1、 2020-2021 学年第一学期学年第一学期 12 月六校联合调研试题月六校联合调研试题 高三数学高三数学 一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分。在毎小题绐出的四个选项中，只有一项是符合在毎小题绐出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的题目要求的。 1记全集U R，集合 2 16Ax x，集合 ln0Bxx，则CUAB（ ） A4,) B(1,4 C1,4) D(1,4) 2设 i 为虚数单位，aR， “1a ”是“复数 2 1 21 a z i 是纯虚数”的（ ）条件 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条
2、件 D既不充分也不必要条件 3已知圆 C 的圆心在直线yx上，且与 y 轴相切于点(0,5)，则圆 C 的标准方程是（ ） A 22 (5)(5)25xy B 22 (5)(5)25xy C 22 (5)(5)5xy D 22 (5)(5)5xy 4标准对数远视力表（如图）采用的是“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，标准对数远视力表各 行为正方形“E”形视标，且从视力 5.2 的视标所在行开始往上，每一行E”的边长都是下方一行“E” 边长的1010倍，若视力 4.1 的视标边长为 a，则视力 4.8 的视标边长为（ ） A 0.8 10a B 0.7 10a C 0.8 10a D 0.7
3、 10a 5已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右顶点为 A，直线 3 () 2 yxa与 C 的一条渐近线在第一 象限相交于点 P，若 PA 与 x 轴垂直，则 C 的离心率为（ ） A2 B3 C2 D3 6已知函数( )yf x的图象如下图所示，则此函数可能是（ ） A sin6 ( ) 22 xx x f x B sin6 ( ) 22 xx x f x C cos6 ( ) 22 xx x f x D cos6 ( ) 22 xx x f x 7 “总把新桃换旧符” （王安石） 、 “灯前小草写桃符” （陆游） ，春节是中华民族的传统节日，在宋代人们用 写“
4、桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美 好祝愿。某商家在舂节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满 50 元，则可以从“福”字、春联和灯 笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有 4 名顾客都领取一件礼品，则他们中有且仅有 2 人领取的礼品 种类相同的概率是（ ） A 5 9 B 4 9 C 7 16 D 9 16 8在三棱锥PABC中，底面 ABC 是以 AC 为斜边的等腰直角三角形，且2AB ，5PAPC，PB 与底面 ABC 所成的角的余弦值为 2 2 3 ，则三棱锥PABC的外接球的体积为（ ） A 9 2 B 89 89 6 C9 D 27
5、2 二、多项选择题：本二、多项选择题：本题题共共 4 小题，每小題小题，每小題 5 分，共分，共 20 分分。在每个小在每个小题题给出的四个选项中，有多项符合题目给出的四个选项中，有多项符合题目 要求，全部选对的得要求，全部选对的得 5 分，选对但不全的得分，选对但不全的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分。 9下列说法正确的是（ ） A若 1 , 3 XB n ，且2EX ，则6n B设有一个回归方程35yx，变量 x 增加 1 个单位时，y 平均减少 5 个单位 C线性相关系数 r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱 D在某项测量中，测量结果服从正态分布 2 1
6、,(0)N，则(1)0.5P 10若函数sin2f xx（ ）的图象向右平移 6 个单位得到的图象对应的函数为( )g x，则下列说法中正确的 是（ ） A( )g x图象关于 5 12 x 对称 B当0, 2 x 时，( )g x的值域为 33 , 22 C( )g x在区间 511 , 1212 上单调递减 D当0, x时，方程( )=0g x有 3 个根 11如图，直角梯形 ABCD，ABCD，ABBC， 1 2 BCCD，1AB ，E 为 AB 中点，以 DE 为 折痕把 ADE 折起，使点 A 到达点 P 的位置，且 3 2 PC ，则（ ） A平面PED 平面 EBCD BPCED
7、 C二面角PDCB的大小为 4 DPC 与平面 PED 所成角的正切值为 2 2 12已知抛物线 2 2(0)ypx p的焦点为 F，过点 F 的直线 l 交抛物线于 A、B 两点，以线段 AB 为直径 的圆交 y 轴于 M、N 两点，设线段 AB 的中点为 P，则（ ） A 2 3 4 p OA OB B若 2 | | 4AFBFp，则直线 AB 的斜率为3 C若抛物线上存在一点(2, )Et到焦点 F 的距离等于 3，则抛物线的方程为 2 8yx D若点 F 到抛物线准线的距离为 2，则sin PMN的最小值为 1 2 三、填空题：本大三、填空题：本大题题共共 4 小小題，毎小题題，毎小题
8、 5 分，共分，共 20 分分。把答案填在答题卡的相应位置把答案填在答题卡的相应位置。 13，在Rt ABC中，90C，4AC ，D 为 AB 边上的中点，则CD AC等于_。 14 8 (2 )()xyxy的展开式中 27 x y的系数为_。 （用数字填写答案） 15 已知定义在 R 上的偶函数( )f x在0,)上递减， 若不等式(ln1)(ln 1)2 (1)faxxf axf 对 2 1,xe 恒成立，则实数 a 的取值范围为_。 6已知函数( )3cos 2 3 f xx ，当0,9 x时，把函数( )( )1F xf x的所有零点依次记为 1 x， 2 x， 3 x， n x， 且
9、 123n xxxx， 记数列 n x的前n项和为 n S， 则 1 2 nn Sxx_。 四、解答四、解答题题：本大题共：本大题共 6 小題，共小題，共 70 分分。解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （本小题满分 10 分） 在 2 1 2 AC ABbab，tan2 sinaCcA， 222 3 4 Sabc这三个条件中任选一个， 补充在下面的问题中，并解决该问题。 锐角ABC中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，ABC的面积为 S，已知_。 （1）求角 C 的大小； （2）求sinsinAB的取值范围。 18 （本小题满分 1
10、2 分） 已知数列 n a， n b的前 n 项和分别为 n S， n T，且0 n a ， 2 63 nnn Saa。 （1）求数列 n a的通项公式； （2）记 1 n n b S ，若 n kT恒成立，求 k 的最小值。 19 （本小题满分 12 分） 如图，点 C 是以 AB 为直径的圆上的动点（异于 A，B） ，已知2AB ，2AC ，7AE ，四边 形 BEDC 为矩形，平面ABC 平面 BEDC设平面 EAD 与平面 ABC 的交线为 l。 （1）证明：lBC； （2）求平面 ADE 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值。 20 （本小题满分 12 分） 垃圾是人类日常生活和生
11、产中产生的废弃物，由于排出量大，成分复杂多样，且具有污染性，所以需 要无害化、 减量化处理。 某市为调査产生的垃圾数量， 采用简单随机抽样的方法抽取 20 个县城进行了分析， 得到样本数据,(1,2,20) ii x yi ，其中 i x和 i y分别表示第 i 个县城的人口（单位：万人）和该县年 垃圾产生总量 （单位： 吨） ， 并计算得 20 1 80 i i x ， 20 1 4000 i i y ， 20 2 1 80 i i xx ， 20 2 1 8000 i i yy ， 20 1 700 ii j xxyy 。 （1）请用相关系数说明该组数据中 y 与之间的关系可用线性回归模型
12、进行拟合； （2）求 y 关于 x 的线性回归方程； （3）某科硏机构硏发了两款垃圾处理机器，下表是以往两款垃圾处理机器的使用年限（整年）统计表： 使用年限 台数 款式 1 年 2 年 3 年 4 年 5 年 甲款 5 20 15 10 50 乙款 15 20 10 5 50 某环保机构若考虑购买其中一款垃圾处理器，以使用年限的频率估计概率。根据以往经验估计， 该机构选择购买哪一款垃圾处理机器，才能使用更长久？ 参考公式：相关系数 1 2 11 n ii i nn ii ii xxyy r xxyy 对于一组具有线性相关关系的数据,(1,2, ) ii x yin， 其回归直线 ybxa的斜率
13、和截距 的最小二乘估计分别为： 1 2 1 n ii i n i i xxyy b xx ， a ybx 21 （本小题满分 12 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的一条准线方程为 3 2 2 x ，点 3 1 , 2 2 在椭圆 C 上。 （1）求椭圆 C 的方程； 2）过点(0,2)P的直线交椭圆 C 于 A，B 两点，求AOB面积（O 为原点）的最大值。 22 （本小题满分 12 分） 已知函数( )(0) tx f xtet，( )lng xx. （1）若( )f x在0 x 处的切线与( )g x在1x 处的切线平行，求实数 t 的值； （2）设函数( )
14、( )( )xf xg x. 当1t 时，求证：( )x在定义域内有唯一极小值 0 x，且 0 5 2, 2 x ； 若( )x恰有两个零点，求实数 t 的取值范围。 2020-2021 学年第一学期学年第一学期 12 月六校联合调研试题月六校联合调研试题 高三数学高三数学 一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分。在毎小题在毎小题给给岀的四个选项中，只有一项是符岀的四个选项中，只有一项是符合合 题题目要求的目要求的。 1 【答案】C 2 【答案】A 3 【答案】B 4 【答案】B 5 【答案】 C 6 【答案】 7 【答案】
15、B 解：4 名顾客都领取一件礼品，基本事件总数 4 381 他们中有且仅有 2 人领取的礼品种类相同包含的基本事件个数 23 43 C A36 364 819 P ，选 B 8 【答案】A 解：取 AC 中点 D，连 BD，PD BCAB，PAAC， ACBD，ACPD，PDBDD，PD，BD 平面 PBD， AC 平面 PBD 又AC 平面 ABC，平面ABC 平面 PBD PBD为 PB 与底面 ABC 所成锤子数学的角， 即 2 2 cos 3 PBD， 22 2ACAB， 2BD ， 22 3PDPAAD 令PBx，则 2 2 2 3222 3 xx 解得3x 取 PB 中点 O，连接
16、 OD 2 93 2 21 222 4234 OD 222 ODDBOB，ODDB， O 为 ABC 外接球锤子数学的球心 3 2 r ， 4279 382 V ， 选 A 二、二、多项选择题：本题共多项选择题：本题共 4 小小题题，每小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分。在毎个小在毎个小题题给出的四个选项中，有多项符合给出的四个选项中，有多项符合题题目目 要求，全部选对的得要求，全部选对的得 5 分，选对但不全的得分，选对但不全的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分。 9 【答案】ABD 10 【答案】AC 11 【答案】AC 解：A 中， 2222 222 2PDADAED
17、E， 在三角形 PDC 中， 222 PDCDPC， 所以PDCD，又CDDE， 可得CD平面 PED，CD 平面 EBCD， 所以平面PED 平面 EBCD，A 选项正确； B 中，若PCED，又EDCD，可得ED 平面 PDC， 则EDPD，而EDPEDA ，显然矛盾，故 B 选项错误； C 中，二面角PDCB的锤子数学平面角为PDE， 根据折前着后不变知45PDEADE ，故 C 选项正确； D 中，由上面分析可知，CPD为直线 PC 与平面 PED 所成角， 在Rt PCD中， 2 tan 2 CD CPD PD ，故 D 选项错误。 故选：AC 12 【答案】AD 解：设 AB: 2
18、 p xmy， 11 ,A x y， 22 ,B x y 2 2, , 2 ypx p xmy 消 x 可得 22 20ypmyp 12 2yypm， 2 12 y yp 2242 12 12 2 2244 yypp x x ppp 2 22 1212 3 44 p OA OBx xy ypp ，A 正确 2 121212 | 2224 pppp AF BFxxx xxx 2 2 12 2 222 pppm m yypppm 2222 4pp mp 2 3m ，3m AB 的斜率为 3 3 ，B 错误 抛物线上一点(2, )Et到焦点的距离为 3，则 E 到锤子数学准线距离为 3 32 2 p
19、 ，2p 抛物线方程： 2 4yx，C错误 此时答案已知 AD 再判断 D F 到锤子数学抛物线准线距离为 2，2p 2 12 42xxm， 12 4yym， 2 12 2244rABxxm 2 22rm， 22 222 212211 sin1 222222 dmm PMN rmmm 2 222m ， 2 11 0, 222m ， 1 sin,1 2 PMN 即 min 1 sin 2 PMN，D 正确。 三、填空题：本大三、填空题：本大题题共共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。把答案填在答题卡的相应位置。分。把答案填在答题卡的相应位置。 13 【答案】8 14 【答
20、案】48 15 【答案】 2 14 a ee 解：( )f x为偶函数， (ln1)(ln1)faxxf axx (ln1)(ln1)2 (1)(ln1)(1)faxxf axxff axxf， ( )f x在0,) |ln1| 1axx在 2 1,xe 恒成立， lnln2xx a xx 令 ln ( ) x g x x ， 2 1ln ( )0 x g x x ，xe ( )g x在1, )e，( ,2e， max 1 ( )( )g xg e e 令 ln2 ( ) x h x x ， 2 1ln ( )0 x h x x ，( )h x在 2 1,e 2 min 2 4 ( )h xh
21、 e e ， 2 14 a ee 。 16 【答案】 221 3 解：0F x （ ），则 1f x ，即 1 cos 2 33 x 令( )cos 2 3 g xx ， g x的周期为 在一个周期0, 内 1 ( ) 3 g x 有两个根 1 x， 2 x 则在0,9 内共有 18 个根，即18n 相邻的两个根都关于锺子数学对称轴对称， 而 g x的对称轴 62 k x 即 1 x， 2 x关于 3 x 对称， 2 x， 3 x关于 5 6 x对称 17 x， 18 x关于 25 3 x对称 112231718 2 nn Sxxxxxxxx 25 17 22133 23 。 四、解答题：本大
22、题共四、解答题：本大题共 6 小小题题，共，共 70 分分。解解答答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤应写岀文字说明、证明过程或演算步骤。 。 17解：选 （1） 2 1 2 AC ABbab， 2 1 cos 2 bcAbab， 即 222 2222 1 22 bca bcbababcab bc 222 1 22 abc ab ， 1 cos 2 C ， 3 C 。 （2）ABC为锐角三角形且 0, 2 62 0, 32 A A A 13 sinsinsinsinsinsincos 322 ABAAAAA 33 sincos3sin 226 AAA 2 363 A ， 3 sin1 26 A
23、 ， 3 sinsin, 3 2 AB ， 即sinsinAB的锤子数学取值范围为 3 , 3 2 。 18解： （1） 2 63 nnn Saa 当2n时 2 111 63 nnn Saa -得 22 11 633 nnnnn aaaaa 111 30 nnnnnn aaaaaa 11 30 nnnn aaaa 0 n a ， 1 0 nn aa ， 1 3 nn aa n a为等差数列，且公差为 3，在式中令1n ，得 1 3a 33(1)3 n ann。 （2） 2 993 (1) 62 n nn Sn n ， 12 11 31 n n b Snn 12 211111 1 32231 n
24、n Tbbb nn 21 1 31n n T关于 n 单调递增，且对 * nN ， 2 3 n T 2 3 k ，所以 k 的最小值为 2 3 。 19解： （1）证明：四边形 BEDC 为矩形， DEBC，DE平面 ABC 又DE 平面 ADE，平面ADE 平面ABCl， lBC。 （2） 过 A 作AMCB交圆于点 M，连接 BM，EM 四边形 AMBC 为矩形，AMBCDE 平面 ADE 与平面 AMED 为同一平面 平面ABC 平面 BEDC，平面ABC平面BEDCBC， BE 平面 BEDC，BEBC， BE 平面 ABC，BEAM， 又AMBM，BEBMB， AM 平面 BEM，A
25、MEM 平面ADE 平面ABCAM， EMB即为所求二面角锤子数学的平面角 7AE ，2AB ， 743BE ，2BMAC，5EM 210 cos 55 EMB。 20解： （1）由题意知相关系数 20 1 2020 22 11 7007 0.875 880 8000 ii i ii ii xxyy r xxyy ， 因为 y 与 x 的相关系数接近 1， 所以 y 与 x 之间具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型进行拟合。 （2）由题意可得， 20 1 20 2 1 700 8.75 80 ii i i i xxyy b xx ， 400080 8.752008.75 4165 2020
26、 aybx， 所以8.75165yx。 （3） 以频率估计概率， 购买一台甲款垃圾处理机器节约政府支持的垃圾处理费用 X （单位： 万元） 的分布列为 X 50 0 50 100 P 0.1 0.4 0.3 0.2 ()500.100.4500.3 1000.230E X （万元） 购买一台乙款垃圾处理机器节约政府支持的垃圾处理费用 Y（单位：万元）的分布列为： Y 30 20 70 120 P 0.3 0.4 0.2 0.1 ( )300.3200.4700.21200.125E Y （万元） 因为()( )E XE Y，所以该县城选择购买一台甲款垃圾处理机器更划算。 21解： （1）由题意
27、知 2 22 222 3 2 , 2 3,91 1, 441, , a c a abb abc ， 椭圆 C 的锤子数学方程为 2 2 1 3 x y。 （2）设直线 AB 的方程为2ykx， 11 ,A x y， 22 ,B x y 222 22 2, 3443 33, ykx xk xkx xy , 22 131290kxkx 2222 14436 13363601kkkk 且 12 2 12 2 12 , 13 9 , 13 k xx k x x k 2 22 121212 |114ABkxxkxxx x 2 2 2 3636 1 13 k k k 22 2 6 11 13 kk k O
28、 到 AB 的距离 2 2 1 d k 222 22 2 1 6 11261 21313 1 AOB kkk S kk k ， 令 2 1kt ，0t ， 22 1kt 2 6663 4 3422 12 3 AOD t S t t t ， 当且仅当 4 3t t 即 2 3 3 t 时取“” 此时 21 3 k AOB面积最大值为 3 2 。 22解： （1） 2 ( ) tx fxt e， 1 ( )g x x ( )f x在0 x 处切线的斜率为 2 1 kt， ( )g x在1x 处切线锤子数学的斜率为 2 1k 两切线平行， 2 1t ，1t ， 0t ，1t . （2）( )ln t
29、x xtex 当1t 时，( )ln x xex， 1 ( ) x xe x 令 1 ( ) x h xe x ， 2 1 ( )0 x h xe x ， ( )h x在(0,)上单调递增 注意到 1 20 2 he ，(1)10he ， 存在唯一的 0 1 ,1 2 x 使 0 0h x， 0 0 1 x e x 且当 0 0 xx时，( )0h x ，( )0 x，( )x； 当 0 xx时，( )0h x ，( )0 x，( )x ( )x有唯一的极小值点 0 x，且 0 000 0 15 ln2, 2 x xexx x 当1t 时，(1)ln0 x ex，( )x无锤子数学零点，舍去
30、当01t 时，令 ln ( )0lnln txx xtxexxx e 令( ) x F xxe，( )(1) x F xxe， ( )F x在(, 1) 上；( 1,)上且(0)0F 当0 x时，( )0F x ， 0 x 时，( )0F x ，且( )F x， ( )(ln )F txFx而0tx lntxx， 令( )lnG xtxx， 1 ( )G xt x ， 令( )0G x，得 1 x t 且当 1 0 x t 时，( )0G x，( )G x； 当 1 x t 时，( )0G x，( )G x min 1 ( )1lnG x t ，要使( )G x在(0,)有两个零点， 则 11 100 ln t te ，此时(1)0Gt ， 22 11111 ln0G ttttt ， ( )G x在 1 1, t 和 2 1 1 , t t 上各有一个零点，此时 1 0t e 成立。 综上：t 的取值范围为 1 0, e 。
