1、 1111111 1计数原理、古典概型、几何概型的考查多以选择或填空的形式命题，中低档难度； 2概率模型多考查独立重复试验、相互独立事件、互斥事件及对立事件等；对离散型随机变量的分布列及期 望的考查是重点中的“热点” 1概率模型公式及相关结论 (1)古典概型的概率公式 P(A)m n 事件A中所含的基本事件数 试验的基本事件总数 (2)几何概型的概率公式 P(A) 构成事件A的区域长度（面积或体积） 试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积） (3)条件概率 在 A 发生的条件下 B 发生的概率：P(B|A)P（AB） P（A） (4)相互独立事件同时发生的概率：若 A，B 相互独立，则 P
2、(AB)P(A) P(B) (5)若事件 A，B 互斥，则 P(AB)P(A)P(B)，P(A)1P(A) 2独立重复试验与二项分布 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p， 那么它在 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率为 Pn(k)Cknpk(1 p)n k，k0，1，2，?，n用 X 表示事件 A 在 n 次独立重复试验中发生的次数，则 X 服从二项分布，即 X B(n，p)且 P(Xk)Cknpk(1p)n k 3超几何分布 在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品，则 P(Xk) C C C kn k MN M n N ? ? ，k0，1，2，
3、?， m，其中 mminM，n，且 nN，MN，n，M，NN *，此时称随机变量 X 服从超几何分布超几何分布 的模型是不放回抽样，超几何分布中的参数是 M，N，n 4离散型随机变量的均值、方差 (1)离散型随机变量 的分布列为： 知识与技巧的梳理知识与技巧的梳理 考向预测考向预测 专题五专题五 第第 2 2 讲讲 概率、随机概率、随机变量变量及其及其分布列分布列 概率概率与统计与统计 x1 x2 x3 ? xi ? n P p1 p2 p3 ? pi ? pn 离散型随机变量 的分布列具有两个性质：pi0； p1p2?pi?pn1(i1，2，3，?，n) (2)E()x1p1x2p2?xip
4、i?xnpn为随机变量 的数学期望或均值 D()(x1E()2p1(x2E()2p2?(xiE()2pi?(xnE()2pn叫做随机变量 的方差 (3)数学期望、方差的性质 E(ab)aE()b，D(ab)a2D() XB(n，p)，则 E(X)np，D(X)np(1p) X 服从两点分布，则 E(X)p，D(X)p(1p) 热点一 随机变量的分布列、均值与方差 【例 1】(2019 黄山一模)2015 年 11 月 27 日至 28 日，中共中央扶贫开发工作会议在北京召开，为确保到 2020 年所有贫困地区和贫困人口一道迈入全面小康社会 黄山市深入学习贯彻习近平总书记关于扶贫开发工作的 重要
5、论述及系列指示精神，认真落实省委、省政府一系列决策部署，精准扶贫、精准施策，各项政策措施落到 实处，脱贫攻坚各项工作顺利推进，成效明显贫困户杨老汉就是扶贫政策受益人之一据了解，为了帮助杨 老汉早日脱贫，负责杨老汉家的扶贫队长、扶贫副队长和帮扶责任人经常到他家走访，其中扶贫队长每天到杨 老汉家走访的概率为1 4，扶贫副队长每天到杨老汉家走访的概率为 1 3，帮扶责任人每天到杨老汉家走访的概率为 1 2 （）求帮扶责任人连续四天到杨老汉家走访的概率； （）设扶贫队长、副队长、帮扶责任人三人某天到杨老汉家走访的人数为 X，求 X 的分布列； （）杨老汉对三位帮扶人员非常满意，他对别人说:“他家平均每
6、天至少有 1 人走访”请问：他说的是真的 吗？ 解 ()设帮扶责任人连续四天到杨老汉家走访的事件为 A，则?(?) = 1 2 1 2 1 2 1 2 = 1 16， 帮扶责任人连续四天到杨老汉家走访的概率为 1 16 （）随机变量 X 的所有可能取值为 0，1，2，3 ?(? = 0) = 3 4 2 3 1 2 = 1 4； ?(? = 1) = 1 4 2 3 1 2 + 3 4 1 3 1 2 + 3 4 2 3 1 2 = 11 24； ?(? = 2) = 1 4 1 3 1 2 + 1 4 2 3 1 2 + 3 4 1 3 1 2 = 1 4； 热点热点题型题型 ?(? = 3
7、) = 1 4 1 3 1 2 = 1 24 随机变量 X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 1 4 11 24 1 4 1 24 （）?(?) = 11 24 + 1 2 + 1 8 = 13 12，所以?(?) 1，所以杨老汉说的是真的 探究提高 1求随机变量的均值和方差的关键是正确求出随机变量的分布列 2对于实际问题中的随机变量 X，如果能够断定它服从二项分布 B(n，p)，则其概率、期望与方差可直接利用 公式 P(Xk)Cknpk(1p)n k(k0，1，2，?，n)，E(X)np，D(X)np(1p)求得 【训练 1】 (2017 西安二模)中国铁路客户服务中心为方便旅客购买车票
8、，推出三种购票方式：窗口购票、电 话购票、网上购票，旅客任选一种购票方式若甲、乙、丙 3 名旅客都准备购买火车票，并且这 3 名旅客选择 购票的方式是相互独立的 (1)求这三名旅客中至少有两人选择网上购票的概率； (2)记这三名旅客购票方式的种数为 ，求 的分布列和数学期望 解 (1)记“三名旅客中恰有两人选择网上购票”为事件 A， “三名旅客都选择网上购票”为事件 B，且 A，B 互斥 则 P(A)C23? ? ? ? 1 3 2 2 3 2 9，P(B)? ? ? ? 1 3 3 1 27 因此，三名旅客中至少有两人选择网上购票的概率 PP(A)P(B) 7 27 (2)由题意，的所有可能
9、取值为 1，2，3， 则 P(1)C13? ? ? ? 1 3 3 1 9； P(2)C 2 3 2 3 A? ? ? ? 1 3 3 2 3； P(3) 3 3 A? ? ? ? 1 3 3 2 9 所以随机变量 的分布列为： 1 2 3 P 1 9 2 3 2 9 故 的期望 E()11 92 2 33 2 9 19 9 热点二 概率与统计的综合问题 【例 2】(2018 德州期末)在创新“全国文明卫生城”过程中，某市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解 情况，进行了一次创城知识问卷调查（一位市民只能参加一次） ，通过随机抽样，得到参加问卷调查的 100 人 的得分统计结果如表所示： （
10、1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分? ?(?，198)，?近似为这 100 人得分的平均值（同 一组中的数据用该组区间的中点值作代表） ，利用该正态分布，求?(382 0；当? (01，1)时，?(?) 400，故应该对余下的产品作检验 1 【解题思路】(1)本题是独立重复试验，二项分布，可得 P(X2)；(2)依题意计算 的可能取值， 并计算其概率，列出分布列 【答案】解 (1)依题意，每家央企在“雄县”片区建立分公司的概率为1 3，去另外两个片区建立分公司的 概率为2 3，这 4 家央企恰有 2 家央企在“雄县”片区建立分公司的概率为 PC 2 4? ? ? ? 1 3 2
11、? ? ? ? 11 3 2 8 27 (2)由独立重复试验概率， 则 P(Xk)Ck4? ? ? ? 1 3 k ? ? ? ? 11 3 4k (k0，1，2，3，4)， 随机变量 的所有可能取值为 0，2，4 P(0)P(X2) 8 27；P(2)P(X1)P(X3) 40 81； P(4)P(X0)P(X4)17 81 高频易错题 经典常规题 所以随机变量 的分布列为： 0 2 4 P 8 27 40 81 17 81 2 【解题思路】(1)从图中找出服药的且指标 y 的值小于 60 的人数；(2)此问是超几何分布，依题意计算 的可 能取值，并计算其概率，列出分布列；(3)根据图示中数
12、据的稳定性即可判断方差的大小 【答案】解 (1)由题图知，在服药的 50 名患者中，指标 y 的值小于 60 的有 15 人， 所以从服药的 50 名患者中随机选出一人，此人指标 y 的值小于 60 的概率为15 5003 (2)由题图知，A，B，C，D 四人中，指标 x 的值大于 17 的有 2 人：A 和 C 所以 的所有可能取值为 0，1，2 P(0) 2 2 2 4 C C 1 6， P(1) 1 2 2 4 2C C 2 3， P(2) 2 2 2 4 C C 1 6 所以 的分布列为： 0 1 2 P 1 6 2 3 1 6 E()01 61 2 32 1 61 (3)由图知 10
13、0 名患者中服药者指标 y 数据的方差比未服药者指标 y 数据的方差大 1 【解题思路】(1) 投中 2 次或 2 次以上，记为达标，就是投中 2 次或投中 3 次；(2)应注意连中 2 次终止， 也可能前两次至多中一次，第三次不中，这时可以肯定不能达标，也终止，所以应依题意列举所有可能情况， 再确定 X 的可能取值，并计算其概率，列出分布列 【答案】解 (1)记“甲达标”为事件 A，则 P(A)C23? ? ? ? 1 2 2 1 2? ? ? ? 1 2 3 1 2 (2)X 的所有可能的值为 2，3，4 P(X2)? ? ? ? 2 3 2 4 9， P(X3)1 3 2 3 2 3 1
14、 3 2 3 1 3? ? ? ? 1 3 3 2 3 1 3 1 3 1 3， P(X4)1 3 1 3 2 3 2 3 1 3 2 3 2 9 所以 X 的分布列为： X 2 3 4 P 4 9 1 3 2 9 E(X)24 93 1 34 2 9 25 9 2 【解题思路】 (1) 完成 22 列联表， 并起算 K2； (2)应注意优良中的人怎么抽和成绩不优良的乙班人数无关， 所以只需考虑不优良的 11 人中抽取 3 人的情况，此时此 3 人可能分属甲乙两班，属于超几何分布，确定 X 的 精准预测题 可能取值，并计算其概率，列出分布列 【答案】解 (1)由统计数据得 22 列联表： 甲班
15、 乙班 总计 成绩优良 9 16 25 成绩不优良 11 4 15 总计 20 20 40 根据 22 列联表中的数据，得 K2的观测值为 k40（941611） 2 25152020 52275024， 能在犯错概率不超过 0025 的前提下认为“成绩优良与教学方式有关” (2)由表可知在 8 人中成绩不优良的人数为15 4083，则 X 的可能取值为 0，1，2，3 P(X0) 3 11 3 15 C C 33 91； P(X1) 21 114 3 15 C C C 44 91； P(X2) 12 114 3 15 C C C 66 455； P(X3) 3 4 3 15 C C 4 455 X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 33 91 44 91 66 455 4 455 E(X)033 911 44 912
