1、 单调与不单调问题 类型一：函数( )f x在某区间上单调 解题策略一：( )f x的导函数( )0fx （或( )0fx ）在给定区间上恒成立（不是充要条 件） ，将问题转化为恒成立问题解决 例 1 已知二次函数)(xf的二次项系数为a，且不等式( )2f xx的解集为( 1,3). 若函数 g xx)(xf在区间, 3 a 内单调递减，求a的取值范围. 分析：根据条件设函数( )2(1)(3)f xxa xx，并由( )2f xx的解集为( 1,3)可判 断出0a，得出函数)(xf的解析式，则( )0g x 在, 3 a x 上恒成立 解：( )20f xx的解集为( 1,3)， 可设(
2、)2(1)(3)f xxa xx，且0a， 因而 2 ( )(1)(3)22(1)3f xa xxxaxa xa, g xx)(xf= 32 2(1)3axa xax， g x在区间, 3 a 内单调递减， 2 34 13gxaxa xa在, 3 a 上的函数值非正， 由于0a，对称轴 21 0 3 a x a ，故只需 3 4 130 333 aa gaaa ，注意到 0a， 2 4 190aa ，得1a或5a（舍去）. 故所求a的取值范围是, 1 . 点评：将条件等价转化为( )0g x 在, 3 a x 上恒成立时，要能准确利用二次函数的 性质，结合图形将问题归结为只需 3 4 130
3、333 aa gaaa ，这是等价转化作用 的重要体现因此，我们在解题时，要能将复杂问题转化为简单问题、陌生问题转化为熟悉 问题、未知问题转化为已知问题，这是解题的一项重要措施 解题策略二： 给定的区间是原函数单调递增区间或递减区间的子区间， 利用集合间关系求解 例 2. 已知函数 bx ax xf 2 )(，在1x处取得极值为 2 （）求函数)(xf的解析式； （）若函数)(xf在区间( ,21)mm上为增函数，求实数m的取值范围 分析： （）结合第（）问的结论，求出函数)(xf的单调递增区间，使得区间( ,21)mm 为所求递增区间的子区间 解： （）已知函数 bx ax xf 2 )(，
4、 2 22 ()(2 ) ( ) () a xbaxx fx xb 又函数)(xf在1x处取得极值 2， (1)0 (1)2 f f 即 1 4 2 1 02)1 ( b a b a aba 2 4 ( ) 1 x f x x （） 22 2 22 2 ) 1( 44 ) 1( )2(4) 1(4 )( x x x xxx xf， 由0)( xf，得044 2 x，即11x， 1 4 )( 2 x x xf的单调增区间为( 1,1) 因函数)(xf在( ,21)mm上单调递增， 则有 1 211 21 m m mm ， 解得10m 即01(，m时，函数)(xf在( ,21)mm上为增函数 点评
5、： 在利用区间( ,21)mm为区间( 1,1)的子区间时除了1m且211m 两个条件 限制之外，不可忽视条件21mm ，即必须确保给定区间为非空集合，这一点在解题时 极易忽略，造成解题错误 类型二：函数( )f x在某区间上不单调 解题策略: 函数( )f x在某区间上不单调，可以转化为( )0fx 在给定区间上有不等的实 根，可以通过求函数值域的方法解决，也可以利用根的分布方法解决 例 3 已知函数.ln 1 )(x ax x xf （I）当1a 时，求( )f x在 1 ,2 2 上最大值及最小值； （II）当12,(1)ln2(1)xxxx时 求证； （III）若函数 a x xfxg
6、)()(在区间(1,2)上不单调 ，求a的取值范围 分析： （III）中函数在区间上不单调，可以求其导函数，并使导函数值在(1,2)上有正，有负 即可 解： （I）当1a 时，)2 , 2 1 ( 111 )( , 1ln 1 )( 22 x x x xx xfx x xf， 令. 10)( xxf得 ( )0fx 得 1 1, 2 x ( )0,12,fxx得 1 ( ) ,1 2 f x 在上单调递减，在1,2上单调递增 故0) 1 ()( min fxf，最大值为)2() 2 1 (ff与中的较大者 11 ( )1 ln2,(2)ln2. 22 ff 3 134ln23ln16ln (2
7、)( )2ln2 2242 e ff 易知 3 16e ， 1 (2)( ) 2 ff 故2ln1)( max xf （II）令) 1(2ln) 1()(xxxxF， 1 ( )ln1.fxx x 由（I）知)( xF在(1,2)上单调递增( )(1)0F xF 故( )F x在(1,2)上单调递增， ( )(1)0.F xF即) 1(2ln) 1(xxx （III） a x x ax x a x xfxg ln 1 )()(， 2 2 2 1111 )( ax axx axax xg )(xg在(1,2)上不单调， 2 10 xax 在(1,2)上有根且无重根 即方程 x xa 1 ，在(1,2)上有根，且无重根 5 2 2 a 点评：由以上题型可知，如果函数在某区间上单调，则该函数的导函数值在给定区间上恒非 负或非正因此，如果函数在某区间上不单调，则此函数的导函数值在给定区间上一定有正 且有负，从图像上看，在此区间上其函数图像一定穿过x轴所以遇此类问题，要能够准确 应用转化思想将问题转化为根的分布或函数的值域问题来处理
