1、 专题一 函数与导数 第 1 讲 函数的图象与性质 年份 卷别 考查内容及考题位置 命题分析 2018 卷 利用图象研究零点问题 T9 1.高考对此部分内容的命题多集中于函数的概 念、 函数的性质及分段函数等方面， 多以选择、 填空题形式考查，一般出现在第 510 题或第 1315 题的位置上，难度一般主要考查函数 的定义域，分段函数求值或分段函数中参数的 求解及函数图象的判断. 2.此部分内容有时出现在选择、填空题压轴题 的位置，多与导数、不等式、创新型问题结合 命题，难度较大. 卷 图象的识别 T3 函数性质与求值 T11 卷 图象的识别 T7 2017 卷 利用函数的单调性、 奇偶性 求
2、解不等式 T5 卷 分段函数与不等式的解 法 T15 2016 卷 函数图象的判断 T7 函数及其表示(基础型) 分段函数问题的 5 种常见类型及解题策略 (1)求函数值：弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值， 要从最内层逐层往外计算 (2)求函数最值：分别求出每个区间上的最值，然后比较大小 (3)解不等式：根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注 意取值范围是大前提 (4)求参数：“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程 (5)奇偶性：利用奇函数(偶函数)的定义判断 考法全练 1函数 f(x) ? ? ? ?ax2x1，x2， ax1，x2
3、 是 R 上的单调递减函数，则实数 a 的取值范围是( ) A1 4a2， ax1，x2 是 R 上的单调递减函数， 所以其图象如图所示，则 ? ? ? ? ?a0 的最小值为 f(0)，则实数 a 的取值范围是( ) A1，2 B1，0 C1，2 D0，2 解析：选 D.当 x0 时，因为 f(x)minf(0)，所以 f(x)(xa)2在(，0上单调递减， 故 a0. 当 x0 时，f(x)x1 xa2a(当且仅当 x1 时取等号)，因为 f(x)minf(0)，所以 2 af(0)a2， 解得1a2. 综上可知，0a2.故选 D. 3已知函数 f(x) ? ? ? ?x22x，x0， x
4、22x，x0)个单位长度 yf(xa)(yf(xa)的图象； yf(x)的图象 向上(下)平移a(a0)个单位长度 yf(x)a(yf(x)a)的图象 (2)伸缩变换 yf(x)的图象 x不变，y变为原来的k倍 ykf(x)的图象； yf(x)的图象错误错误! !yf(kx)的图象 (3)对称变换 yf(x)的图象 关于y轴对称 yf(x)的图象； yf(x)的图象 关于x轴对称 yf(x)的图象； yf(x)的图象 关于原点对称 yf(x)的图象； yf(x)的图象 关于直线xa对称 yf(2ax)的图象 (4)翻折变换 yf(x)的图象 x轴下方的部分翻折到上方y|f(x)|的图象， yf
5、(x)的图象 y轴右侧的部分翻折到左侧 yf(|x|)的图象 典型例题 命题角度一 函数图象的识别 (1)(2018 高考全国卷)函数 f(x)e xex x2 的图象大致为( ) (2)已知定义域为0，1的函数 f(x)的图象如图所示，则函数 f(x1)的图象可能是( ) (3)(一题多解)如图，长方形 ABCD 的边 AB2，BC1，O 是 AB 的中 点，点 P 沿着边 BC，CD 与 DA 运动，记BOPx.将动点 P 到 A，B 两点 距离之和表示为关于 x 的函数 f(x)，则 f(x)的图象大致为( ) 【解析】 (1)当 x2，故排除 C，选 B. (2)因为 f(x1)f(x
6、1)，先将 f(x)的图象沿 y 轴翻折，y 轴左侧的图象即为 f(x) 的图象，再将所得图象向右平移 1 个单位长度就得到函数 f(x1)的图象，故选 B. (3)法一：当点 P 位于边 BC 上时，BOPx，0x 4 ，则BP OBtan x，所以 BPtan x， 所以 AP 4tan2x， 所以 f(x)tan x 4tan2x? ? ? ? 0x 4 ， 可见 yf(x)图象的变化不可能是一条直线或线段，排除 A，C. 当点 P 位于边 CD 上时，BOPx， 4 x3 4 ， 则 BPAP BC2CP2 AD2DP2 1? ? ? ? 1 1 tan x 2 1? ? ? ? 1
7、1 tan x 2 . 当点 P 位于边 AD 上时，BOPx，3 4 x， 则AP OAtan(x)tan x， 所以 APtan x，所以 BP 4tan2x， 所以 f(x)tan x 4tan2x? ? ? ? 3 4 x ，根据函数的解析式可排除 D，故选 B. 法二：当点 P 位于点 C 时，x 4 ，此时 APBPACBC1 5，当点 P 位于 CD 的中点时， x 2 ， 此时 APBP2 2|xa|至少有一个负数解，则实数 a 的取值范围是 _ 【解析】 在同一坐标系中画出函数 f(x)2x2， g(x)|xa|的图象， 如图所示， 若 a0， 则其临界情况为折线 g(x)|
8、xa|与抛物线 f(x)2x2相切 由 2x2xa 可得 x2xa2 0，由 14 (a2)0，解得 a9 4；若 a0，则其临界情况为两函数图象的交点为(0， 2)，此时 a2.结合图象可知，实数 a 的取值范围是? ? ? ? 9 4，2 . 【答案】 ? ? ? ? 9 4，2 对于一些函数与方程、不等式等问题，可通过转化为相应函数，再借助函数图象的特点 和变化规律求解有关问题，这样非常直观简洁，也是数形结合思想的充分体现 对点训练 1(2018 湖南湘东五校联考)函数 f(x)? ? ? ? 2 1ex1 cos x 的图象的大致形状是( ) 解析：选 B.因为 f(x)? ? ? ?
9、 2 1ex1 cos x，所以 f(x)? ? ? ? 2 1e x1cos(x)? ? ? ? 2 1ex1 cos xf(x)， 所以函数f(x)为奇函数， 其图象关于原点对称， 可排除选项A， C， 又当x? ? ? ? 0， 2 时，exe01， 2 1ex10，所以 f(x)0 ，则满足 f(x1)1 时，如图，要使 x(1，2)时 y(x1)2的图象在 y logax 的图象的下方，只需(21)2loga2，即 loga21，解得 1x1f(x2)，记 a1 2f(2)，bf(1)，c 1 3f(3)，则 a，b，c 之间的大小关系为( ) Aabc Bbac Ccba Dacb
10、 (2)已知函数 f(x)(a2)ax(a0 且 a1)， 若对任意 x1， x2R， x1x2， 都有f(x1)f(x2) x1x2 0， 则 a 的取值范围是_ 【解析】 (1)因为对任意两个正数 x1，x2(x1x1f(x2)，所以f(x1) x1 f(x2) x2 ， 得函数 g(x)f(x) x 在(0，)上是减函数，又 c1 3f(3) 1 3f(3)，所以 g(1)g(2)g(3)，即 bac，故选 B. (2)当 02 时，a20，yax单调递 增，所以 f(x)单调递增又由题意知 f(x)单调递增，故 a 的取值范围是(0，1)(2，) 【答案】 (1)B (2)(0，1)(
11、2，) (1)比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解 决 (2)对于 x1，x2a，b，x1x2，若(x1x2)f(x1)f(x2)0 或f(x1)f(x2) x1x2 0，则 f(x)在闭区 间a，b上是增函数 (3)若函数 f(x)在定义域(或某一区间)上是增函数，则 f(x1)0 的解集是( ) A(2，0)(0，2) B(，2)(2，) C(，2)(0，2) D(2，0)(2，) 解析：选 C.由f(x1)f(x2) x1x2 0，得 x0 恒成立； f(x4)f(x)； yf(x4)是偶函数 若 af(6)，bf(11)，cf(2 017)，则 a
12、，b，c 的大小关系正确的是( ) Aa1，所以 e xf(x) 在 R 上单调递增，所以 f(x)2 x具有 M 性质对于选项 B，f(x)x2，exf(x)exx2，exf(x) ex(x22x)，令 ex(x22x)0，得 x0 或 x0， b0，所以 b 2a 2a b 2，当且仅当 b2a 时取等号，所以 1 2a 2 b 5 22 9 2，所以 1 2a 2 b的上确界为 9 2，故选 A. 一、选择题 1已知函数 f(x) ? ? ? ?22x，x1， 2x2，x1，则满足 f(a)2 的实数 a 的取值范围是( ) A(，2)(0，) B(1，0) C(2，0) D(，10，)
13、 解析：选 D.因为函数 f(x) ? ? ? ?22x，x1， 2x2，x1，且 f(a)2，所以? ? ? ?a1， 2 2a2 或 ? ? ? ?a1 2a22，解 得 a1 或 a0. 2下列函数中，既是偶函数又在区间(0，)上单调递增的是( ) Ay1 x By|x|1 Cylg x Dy? ? ? ? 1 2 |x| 解析：选 B.A 中函数 y1 x不是偶函数且在(0，)上单调递减，故 A 错误；B 中函数 满足题意，故 B 正确；C 中函数不是偶函数，故 C 错误；D 中函数不满足在(0，)上单调 递增，故选 B. 3 已知函数 f(x)24 xa 2x 的图象关于原点对称，
14、g(x)ln(ex1)bx 是偶函数， 则 logab ( ) A1 B1 C1 2 D.1 4 解析：选 B.由题意得 f(0)0，所以 a2. 因为 g(1)g(1)，所以 ln(e1)bln? ? ? ? 1 e1 b， 所以 b1 2，所以 logablog2 1 21. 4(2018 高考全国卷)函数 yx4x22 的图象大致为( ) 解析：选 D.当 x0 时，y2，排除 A，B.由 y4x32x0，得 x0 或 x 2 2 ， 结合三次函数的图象特征，知原函数在(1，1)上有三个极值点，所以排除 C，故选 D. 5.若函数 f(x) ? ? ? ?axb，x0 时，f(x)单调递
15、增，且 f(1) 0，若 f(x1)0，则 x 的取值范围为( ) Ax|02 Bx|x2 Cx|x3 Dx|x1 解析：选 A.由于函数 f(x)是奇函数，且当 x0 时 f(x)单调递增，f(1)0，故由 f(x1)0， 得11，所以 02，故选 A. 8(2018 高考全国卷)下列函数中，其图象与函数 yln x 的图象关于直线 x1 对称的 是( ) Ayln(1x) Byln(2x) Cyln(1x) Dyln(2x) 解析：选 B.法一：设所求函数图象上任一点的坐标为(x，y)，则其关于直线 x1 的对称 点的坐标为(2x， y)， 由对称性知点(2x， y)在函数 f(x)ln x 的图象上， 所以 yln(2x) 故 选 B. 法二： 由题意知，对称轴上的点(1，0)既在函数 yln x 的图象上也在所求函数的图象上， 代入选项中的函数表达式逐一检验，排除 A，C，D，选 B. 9.如图， 动点 P 在正方体
