1、1 高中数学人教 A 版选择学必修第二册 第 4 章导数单元测试 (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、单项选择题(本题共 8 小题,每小题 5分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.设 f(x)是可导函数,且 - - =2,则 f(x0)=( ) A.2 B.-1 C.1 D.-2 2.(2020 湖南高二期末)一质点做直线运动,经过 t秒后的位移为 s= t 3- t 2+4t,则速度为零的时刻是 ( ) A.1 秒末 B.4秒末 C.1 秒末或 4秒末 D.0秒或 4秒末 3.曲线 f(x)=x3+x-2 在 P0处的切线平行于直线 y=4x
2、-1,则 P0点的坐标为( ) A.(1,0) B.(2,8) C.(1,0)和(-1,-4) D.(2,8)和(-1,-4) 4.函数 f(x)=3x2+ln x-2x的极值点的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.无数个 5.函数 f(x)=(x2+tx)ex(实数 t为常数,且 t1,则下列结论:f(-1)0;f(1)f(-1);2f(1)f 中,正确的个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 2 8.定义在(0,+)上的函数 f(x)满足 xf(x)=1+x,且 f(1)=2,不等式 f(x)(a+1)x+1 有解,则正实数 a的取 值范围是( ) A.(0, B.(0, )
3、C.( + D.( ) 二、多项选择题(本题共 4 小题,每小题 5分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有多项符 合题目要求.全部选对的得 5分,部分选对的得 3 分,有选错的得 0分) 9.(2019 山东高三月考)下列结论中不正确的是( ) A.若 y=cos ,则 y=- sin B.若 y=sin x 2,则 y=2xcos x2 C.若 y=cos 5x,则 y=-sin 5x D.若 y= xsin 2x,则 y=xsin 2x 10.(2020 山东高三月考)设函数 f(x)= 若函数 g(x)=f(x)-b 有三个零点,则实数 b 可取的 值可能是( ) A.0 B. C.
4、1 D.2 11.(2020 海南高三月考)已知 ln x1-x1-y1+2=0,x2+2y2-4-2ln 2=0,记 M= - - ,则下列说法 正确的是( ) A.M的最小值为 B.当 M 最小时,x2= C.M的最小值为 D.当 M最小时,x2= 12.(2020 湖南师大附中高二期末)若直线 l与曲线 C满足下列两个条件:直线 l在点 P(x0,y0)处与曲 线 C 相切;曲线 C 在点 P附近位于直线 l的两侧,则称直线 l在点 P 处“切过”曲线 C.则下列结论正 确的是( ) A.直线 l:y=0在点 P(0,0)处“切过”曲线 C:y=x3 B.直线 l:y=x-1在点 P(1
5、,0)处“切过”曲线 C:y=ln x C.直线 l:y=x 在点 P(0,0)处“切过”曲线 C:y=sin x D.直线 l:y=x在点 P(0,0)处“切过”曲线 C:y=tan x 3 三、填空题(本题共 4 小题,每小题 5分,共 20分) 13.某产品的销售收入 y1(万元)与产量 x(千台)的函数关系是 y1=17x2,生产成本 y2(万元)与产量 x(千台) 的函数关系是 y2=2x3-x2,已知 x0,为使利润最大,应生产 (千台). 14.已知函数 f(x)= x 2+2ax-ln x,若 f(x)在区间* +上是增函数,则实数 a的取值范围 是 . 15.已知函数 f(x
6、)=x3+3ax2+3x+1,当 x2,+),f(x)0恒成立,则实数 a 的取值范围 是 . 16.若函数 f(x)=aln x+bx2+3x 的极值点为 x1=1,x2=2,则 a= ,b= .(本题第一空 2分,第 二空 3 分) 四、解答题(本题共 6 小题,共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10分)(2020 陕西高二期末)求下列函数的导数. (1)y=sin x+x; (2)y= . 18.(本小题满分 12分)(2020 南昌新建一中高二期末)设函数 f(x)=aln x+ x+1,其中 aR,曲线 y=f(x)在点(1,f(1)处的切线垂
7、直于 y轴. (1)求 a的值; (2)求函数 f(x)的极值. 4 19.(本小题满分 12分)已知 k 为实常数,函数 f(x)=x3-3x2+k 在0,2上的最大值等于 1. (1)求 k的值; (2)若函数 g(x)在定义域 R 上连续且单调递增,g(0)=k,g(x)x+1,写出一个满足以上条件的函数 g(x), 并证明你的结论. 20.(本小题满分 12分)(2020 安徽高二期末)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度),设该 蓄水池的底面半径为 r 米,高为 h 米,体积为 V 立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本 为 100 元/平方米,底面的建造成本为
8、160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为 12 000元(为圆周 率). (1)将 V 表示成 r 的函数 V(r),并求该函数的定义域; (2)讨论函数 V(r)的单调性,并确定 r和 h为何值时该蓄水池的体积最大. 5 21.(本小题满分 12分)设函数 f(x)=ln x-( - ). (1)证明:当 x1时,f(x)0; (2)若关于 x的不等式 0,g(x)=6x2-2x+1中 =-200恒 成立.故 f(x)0恒成立,即 f(x)在定义域上单调递增,无极值点. 答案 A 8 5.函数 f(x)=(x2+tx)ex(实数 t为常数,且 t0,即在 x轴最左侧函数 f(x)为增函数,排
9、除 D;故选 B. 答案 B 6.若函数 f(x)=asin x+cos x在*- +为增函数,则实数 a 的取值范围是( ) A.1,+) B.(-,- C.- ,1 D.(-,- 1,+) 解析依题意,f(x)=acos x-sin x0在区间*- +上恒成立,即 acos xsin x. 当 x*- +时,cos x0, 故 a =tan x,y=tan x 在 x - 时为递增函数, 其最大值为 tan =1,故 a1.所以选 A. 答案 A 7.已知定义在 R 上的函数 f(x)的导数为 f(x),若满足 f(x)+xf(x)1,则下列结论:f(-1)0;f(1)f(-1);2f(1
10、)f 中,正确的个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 解析令 h(x)=xf(x)-x, 所以 h(x)=xf(x)+f(x)-1, 因为函数 f(x)满足 f(x)+xf(x)1, 所以 h(x)0,所以 h(x)在 R 上是增函数, 因为 h(-1)=-f(-1)+110,故正确. 因为 h(1)=f(1)-1h(0)=0, 所以 f(1)1,故错误. 因为 h(-2)=-2f(-2)+2f(-1)+1f(-1),故正确. 因为 h(1)=f(1)-1h = f - , 所以 2f(1)f +1f ,故正确.故选 B. 答案 B 9 8.定义在(0,+)上的函数 f(x)满足 xf
11、(x)=1+x,且 f(1)=2,不等式 f(x)(a+1)x+1 有解,则正实数 a的取 值范围是( ) A.(0, B.(0, ) C.( + D.( ) 解析因为 f(x)=1+ ,故 f(x)=x+ln x+C,其中 C为常数. 因 f(1)=2,所以 C=1,即 f(x)=x+ln x+1. 不等式 f(x)(a+1)x+1 有解可化为 x+ln x+1(a+1)x+1,即 a在(0,+)有解. 令 g(x)= ,则 g(x)= - , 当 x(0,e)时,g(x)0,g(x)在(0,e)上为增函数; 当 x(e,+)时,g(x)0,g(x)在(e,+)上为减函数; 故 g(x)ma
12、x=g(e)= ,所以 0a ,故选 C. 答案 C 二、多项选择题(本题共 4 小题,每小题 5分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有多项符 合题目要求.全部选对的得 5分,部分选对的得 3 分,有选错的得 0分) 9.(2019 山东高三月考)下列结论中不正确的是( ) A.若 y=cos ,则 y=- sin B.若 y=sin x 2,则 y=2xcos x2 C.若 y=cos 5x,则 y=-sin 5x D.若 y= xsin 2x,则 y=xsin 2x 解析对于 A,y=cos ,则 y=- sin ,故错误; 对于 B,y=sin x2,则 y=2xcos x2,故正确
13、; 对于 C,y=cos 5x,则 y=-5sin 5x,故错误; 对于 D,y= xsin 2x,则 y= sin 2x+xcos 2x,故错误.故选 ACD. 答案 ACD 10.(2020 山东高三月考)设函数 f(x)= 若函数 g(x)=f(x)-b 有三个零点,则实数 b 可取的 值可能是( ) A.0 B. C.1 D.2 10 解析由题意,函数 g(x)=f(x)-b 有三个零点,则 g(x)=f(x)-b=0, 即 f(x)=b 有三个根, 当 x0 时,f(x)=ex(x+1),则 f(x)=ex(x+1)+ex=ex(x+2), 由 f(x)0得 x+20,即 x0得 x
14、+20,即-2x0,此时 f(x)为增函数, 即当 x=-2 时,f(x)取得极小值 f(-2)=- ,作出 f(x)的图象如图: 要使 f(x)=b有三个根,则 0b1,则实数 b可取的值可能是 ,1. 故选 BC. 答案 BC 11.(2020 海南高三月考)已知 ln x1-x1-y1+2=0,x2+2y2-4-2ln 2=0,记 M= - - ,则下列说法 正确的是( ) A.M的最小值为 B.当 M 最小时,x2= C.M的最小值为 D.当 M最小时,x2= 解析由 ln x1-x1-y1+2=0得 y1=ln x1-x1+2, - - 的最小值可转化为函数 y=ln x-x+2图象
15、上的点到直线 x+2y-4-2ln 2=0 上的点 的距离的最小值的平方, 由 y=ln x-x+2 得 y= -1, 与直线 x+2y-4-2ln 2=0平行且与曲线 y=ln x-x+2 相切的直线的斜率为- , 则令 -1=- ,解得 x=2. 切点坐标为(2,ln 2). (2,ln 2)到直线 x+2y-4-2ln 2=0的距离 d= - - , 即函数 y=ln x-x+2 上的点到直线 x+2y-4-2ln 2=0上的点的距离的最小值为 , - - 的最小值为 d2= . 过(2,ln 2)与 x+2y-4-2ln 2=0 垂直的直线为 y-ln 2=2(x-2), 即 2x-y
16、-4+ln 2=0, 由 - - - - 解得 x= ,即当 M最小时,x2= ,故选 BC. 答案 BC 11 12.(2020 湖南师大附中高二期末)若直线 l与曲线 C满足下列两个条件:直线 l在点 P(x0,y0)处与曲 线 C 相切;曲线 C 在点 P附近位于直线 l的两侧,则称直线 l在点 P 处“切过”曲线 C.则下列结论正 确的是( ) A.直线 l:y=0在点 P(0,0)处“切过”曲线 C:y=x3 B.直线 l:y=x-1在点 P(1,0)处“切过”曲线 C:y=ln x C.直线 l:y=x 在点 P(0,0)处“切过”曲线 C:y=sin x D.直线 l:y=x在点
17、 P(0,0)处“切过”曲线 C:y=tan x 解析 A项,因为 y=3x2,当 x=0 时,y=0, 所以 l:y=0是曲线 C:y=x3在点 P(0,0)处的切线. 当 x0时,y0 时,y0, 所以曲线 C在点 P附近位于直线 l的两侧,结论正确; B项,y= ,当 x=1 时,y=1,在 P(1,0)处的切线为 l:y=x-1. 令 h(x)=x-1-ln x, 则 h(x)=1- - (x0), 当 x1时,h(x)0;当 0x1 时,h(x)0 时,曲线 C 全部位于直线 l的下侧(除切点外),结论错误; C项,y=cos x,当 x=0时,y=1,在 P(0,0)处的切线为 l
18、:y=x, 由正弦函数图象可知,曲线 C在点 P附近位于直线 l的两侧,结论正确; D项,y= ,当 x=0 时,y=1,在 P(0,0)处的切线为 l:y=x, 由正切函数图象可知,曲线 C在点 P附近位于直线 l的两侧,结论正确. 故选 ACD. 答案 ACD 三、填空题(本题共 4 小题,每小题 5分,共 20分) 13.某产品的销售收入 y1(万元)与产量 x(千台)的函数关系是 y1=17x2,生产成本 y2(万元)与产量 x(千台) 的函数关系是 y2=2x3-x2,已知 x0,为使利润最大,应生产 (千台). 解析由题意,利润 y=y1-y2=17x2-(2x3-x2)=18x2
19、-2x3(x0). y=36x-6x2, 由 y=36x-6x2=6x(6-x)=0,得 x=6(x0), 当 x(0,6)时,y0,当 x(6,+)时,y0),f(x)=- - - - ,令 f(x)=0,解得 x1=1,x2=- (因 x2=- 不在定义域内,舍去),当 x(0,1)时,f(x)0,故 f(x)在(1,+)上为增函数,故 f(x)在 x=1处取得极小值 f(1)=3. 14 19.(本小题满分 12分)已知 k 为实常数,函数 f(x)=x3-3x2+k 在0,2上的最大值等于 1. (1)求 k的值; (2)若函数 g(x)在定义域 R 上连续且单调递增,g(0)=k,g
20、(x)x+1,写出一个满足以上条件的函数 g(x), 并证明你的结论. 解(1)f(x)=3x2-6x=3x(x-2), 因为 0 x2,f(x)0,所以 f(x)在0,2上单调递减; 所以当 x0,2时,f(x)max=f(0)=k=1, 所以 k=1. (2)函数 g(x)=ex满足条件,证明如下: 首先函数 g(x)=ex满足在定义域 R 上连续且单调递增,且 g(0)=1=k. 下面证明:g(x)x+1,令 h(x)=g(x)-(x+1)=ex-x-1,则 h(x)=ex-1, 由 h(x)=0,得 x=0, 当 x(-,0)时,h(x)0,h(x)在(0,+)上单调递增; 所以 h(
21、x)h(0)=0,即 g(x)-(x+1)0,所以 g(x)x+1. 20.(本小题满分 12分)(2020 安徽高二期末)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度),设该 蓄水池的底面半径为 r 米,高为 h 米,体积为 V 立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本 为 100 元/平方米,底面的建造成本为 160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为 12 000元(为圆周 率). (1)将 V 表示成 r 的函数 V(r),并求该函数的定义域; (2)讨论函数 V(r)的单调性,并确定 r和 h为何值时该蓄水池的体积最大. 解(1)蓄水池的侧面的建造成本为 200 rh元,底面
22、的建造成本为 160r2元, 蓄水池的总建造成本为 200 rh+160r2元, 即 200 rh+160r2=12 000, h= (300-4r 2), V(r)=r2h=r2 (300-4r 2)= (300r-4r 3), 又由 r0,h0可得 0r5 , 故函数 V(r)的定义域为 0,5 . (2)由(1)中 V(r)= (300r-4r 3),0r5 , 可得 V(r)= (300-12r 2)(0r0,函数 V(r)为增函数, 当 r(5,5 )时,V(r)1时,f(x)0; (2)若关于 x的不等式 1时,f(x)0. f(x)在(1,+)内为增函数, f(x)f(1)=0,
23、得证. (2)解设 h(x)= -a(x-1),x(1,+), 则 h(x)= - -a= - - , 当 a1时,1-ax20, h(x)0, h(x)在 x(1,+)为减函数, h(x)h(1)=0恒成立,即不等式 0,故不合题意; 当 0a1- 对任意 x(1,+)恒成立; h(x)= -a(x-1) - -a(x-1)= - -a(x-1)= - (1-ax2), 当 x( )时,h(x)0,故不合题意. 综上,a1. 16 22.(本小题满分 12分)已知函数 f(x)=ex- x 2-kx-1,kR. (1)若 f(x)在 R 上是增函数,求实数 k的取值范围; (2)讨论函数 f
24、(x)的极值,并说明理由; (3)若 f(x)有两个极值点 x1,x2,求证:函数 f(x)有三个零点. 解(1)由 f(x)=ex- x 2-kx-1,得 f(x)=ex-x-k, f(x)在 R 上是增函数, f(x)0 在 R 上恒成立, 即 kex-x在 R 上恒成立, 设 g(x)=ex-x,则 g(x)=ex-1, 当 x(-,0)时,g(x)0, 即 g(x)在(-,0)上单调递减,在(0,+)上单调递增, g(x)min=g(0)=1,k1, 即 k的取值范围为(-,1. (2)由(1)知当 k(-,1时,f(x)在 R 上是增函数,此时 f(x)无极值; 当 k(1,+)时,
25、令 f(x)=0,即 g(x)=k, x -时,g(x) +;g(0)=1;x +时,g(x) +, g(x)=k有两个根,设两根为 x1,x2且 x100;x(x1,x2)时,f(x)0, 即 f(x)在(-,x1),(x2,+)上单调递增;在(x1,x2)上单调递减, f(x)在 x=x1处取得极大值 f(x1);在 x=x2处取得极小值 f(x2). 综上所述:当 k(-,1时,f(x)无极值;当 k(1,+)时,f(x)存在一个极大值和一个极小值. (3)由(2)知,f(x)有两个极值点 x1,x2,则 k(1,+),且 x100;x(0,+)时,h(x)0, x100,f(x2)=h(x2)0, 当 x -时,f(x) -;当 x +时,f(x) +, 可得 f(x)大致图象如下: f(x)有三个零点.
