.4 分 (2)由题意知，该数列的前n项和为 (1) 2 n n n Snd ， 1 1 n and ， 高三数学 由数列 12310 ,a a aaP数列，可知 211 aSa，故公差 0d .3 分 2 1 3 110 22 nn d Sand n 对满足1,2,3,9n 的任意n都成立，则 2 3 99 110 22 d d ，解得 8 27 d ， 故d的取值范围为 8 0, 27 .6 分 (3)若 n a是P数列，则 12 aSaaq， 因为0
16、a，所以1q ，又由 1nn aS 对一切正整数n都成立，可知 1 1 n n q aqa q ，即 1 2 n q q 对一切正整数n都成立， 由 1 0 n q ， 1 lim0 n n q ，故20q，可得2q .3 分 若 n b中的每一项都在 n c中，则由这两数列是不同数列，可知 12 TT ； 若 n c中的每一项都在 n b中，同理可得 12 TT ； 若 n b中至少有一项不在 n c中且 n c中至少有一项不在 n b中， 设 n b， n c是将 n b， n c中的公共项去掉之和剩余项依次构成的数列，它们的所有项和 分别为 1 T， 2 T， 不妨设 n b， n c中最大的项在 n b中，设为)2( m am， 则 21211mm TaaaaT ，故 21 TT ，故总有 12 TT与 12 TT 矛盾，故假设错误， 原命题正确.8 分
