1、 1以几何体为载体考查空间点、线、面位置关系的判断，主要以选择、填空题的形式，题目难度较小； 2以解答题的形式考查空间平行、垂直的证明，并常与几何体的表面积、体积相渗透 1直线、平面平行的判定及其性质 (1)线面平行的判定定理：a?，b?，ab?a (2)线面平行的性质定理：a，a?，b?ab (3)面面平行的判定定理：a?，b?，abP，a，b? (4)面面平行的性质定理：，a，b?ab 2直线、平面垂直的判定及其性质 (1)线面垂直的判定定理：m?，n?，mnP，lm，ln?l (2)线面垂直的性质定理：a，b?ab (3)面面垂直的判定定理：a?，a? (4)面面垂直的性质定理：，l，a
2、?，al?a 热点一 空间点、线、面位置关系的判定 【例 1】 (2018 保定期末)已知, a b是两条不同的直线，,? ?是两个不同的平面， 则ab的一个充分条件是 （ ） Aa?，b? Ba?，b?，? Ca?，b?，? D?，a?，b? 解析 由 a，b 是两条不同的直线，,? ?是两个不同的平面， 在 A 中，a?，b?，则 a 与 b相交、平行或异面，故 A 错误； 在 B 中，a?，b?，?，则 a与 b相交、平行或异面，故 B错误； 在 C 中，由a?，?，则?，又b?，由线面垂直的性质可知ab，故 C 正确； 在 D 中，?，a?，b?，则 a 与 b相交、平行或异面，故 D
3、错误 答案 C 热点题型热点题型 知识与技巧的梳理知识与技巧的梳理 考向预测考向预测 专题三专题三 第第 2 2 讲讲 空间中位置关系的判断与证明空间中位置关系的判断与证明 立体几何立体几何 探究提高 判断与空间位置关系有关的命题真假的方法： (1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断 (2)借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，进行肯定 或否定 (3)借助于反证法，当从正面入手较难时，可利用反证法，推出与题设或公认的结论相矛盾的命题，进而作出 判断 【训练 1】 (2017 广东省际名校联考)已知 ， 为平面
4、，a，b，c 为直线，下列命题正确的是( ) Aa?，若 ba，则 b B，c，bc，则 b Cab，bc，则 ac DabA，a?，b?，a，b，则 解析 选项 A 中，b? 或 b，不正确 B 中 b 与 可能斜交，B 错误 C 中 ac，a 与 c 异面，或 a 与 c 相交，C 错误 利用面面平行的判定定理，易知 D 正确 答案 D 热点二 空间平行、垂直关系的证明 【例 2】 (2018 聊城一中)如图，在四棱锥PABCD?中，平面 PCD平面 ABCD， 1 1 2 ABADCD?， 90BADCDA?，2PCPD? （1）求证：平面 PAD平面 PBC； （2）求直线 PB 与平
5、面 PAD 所成的角； （3）在棱 PC 上是否存在一点 E 使得直线BE平面 PAD，若存在求 PE 的长，并证明你的结论 证明(1)因为90BADCDA?， 所以ABCD,四边形ABCD为直角梯形, 2CD ?， 又2PCPD?，满足 222 PCPDCD?，PDPC?， 又ADCD?，ADPAD?， ,PCDABCD?平面平面PCDABCDCD?平面平面，ADPCD?平面， 又PCPBC?平面，ADPC?， PDPC?，PDPAA?点，,PD PAPAD?平面， PCPAD?平面， PCPBC?平面 平面 PAD平面 PBC. (2)取 CD 的中点 H，连接 BH,PH,作HGPD?于
6、?，如图， 在四边形 ABCD 中， 1 1 2 ABADCD?，90BADCDA?， 所以ABHD为正方形，所以BHCD?； 因为平面 PCD平面 ABCD，平面 PCD平面 ABCD=CD，所以BH ?平面PCD； 所以90BHP?，. 因为1PHBH?，所以2PB ?； 在直角三角形PHD中，PH DHPD HG?，所以 2 2 HG ?， 又BHAD，所以BH平面PAD，所以B到平面PAD的距离等于 2 2 HG ?； 设直线 PB 与平面 PAD 所成的角为?，则 1 sin 2 ?，即直线 PB 与平面 PAD 所成的角为30?， (3)存在E为PC中点，即 2 2 PE ?满足条
7、件,证明如下：取PD中点F，连接,EF AF.如图， 因为,E F分别是,PC PD的中点，所以EFCD且 1 2 EFCD?， 所以EFAB且EFAB?，即ABEF为平行四边形，所以BEAF; 因为BE ?平面PAD，AF ?平面PAD，所以BE平面PAD，此时 2 2 PE ? 探究提高 垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型 (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行 (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直 (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直 (4)证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直 【训练 2】 (2017 成都诊断)如图 1， 在正方形
8、ABCD 中， 点 E， F 分别是 AB， BC 的中点， BD 与 EF 交于点 H， 点 G，R 分别在线段 DH，HB 上，且DG GH BR RH将AED，CFD， BEF 分别沿 DE，DF，EF 折起，使点 A，B，C 重合于点 P，如图 2 所示 图 1 图 2 (1)求证：GR平面 PEF； (2)若正方形 ABCD 的边长为 4，求三棱锥 PDEF 的内切球的半径 (1)证明 在正方形 ABCD 中，A，B，C 为直角 在三棱锥 PDEF 中，PE，PF，PD 两两垂直 又 PEPFP，PD平面 PEF DG GH BR RH，即 DG GH PR RH， 在PDH 中，R
9、GPD GR平面 PEF (2)解 正方形 ABCD 边长为 4 由题意知，PEPF2，PD4，EF2 2，DF2 5 SPEF2，SDPFSDPE4 SDEF1 2 2 2 （2 5） 2（ 2）26 设三棱锥 PDEF 内切球的半径为 r， 则三棱锥的体积为 VPDEF1 3 PD SPEF 1 3(SPEF2SDPFSDEF) r，解得 r 1 2 三棱锥 PDEF 的内切球的半径为1 2 1(2017 全国卷)如图，在下列四个正方体中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，则 在这四个正方体中，直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是( ) 【解题思路】 在平面 MNQ
10、 中找是否有直线与直线 AB 平行 【答案】 法一 对于选项 B，如图(1)所示，连接 CD，因为 ABCD，M，Q 分别是所在棱的中点，所以 MQ CD，所以 ABMQ，又 AB?平面 MNQ，MQ?平面 MNQ，所以 AB平面 MNQ同理可证选项 C，D 中均 有 AB平面 MNQ因此 A 项不正确故选 A 图(1) 图(2) 法二 对于选项 A，其中 O 为 BC 的中点(如图(2)所示)，连接 OQ，则 OQAB，因为 OQ 与平面 MNQ 有交 点，所以 AB 与平面 MNQ 有交点，即 AB 与平面 MNQ 不平行A 项不正确故选 A 2(2016 全国卷)， 是两个平面，m，n
11、是两条直线，有下列四个命题： 如果 mn，m，n，那么 如果 m，n，那么 mn 如果 ，m?，那么 m 如果 mn，那么 m 与 所成的角和 n 与 所成的角相等 其中正确的命题有_(填写所有正确命题的编号) 【解题思路】 根据题设条件构建相应的模型（可在长方体中构建） 【答案】 当 mn，m，n 时，两个平面的位置关系不确定，故错误，经判断知均正确，故正 确答案为故填 3(2016 全国卷)平面 过正方体 ABCDA1B1C1D1的顶点 A，平面 CB1D1，平面 ABCDm，平面 ABB1A1n，则 m，n 所成角的正弦值为( ) 经典常规题 限时训练限时训练 （45 分钟） A 3 2
12、 B 2 2 C 3 3 D1 3 【解题思路】 利用平行关系转化 m，n 所成角 【答案】 如图所示，设平面 CB1D1平面 ABCDm1，因为 平面 CB1D1，所以 m1m， 又平面 ABCD平面 A1B1C1D1， 且平面 B1D1C平面 A1B1C1D1B1D1， 所以 B1D1m1，故 B1D1m 因为平面 ABB1A1平面 DCC1D1， 且平面 CB1D1平面 DCC1D1CD1， 同理可证 CD1n 故 m，n 所成角即直线 B1D1与 CD1所成角， 在正方体 ABCDA1B1C1D1中，CB1D1是正三角形，故直线 B1D1与 CD1所成角为 60 ，其正弦值为 3 2
13、故选 A 4(2018 全国 I 卷) 如图，在平行四边形中，以为折痕将折 起，使点到达点的位置，且 （1）证明：平面平面； （2）为线段上一点，为线段上一点，且，求三棱锥的体积 【解题思路】(1)首先根据题的条件，可以得到90BAC?，即BAAC?，再结合已知条件 BAAD，利用线 面垂直的判定定理证得 AB平面 ACD，又因为 AB?平面 ABC，根据面面垂直的判定定理，证得平面 ACD 平面 ABC； (2)根据已知条件，求得相关的线段的长度，根据第一问的相关垂直的条件，求得三棱锥的高，之后借助于三 棱锥的体积公式求得三棱锥的体积. 【答案】 （1）由已知可得，90BAC?，? ? 又
14、BAAD，且ACADA?，所以 AB平面 ACD ABCM3ABAC?90ACM ?ACACM MDABDA ACDABC QADPBC 2 3 BPDQDA?QABP? 又 AB?平面 ABC， 所以平面 ACD平面 ABC （2）由已知可得，DC=CM=AB=3，DA=3 2 又 2 3 BPDQDA?，所以2 2BP ? 作 QEAC，垂足为 E，则 1 3 QEDC 由已知及（1）可得 DC平面 ABC，所以 QE平面 ABC，QE=1 因此，三棱锥QABP?的体积为 111 13 2 2sin451 332 Q ABPABP VQES ? ? ? ? 1(2016 浙江卷)已知互相垂
15、直的平面 ， 交于直线 l若直线 m，n 满足 m，n，则( ) Aml Bmn Cnl Dmn 【解题思路】 构建模型再进一步证明 【答案】 由已知，l，l?，又n，nl，C 正确故选 C 2(2017 全国卷)在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为棱 CD 的中点，则( ) AA1EDC1 BA1EBD CA1EBC1 DA1EAC 【解题思路】 画出其图形，一一验证选项 【答案】 如图，由题设知，A1B1平面 BCC1B1，从而 A1B1BC1 又 B1CBC1，且 A1B1B1CB1，所以 BC1平面 A1B1CD，又 A1E?平面 A1B1CD，所以 A1EBC1故选 C 3(2018 全国 II 卷) 如图，在三棱锥中，为的中 点 （1）证明：平面； （2）若点在棱上，且，求点到平面的距离 PABC?2 2ABBC?4PAPBPCAC?OAC PO ?ABC MBC2MCMB?CPOM 高频易错题 【
