1、 1(2018 益阳、湘潭调研)在平面直角坐标系中，曲线 C 的参数方程为 ? ? ? ?x2cos ysin ( 为 参数)以直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标 方程为 cos? ? ? ? 3 1 2.直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点 (1)求直线 l 的直角坐标方程； (2)设点 P(1，0)，求|PA| |PB|的值 解：(1)由 cos? ? ? ? 3 1 2得 cos cos 3sin sin 3 1 2， 又 cos x，sin y， 所以直线 l 的直角坐标方程为 x 3y10. (2)由 ? ? ? ?x2cos ys
2、in ( 为参数)得曲线 C 的普通方程为 x24y24， 因为 P(1，0)在直线 l 上，故可设直线 l 的参数方程为 ? ? ?x 3 2 t1 y1 2t (t 为参数)， 将其代入 x24y24 得 7t24 3t120， 所以 t1 t212 7 ， 故|PA| |PB|t1| |t2|t1 t2|12 7 . 2(2018 合肥第一次质量检测)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1： ? ? ? ?x3cos y2sin ( 为参数)， 在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：2cos 0. (1)求曲线 C2的直角坐标方程； (2)若曲线 C1上有一动点
3、M，曲线 C2上有一动点 N，求|MN|的最小值 解：(1)由 2cos 0 得 22cos 0. 因为 2x2y2，cos x，所以 x2y22x0， 即曲线 C2的直角坐标方程为(x1)2y21. (2)由(1)可知，圆 C2的圆心为 C2(1，0)，半径为 1. 设曲线 C1的动点 M(3cos ，2sin )， 由动点 N 在圆 C2上可得|MN|min|MC2|min1. 因为|MC2| （3cos 1）24sin2 5cos26cos 5， 所以当 cos 3 5时，|MC2|min 4 5 5 ， 所以|MN|min|MC2|min14 5 5 1. 3(2018 高考全国卷)在
4、平面直角坐标系 xOy 中，O 的参数方程为 ? ? ? ?xcos ysin ( 为参 数)，过点(0， 2)且倾斜角为 的直线 l 与O 交于 A，B 两点 (1)求 的取值范围； (2)求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程 解：(1)O 的直角坐标方程为 x2y21. 当 2时，l 与O 交于两点 当 2时， 记 tan k， 则 l 的方程为 ykx 2.l 与O 交于两点当且仅当? ? ? ? ? ? 2 1k2 1， 解得 k1 或 k1， 即 ? ? ? ? 4， 2 或 ? ? ? ? 2， 3 4 . 综上， 的取值范围是? ? ? ? 4， 3 4 . (2)l 的参数方程
5、为? ?xtcos y 2tsin (t 为参数， 4 3 4 ) 设 A，B，P 对应的参数分别为 tA，tB，tP，则 tPtAtB 2 ，且 tA，tB满足 t22 2tsin 1 0. 于是 tAtB2 2sin ，tP 2sin . 又点 P 的坐标(x，y)满足? ?xtPcos ， y 2tPsin ， 所以点 P 的轨迹的参数方程是 ? ? ?x 2 2 sin 2 y 2 2 2 2 cos 2 ( 为参数， 4 3 4 ) 4(2018 昆明调研)在直角坐标系 xOy 中，已知倾斜角为 的直线 l 过点 A(2，1)以坐 标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线
6、C 的极坐标方程为 2sin ，直线 l 与曲线 C 分别交于 P，Q 两点 (1)写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的直角坐标方程； (2)若|PQ|2|AP| |AQ|，求直线 l 的斜率 k. 解：(1)直线 l 的参数方程为 ? ? ? ?x2tcos y1tsin (t 为参数) 曲线 C 的直角坐标方程为 x2y22y. (2)将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程，得 t2(4cos )t30， 由 (4cos )24 30，得 cos23 4， 由根与系数的关系， 得 t1t24cos ，t1 t23， 由参数的几何意义知，|AP|t1|，|AQ|t2|，|PQ|
7、t1t2|， 由题意知，(t1t2)2t1 t2， 则(t1t2)25t1 t2， 得(4cos )25 3， 解得 cos215 16，满足 cos 23 4， 所以 sin2 1 16，tan 21 15， 所以直线 l 的斜率 ktan 15 15 . 5 (一题多解)(2018 郑州第一次质量预测)在平面直角坐标系 xOy 中， 直线 l 过点(1， 0)， 倾斜角为 ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程 是 8cos 1cos2. (1)写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的直角坐标方程； (2)若 4，设直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两
8、点，求AOB 的面积 解：(1)由题知直线 l 的参数方程为 ? ? ? ?x1tcos ytsin (t 为参数) 因为 8cos 1cos2， 所以 sin28cos ， 所以 2sin28cos ，即 y28x. (2)法一：当 4时，直线 l 的参数方程为? ? ?x1 2 2 t y 2 2 t (t 为参数)， 代入 y28x 可得 t28 2t160， 设 A，B 两点对应的参数分别为 t1，t2，则 t1t28 2， t1t216， 所以|AB|t1t2| （t1t2）24t1t28 3. 又点 O 到直线 AB 的距离 d1sin 4 2 2 ， 所以 SAOB1 2|AB|
9、d 1 28 3 2 2 2 6. 法二：当 4时，直线 l 的方程为 yx1， 设 M(1，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由 ? ? ? ?y28x， yx1，得 y 28(y1)，即 y28y80， 由根与系数的关系得 ? ? ? ?y1y28， y1y28， S AOB 1 2|OM|y1y2| 1 2 1 （y1y2） 24y 1y21 2 8 24 （8）1 2 4 62 6. 6(2018 陕西教学质量检测(一)在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C 的参数方程为 ? ? ? ?xtcos ysin (t0， 为参数)以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建
10、立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 2sin? ? ? ? 4 3. (1)当 t1 时，求曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值； (2)若曲线 C 上的所有点都在直线 l 的下方，求实数 t 的取值范围 解：(1)由 2sin? ? ? ? 4 3 得 sin cos 3， 把 xcos ，ysin 代入得直线 l 的直角坐标方程为 xy30， 当 t1 时，曲线 C 的参数方程为 ? ? ? ?xcos ysin ( 为参数)， 消去参数得曲线 C 的普通方程为 x2y21， 所以曲线 C 为圆，且圆心为 O，则点 O 到直线 l 的距离 d|003| 2 3 2 2 ， 所以曲线
11、C上的点到直线l的距离的最大值为 13 2 2 . (2)因为曲线C上的所有点均在直线l的下方， 所以对任意的 R，tcos sin 30，所以 00)在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线 l：cos? ? ? ? 4 2. (1)若 l 与曲线 C 没有公共点，求 t 的取值范围； (2)若曲线 C 上存在点到 l 的距离的最大值为 6 2 2，求 t 的值 解：(1)因为直线 l 的极坐标方程为 cos? ? ? ? 4 2，即 cos sin 2， 所以直线 l 的直角坐标方程为 xy2. 因为曲线 C 的参数方程为 ? ? ? ?xtcos ysin ( 为参数，t
12、0)， 所以曲线 C 的普通方程为x 2 t2y 21(t0)， 由 ? ? ? ? ?xy2， x2 t2y 21，消去 x 得，(1t 2)y24y4t20， 所以 164(1t2)(4t2)0，所以 00，所以 t 2. 8(2018 潍坊模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 ? ? ? ?x2cos y22sin ( 为参数)， 以原点O为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线C2的极坐标方程为cos2 sin (0，0) (1)写出曲线 C1的极坐标方程，并求 C1与 C2交点的极坐标； (2)射线 ? ? ? ? 6 3 与曲线 C1，C2分别交于点
13、A，B(A，B 异于原点)，求|OA| |OB|的取值 范围 解：(1)由题意可得曲线 C1的普通方程为 x2(y2)24， 把 xcos ，ysin 代入，得曲线 C1的极坐标方程为 4sin ， 联立 ? ? ? ?4sin ， cos2sin ， 得 4sin cos2sin ，此时 0， 当 sin 0 时，0，0，得交点的极坐标为(0，0)； 当 sin 0 时， cos21 4， 当 cos 1 2时， 3， 2 3， 得交点的极坐标为? ? ? ? 2 3， 3 ， 当 cos 1 2时， 2 3 ，2 3，得交点的极坐标为? ? ? ? 2 3，2 3 ， 所以 C1与 C2交点的极坐标为(0，0)，? ? ? ? 2 3， 3 ，? ? ? ? 2 3，2 3 . (2)将 代入 C1的极坐标方程中，得 14sin ， 代入 C2的极坐标方程中，得 2sin cos2， 所以|OA| |OB| 4sin sin cos2 4cos2，因为 6 3， 所以 14cos23，所以|OA| |OB|的取值范围为1，3
