1、专题二专题二 分类讨论题分类讨论题 第三板块第三板块 2021 内 容 索 引 01 02 03 解题策略指导解题策略指导 题型分类突破题型分类突破 素养训练提高素养训练提高 解题策略指导解题策略指导 T 题型概述题型概述 因题目已知条件存在一些不确定因素,解答无法用统一的方法或者结论不 能给以统一表述的数学问题,我们往往将问题划分为若干类,或若干个局部 问题来解决.分类讨论题难度大,同学们容易漏掉解,出题角度多,可以很好 地考查同学们思维的条理性、缜密性、科学性.2021年中考压轴填空题设 置为分类讨论题可能性非常大. F 方法指导方法指导 1.对问题进行分类讨论时,必须按同一标准分类,且做
2、到不重不漏.解题中, 分类讨论一般分为四步:第一,确定讨论的对象以及讨论对象的取值范围; 第二,正确选择分类标准,合理分类;第三,逐类、逐段分类讨论;第四,归纳并 得出结论. 2.引起分类讨论的七种基本形态.并非所有的数学问题都需要进行分类讨 论,但若涉及以下七种情况,常常需要进行分类讨论使问题简单化. (1)概念分段定义.像绝对值这样分段定义的概念,在中学数学中还有直线 的斜率等,当这些概念出现时,一般要进行分类讨论. (2)公式分段表达.在解决数学问题时,常常要用到数学公式,若该公式是分 段表达的,那么在应用到这些公式时,需分类讨论. (3)实施某些运算引起分类讨论.在解决数学问题时,不论
3、是化简、求值还 是论证,常常要进行运算,若在不同条件下实施这些运算时会得到不同的结 果,就需要分类讨论. (4)图形位置不确定.如果图形的位置不确定,常常会引起分类讨论,因此,如 果图形可能处于不同位置并且影响问题的结果时,首先要有分类讨论的意 识,其次要全面考虑,分析各种可能的位置关系,然后合理分类讨论,防止漏 解. (5)图形的形状不同.当图形的形状不确定时,要对各种可能出现的形状进 行分类讨论. (6)字母系数的参与引起分类讨论.字母系数的出现,常常会使问题出现多 种不同的情况,从而影响问题结果,从而引起分类讨论. (7)条件不唯一引起分类讨论.由于条件不唯一,可能引起方程类型不确定,
4、曲线种类不确定,位置关系不确定,形状不确定等,需要对不同情况合理分 类,正确讨论. 题型分类突破题型分类突破 类型一 图形形状不同引起的分类讨论 例1(2017 安徽,14)在三角形纸片ABC中,A=90,C=30,AC=30 cm, 将该纸片沿过点B的直线折叠,使点A落在斜边BC上的一点E处,折痕记为 BD(如图1),减去CDE后得到双层BDE(如图2),再沿着过BDE某顶点 的直线将双层三角形剪开,使得展开后的平面图形中有一个是平行四边形, 则所得平行四边形的周长为_ cm. 解析 A=90,C=30,AC=30 cm,AB=10 3 cm,ABC=60, ADBEDB,ABD=EBD=1
5、 2ABC=30,BE=AB=10 3 cm, DE=10 cm,BD=20 cm, 如图 1,平行四边形的边是 DF,BF, 且 DF=BF=20 3 3 cm, 平行四边形的周长=80 3 3 cm. 如图 2,平行四边形的边是 DE,EG,且 DE=AG=10 cm,平行四边形的周长 =40 cm,综上所述,平行四边形的周长为 40 cm或80 3 3 cm. 答案 40 或80 3 3 类型二 图形不确定引起的分类讨论 例2(2018 安徽,14)矩形ABCD中,AB=6,BC=8.点P在矩形ABCD的内部,点E 在边BC上,满足PBEDBC,若APD是等腰三角形,则PE的长为 _.
6、解析 由题意知,点 P在线段 BD上, (1)如图 1所示,若 PD=PA,则点 P在 AD的垂直平分线上,则点 P为 BD中点, 故 PE=1 2DC=3; (2)如图 2所示,若 DA=DP,则 DP=8, 在 RtBCD中,BD= 2+ 2=10, BP=BD-DP=2, PBEDBC, = = 1 5,PE= 1 5CD= 6 5. 综上所述,PE的长为 3或6 5. 答案 3 或6 5 例3(2012 安徽,10)在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点,分别沿 斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形,剩下的部分是如图所示的直角 梯形,其中三边长分别为2,4,3,则原直角三角形纸片的斜
7、边长是( ) A.10 B.4 5 C.10 或 4 5 D.10 或 2 17 解析 如图 1, (2 2)2+ (4 + 4)2=4 5, 如图 2, (2 3)2+ (4 + 4)2=10. 答案 C 类型三 运算引起的分类讨论 例4(2015 安徽,14)已知实数a,b,c满足a+b=ab=c,有下列结论: 若a-b=c,则abc=0;若a,b,c中只有两个数相等,则a+b+c=8. 其中正确的是_.(把所有正确结论的序号都选上) 若 c0,则1 + 1 =1;若 a=3,则 b+c=9; 求得a=c且b=0,所以abc=0,正确;由a,b,c只有两个数相等,分三种情 况:(1)a=b
8、c,因为a+b=ab,得a=0或a=2,所以b=0或b=2,所以c=0或c=4,其 中a=0,b=0,c=0舍去,所以a+b+c=8;(2)a=cb,由a+b=c,得b=0,所以 c=ab=0,a=0,不合题意舍去;(3)b=ca,同(2)求得a=0,b=0,c=0舍去.综上所 述,若a,b,c中只有两个数相等,则a+b+c=8,正确. 答案 解析 由 c0,知 a0,且 b0,所以1 + 1 = + =1,正确;当 a=3 时,由 a+b=ab,知 b=3 2,c=3+ 3 2 = 9 2,所以 b+c=6,错误;由 a-b=c 且 a+b=c, 素养训练提高素养训练提高 1.(2020 贵
9、州毕节)已知等腰三角形两边的长分别为3和7,则此等腰三角形 的周长为( ) A.13 B.17 C.13或17 D.13或10 答案 B 2.(2020 黑龙江大庆)已知两个直角三角形的三边长分别为3,4,m和6,8,n,且 这两个直角三角形不相似,则m+n的值为( ) A.10+ 7或 5+2 7 B.15 C.10+ 7 D.15+3 7 答案 A 3.(2020 黑龙江牡丹江)如图,在菱形OABC中,点B在x轴上,点A的坐标为 (2,2 ),将菱形绕点O旋转,当点A落在x轴上时,点C的对应点的坐标为 ( ) A.(-2,-2 3)或(2 3,-2) B.(2,2 3) C.(-2,2 3
10、) D.(-2,-2 3)或(2,2 3) 3 答案 D 4.(2020 黑龙江大庆)如图,在边长为2的正方形EFGH中,M,N分别为EF与 GH的中点,ABC沿竖直方向向上平移,在运动的过程中,点A恒在直线MN 上,当点A运动到线段MN的中点时,点E,F恰与AB,AC两边的中点重合,设点 A到EF的距离为x,ABC与正方形EFGH的公共部分的面积为y,则当y= 时,x的值为( ) A.7 4或 2+ 2 2 B. 10 2 或 2- 2 2 C.2 2 2 D.7 4 或 10 2 5 2 答案 A 5.(2020 辽宁盘锦)如图,AOB三个顶点的坐标分别为A(5,0),O(0,0),B(3
11、,6), 以点O为位似中心,相似比为 ,将AOB缩小,则点B的对应点B的坐标是 _. 2 3 答案 (2,4)或(-2,-4) 6.(2020 辽宁葫芦岛)一张菱形纸片ABCD的边长为6 cm,高AE等于边长的 一半,将菱形纸片沿直线MN折叠,使点A与点B重合,直线MN交直线CD于点 F,则DF的长为_ cm. 答案(3 3+3)或(3 3-3) 7.(2020 云南)已知四边形ABCD是矩形,点E是矩形ABCD的边上的点,且 EA=EC.若AB=6,AC=2 ,则DE的长是_. 10 答案 2 34 3 或 8 3 8.(2020 辽宁沈阳)如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,对角线
12、AC,BD相交于 点O,点P为边AD上一动点,连接OP,以OP为折痕,将AOP折叠,点A的对应 点为E,线段PE与OD相交于点F.若PDF为直角三角形,则DP的长为 _. 答案 5 2或 1 9.(2020 云南昆明)如图1,在矩形ABCD中,AB=5,BC=8,点E,F分别为AB,CD 的中点. (1)求证:四边形AEFD是矩形; (2)如图2,点P是边AD上一点,BP交EF于点O,点A关于BP的对称点为点M,当 点M落在线段EF上时,则有OB=OM.请说明理由; (3)如图3,若点P是射线AD上一个动点,点A关于BP的对称点为点M,连接 AM,DM,当AMD是等腰三角形时,求AP的长. 图
13、1 图2 图3 (1)证明 四边形ABCD是矩 形,AB=CD,ABCD,A=90,AE=EB,DF=FC,AE=DF,AEDF, 四边形AEFD是平行四边形,A=90,四边形AEFD是矩形. (2)证明 如图1中,连接PM,BM. 四边形AEFD是矩形,EFAD, BE=AE,BO=OP, 点A与点M关于BP对称,PMB=A=90, OM=OB=OP. 图1 (3)解 如图 2中,当 MA=MD时,连接 BM,过点 M作 MHAD于点 H交 BC 于点 F. MA=MD,MHAD,AH=HD=4, BAH=ABF=AHF=90 ,四边形 ABFH是矩形, BF=AH=4,AB=FH=5,BF
14、M=90 ,BM=BA=5, FM= 2-2= 52-42=3,HM=HF-FM=5-3=2, ABP+APB=90 ,MAH+APB=90 ,ABP=MAH, BAP=AHM=90 ,ABPHAM, = , 2 = 5 4,AP= 5 2. 图2 如图 3中,当 AM=AD时,连接 BM,设 BP交 AM 于点 N. AD=AM=8,BA=BM=5,BNAM, AN=NM=4,BN= 2-2= 52-42=3, tanABN= = , 5 = 4 3,AP= 20 3 , 图3 如图4中,当DA=DM时,此时点P与D重合,AP=8. 如图 5 中,当 MA=MD 时,连接 BM,过点 M 作 MHAD 于点 H 交 BC 于点 F. BM=5,BF=4,FM=3,MH=3+5=8,由ABPHAM,可得 = , 8 = 5 4,AP=10,综上所述,满足条件的 PA 的值为 5 2 或 20 3 或 8 或 10. 图4 图5
