1、专题四 立体几何与空间向量 第 1 讲 空间几何体的三视图、表面积与体积 年份 卷别 考查内容及考题位置 命题分析 2018 卷 空间几何体的三视图及侧面展 开问题 T7 1.“立体几何”在高考中一般会以 “两小一大”或“一小一大”的命 题形式出现，这“两小”或“一 小”主要考查三视图，几何体的表 面积与体积，空间点、线、面的位 置关系(特别是平行与垂直) 2考查一个小题时，此小题一般会 出现在第 48 题的位置上， 难度一 般；考查两个小题时，其中一个小 题难度一般， 另一个小题难度稍高， 一般会出现在第 1016 题的位置 上，此小题虽然难度稍高，主要体 现在计算量上， 但仍是对基础知识、
2、 基本公式的考查. 空间几何体的截面问题 T12 卷 圆锥的侧面积 T16 卷 三视图的识别 T3 三棱锥的体 积及外接球问题 T10 2017 卷 空间几何体的三视图与直观图、 面积的计算 T7 卷 空间几何体的三视图及组合体 体积的计算 T4 卷 球的内接圆柱、圆柱的体积的计 算 T8 2016 卷 有关球的三视图及表面积的计 算 T6 卷 空间几何体的三视图及组合体 表面积的计算 T6 卷 空间几何体的三视图及组合体 表面积的计算 T9 直三棱柱的体积最值问题T10 空间几何体的三视图(基础型) 一个物体的三视图的排列规则 俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图的长度一样，侧(
3、左)视图放在正(主)视 图的右面，高度与正(主)视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样即“长对正、高平齐、 宽相等” 由三视图还原到直观图的三个步骤 (1)根据俯视图确定几何体的底面 (2)根据正(主)视图或侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对 应的棱、面的位置 (3)确定几何体的直观图形状 注意 在读图或者画空间几何体的三视图时，应注意三视图中的实线和虚线 考法全练 1(2018 高考全国卷)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来构件的凸出部分叫榫 头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头若如图摆放的木构件与某一带卯 眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构
4、件的俯视图可以是( ) 解析：选 A.由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，榫头看不见，所 以是虚线，结合榫头的位置知选 A. 2(2018 高考全国卷)某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如图圆柱表面上 的点 M 在正视图上的对应点为 A，圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B，则在此圆 柱侧面上，从 M 到 N 的路径中，最短路径的长度为( ) A2 17 B2 5 C3 D2 解析：选 B.由三视图可知，该几何体为如图所示的圆柱，该圆柱的高为 2，底面周长 为 16.画出该圆柱的侧面展开图，如图所示，连接 MN，则 MS2，SN4，则从 M 到 N 的路径中，最
5、短路径的长度为 MS2SN2 22422 5.故选 B. 3把边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起，使得平面 ABD平面 CBD，形成的 三棱锥 C- ABD 的正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为( ) A.1 2 B. 2 2 C. 2 4 D.1 4 解析： 选 D.由三棱锥 C- ABD 的正视图、 俯视图得三棱锥 C- ABD 的侧视图 为直角边长是 2 2 的等腰直角三角形，如图所示，所以三棱锥 C- ABD 的侧视图 的面积为1 4，故选 D. 4(2018 长春质量监测(二)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线条画出的是一个 三棱锥的三视图，则该三棱锥中
6、最长棱的长度为( ) A2 B. 5 C2 2 D3 解析：选 D.如图，三棱锥 A- BCD 即为所求几何体，根据题设 条件，知辅助的正方体棱长为 2，CD1，BD2 2，BC 5， AC2，AB3，AD 5，则最长棱为 AB，长度为 3. 5(2018 石家庄质量检测(一)如图，网格纸上的小正方形的 边长为 1， 粗线表示的是某三棱锥的三视图， 则该三棱锥的四个面 中，最小面的面积是( ) A2 3 B2 2 C2 D. 3 解析：选 C.在正方体中还原该几何体，如图中三棱锥 D- ABC 所 示， 其中正方体的棱长为 2，则 SABC2，SDBC2 2， SADB2 2， SADC2 3
7、，故该三棱锥的四个面中，最小面的面积是 2，选 C. 空间几何体的表面积和体积(综合型) 柱体、锥体、台体的侧面积公式 (1)S柱侧ch(c 为底面周长，h 为高) (2)S锥侧1 2ch(c 为底面周长，h为斜高) (3)S台侧1 2(cc)h(c，c 分别为上下底面的周长，h为斜高) 柱体、锥体、台体的体积公式 (1)V柱体Sh(S 为底面面积，h 为高) (2)V锥体1 3Sh(S 为底面面积，h 为高) (3)V台1 3(S SSS)h(S，S分别为上下底面面积，h 为高)(不要求记忆) 典型例题 命题角度一 空间几何体的表面积 (1)(2018 潍坊模拟)某几何体的三视图如图所示，则
8、该几何体的表面积为( ) A42 3 B44 2 C62 3 D64 2 (2)(2018 合肥第一次质量检测)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几 何体的三视图，则该几何体的表面积为( ) A518 B618 C86 D106 【解析】 (1)由三视图还原几何体的直观图如图所示， 易知 BC 平面 PAC，又 PC?平面 PAC，所以 BCPC，又 APACBC2， 所以 PC 22222 2，又 AB2 2，所以 SPBCSPAB1 22 2 22 2，SABCSPAC1 2222，所以该几何体的表面积为 4 4 2. (2)由三视图可知该几何体是由一个半圆柱和两个半球构成
9、的，故该几何体的表面积为 21 241 221 21 2231 221386. 【答案】 (1)B (2)C 求几何体的表面积的方法 (1)求表面积问题的基本思路是将立体几何问题转化为平面几何问题，即空间图形平面 化，这是解决立体几何的主要出发点 (2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求 这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差得几何体的表面积 命题角度二 空间几何体的体积 (1)(2018 武汉调研)某几何体的三视图如图所示， 则该几 何体的体积为( ) A.1 2 B. 2 2 C. 3 3 D.2 3 (2)(2018 高考全国卷)已知圆锥的顶点为
10、 S，母线 SA，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所 成角为 30 .若SAB 的面积为 8，则该圆锥的体积为_ 【解析】 (1)由三视图知，该几何体是在长、宽、高分别为 2，1，1 的长方体中，截 去一个三棱柱 AA1D1BB1C1和一个三棱锥 C- BC1D 后剩下的几何体，即如图所示的四棱锥 D- ABC1D1，四棱锥 D- ABC1D1的底面积为 S四边形ABC1D12 22 2，高 h 2 2 ，其体积 V 1 3S 四边形ABC1D1h1 32 2 2 2 2 3.故选 D. (2)由题意画出图形，如图，设 AC 是底面圆 O 的直径，连接 SO， 则 SO 是圆锥的高设圆锥的母线
11、长为 l，则由 SASB，SAB 的面积 为 8，得1 2l 28，得 l4.在 RtASO 中，由题意知SAO30 ，所以 SO1 2l2，AO 3 2 l2 3. 故该圆锥的体积 V1 3AO 2SO1 3(2 3) 228. 【答案】 (1)D (2)8 求空间几何体体积的常用方法 (1)公式法：直接根据相关的体积公式计算 (2)等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易， 或是求出一些体积比等 (3)割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当分割或补形，转化为易计算体 积的几何体 对点训练 1(2018 洛阳第一次统考)一个几何体的三视图如图所示，图中
12、的三个正方形的边长均 为 2，则该几何体的体积为( ) A82 3 B4 3 C8 3 D42 3 解析：选 A.由三视图可得该几何体的直观图如图所示，该几何体 是一个棱长为 2 的正方体上、下各挖去一个底面半径为 1，高为 1 的圆 锥后剩余的部分，其体积为 2321 31 2182 3 .故选 A. 2(2018 唐山模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画的是一个几何体的三 视图，则该几何体的体积为( ) A3 B.11 3 C7 D.23 3 解析：选 B.由题中的三视图可得，该几何体是由一个长方体切去一个三棱锥所得的几 何体，长方体的长，宽，高分别为 2，1，2，体积为 4，
13、切去的三棱锥的体积为1 3，故该几何 体的体积 V41 3 11 3 .故选 B. 多面体与球(综合型) 典型例题 命题角度一 外接球 (2018 南宁模拟)三棱锥 P- ABC 中，ABC 为等边三角形，PAPBPC3，PA PB，三棱锥 P- ABC 的外接球的体积为( ) A.27 2 B.27 3 2 C27 3 D27 【解析】 因为三棱锥 P- ABC 中，ABC 为等边三角形，PAPB PC3，所以PABPBCPAC.因为 PAPB，所以 PAPC， PCPB.以 PA，PB，PC 为过同一顶点的三条棱作正方体(如图所示)， 则正方体的外接球同时也是三棱锥 P- ABC 的外接球
14、因为正方体的体 对角线长为 3232323 3，所以其外接球半径 R3 3 2 .因此三棱 锥 P- ABC 的外接球的体积 V4 3 ? ? ? ? 3 3 2 3 27 3 2 ，故选 B. 【答案】 B 解决多面体的外接球问题，关键是确定球心的位置，方法是先选择多面体中的一面，确 定此面外接圆的圆心，再过圆心作垂直此面的垂线，则球心一定在此垂线上，最后根据其他 顶点确定球心的准确位置 对于特殊的多面体还可采用补成正方体或长方体的方法找到球心 位置 命题角度二 内切球 已知一个平放的各棱长为 4 的三棱锥内有一个小球 O(重量忽略不计)，现从该三 棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，当注入的水的体积是该三棱锥体积的7 8时，小球与该三 棱锥各侧面均相切(与水面也相切)，则小球的表面积等于( ) A.7 6 B.4 3 C.2 3 D. 2 【解析】 当注入水的体积是该三棱锥体积的7 8时， 设水面上方的小三棱锥的棱长为 x(各 棱长都相等)，依题意，? ? ? ? x 4 3 1 8，得 x2.易得小三棱锥的高为 2 6 3 ，设小球半径为 r，则1 3S 底面2 6 3 4 1 3S 底面r
