1、 /21 1 知识点串讲知识点串讲 必修必修五五 /21 2 第一章：解三角形第一章：解三角形 1 11 11 1 正弦定理正弦定理 1 1、正弦定理：正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 sinsin ab AB sin c C 一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形解三角形。 2 2、已知已知ABCABC 中，中，A A 0 60，3a, ,求求 sinsinsin abc ABC 证明出证明出 sinsin ab AB sin c C s
2、insinsin abc ABC 解：设解：设 sinsin ab AB ( o) sin c k k C 则有则有sinakA，sinbkB，sinckC 从而从而 sinsinsin abc ABC = = sinsinsin sinsinsin kAkBkC ABC = =k 又又 sin a A 0 3 2 sin60 k，所以，所以 sinsinsin abc ABC =2=2 评述：在评述：在ABCABC 中，等式中，等式 sinsin ab AB sin c C 0 sinsinsin abc k k ABC 恒成立。恒成立。 3 3、已知已知ABCABC 中，中，sin :si
3、n :sin1:2:3ABC，求，求: :a b c （答案：（答案：1 1：2 2：3 3） 1.1.21.1.2 余弦定理余弦定理 1 1、余弦定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的 积的两倍。即积的两倍。即 222 2cosabcbcA 222 2cosbacacB 222 2coscababC 从余弦定理，又可得到以下推论：从余弦定理，又可得到以下推论： 222 cos 2 b ca A bc 222 cos 2 acb B ac 222 cos 2 b ac
4、C ba /21 3 2 2、在、在ABCABC 中，已知中，已知2 3a，62c， 0 60B，求，求 b b 及及 A A 解：解： 222 2cosbacacB = = 22 (2 3)( 62)2 2 3 ( 62) coscos 0 45 = = 2 12 ( 62)4 3( 3 1) = =8 2 2.b 求求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理： 解法一：解法一：coscos 222222 (2 2)( 62 )(2 3)1, 22 2 2 2 ( 62) bca A bc 0 60 .A 解法二：解法二：sinsin 0 2 3 sins
5、in45 , 2 2 a AB b 又又622.4 1.4 3.8, 2 32 1.8 3.6, ac，即，即 0 0A 0 90 , 0 60 .A 评述：解法二应注意确定评述：解法二应注意确定 A A 的取值范围。的取值范围。 3 3、在在ABCABC 中，若中，若 222 abcbc，求角，求角 A A（答案：（答案：A=12A=120 0 0 ） 1 11 13 3 解三角形的进一步讨论解三角形的进一步讨论 1 1、在在ABCABC 中，已知中，已知, ,a b A，讨论三角形解的情况讨论三角形解的情况 分析：先由分析：先由 sin sin bA B a 可进一步求出可进一步求出 B
6、B； 则则 0 180()CAB 从而从而 sinaC c A 1 1当当 A A 为钝角或直角时，必须为钝角或直角时，必须ab才能有且只有一解；否则无解。才能有且只有一解；否则无解。 2 2当当 A A 为锐角时，为锐角时， 如果如果ab，那么只有一解；，那么只有一解； 如果如果ab，那么可以分下面三种情况来讨论：，那么可以分下面三种情况来讨论： /21 4 （1 1）若）若sinabA，则有两解；，则有两解； （2 2）若）若sinabA，则只有一解；，则只有一解； （3 3）若若sinabA，则无解。，则无解。 （以上解答过程详见（以上解答过程详见课本第课本第 9 91010 页）页）
7、评述：注意评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当 A A 为锐角且为锐角且 sinbAab时，有两解；其它情况时则只有一解时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。或无解。 2 2、 （、 （1 1）在在ABCABC 中，已知中，已知80a，100b， 0 45A ，试判断此，试判断此三角形的解的情况。三角形的解的情况。 （2 2）在）在ABCABC 中，若中，若1a， 1 2 c， 0 40C，则符合题意的，则符合题意的 b b 的值有的值有_个。个。 （3 3）在）在ABCABC 中，中，axcm，2bcm， 0 4
8、5B，如果利用正弦定理解三角形有两解，求，如果利用正弦定理解三角形有两解，求 x x 的取值的取值 范围。范围。 （答案： （答案： （1 1）有两解； （）有两解； （2 2）0 0； （； （3 3）22 2x） 3 3、在在ABCABC 中，已知中，已知7a，5b，3c，判断，判断ABCABC 的类型。的类型。 解：解： 222 753，即，即 222 abc， ABC是钝角三角形。 4 4、 （、 （1 1）在）在ABCABC 中，已知中，已知sin :sin :sin1:2:3ABC，判断，判断ABCABC 的类型。的类型。 （2 2）已知）已知ABCABC 满足条件满足条件cosc
9、osaAbB，判断，判断ABCABC 的类型。的类型。 （答案： （答案： （1 1）ABC是钝角三角形； （； （2 2）ABCABC 是等腰或直角三角是等腰或直角三角形）形） 5 5、在在ABCABC 中，中， 0 60A，1b，面积为，面积为 3 2 ，求，求 sinsinsin abc ABC 的值的值 sinsin ab AB sin c C sinsinsin abc ABC 解：由解：由 13 sin 22 SbcA得得2c， 则则 222 2cosabcbcA= =3 3，即，即3a， 从而从而 sinsinsin abc ABC 2 sin a A /21 5 1.21.2
10、解三角形解三角形应用举例应用举例 1 1、两灯塔两灯塔 A A、B B 与海洋观察站与海洋观察站 C C 的距离都等于的距离都等于 a km,a km,灯塔灯塔 A A 在观察站在观察站 C C 的北偏东的北偏东 3030 ，灯塔，灯塔 B B 在观察在观察 站站 C C 南偏东南偏东 6060 ，则，则 A A、B B 之间的距离为多少？之间的距离为多少？ 解略：解略：2a kma km 2 2、 某人在某人在 M M 汽车站的北偏西汽车站的北偏西 2020 的方向上的的方向上的 A A 处，观察到点处，观察到点 C C 处有一辆汽车沿公路向处有一辆汽车沿公路向 M M 站行驶。公站行驶。公
11、 路的走向是路的走向是 M M 站的北偏东站的北偏东 4040 。开始时，汽车到。开始时，汽车到 A A 的的距离为距离为 3131 千米，汽车前进千米，汽车前进 2020 千米后，到千米后，到 A A 的距离缩短了的距离缩短了 1010 千米。问汽车还需行驶多远，才能到达千米。问汽车还需行驶多远，才能到达 M M 汽车站？汽车站？ 解：由题设，画出示意图，设汽车前进解：由题设，画出示意图，设汽车前进 2020 千米后到达千米后到达 B B 处。在处。在ABCABC 中，中，AC=31AC=31，BC=20BC=20，AB=21AB=21，由，由 余弦定理得余弦定理得 cosC=cosC= B
12、CAC ABBCAC 2 222 = = 31 23 , , 则则 sinsin 2 C =1C =1- - coscos 2 C =C = 2 31 432 , , sinC =sinC = 31 312 , , 所以所以 sinsinMAC = sinMAC = sin（120120 - -C C）= sin120= sin120 cosC cosC - - cos120cos120 sinC =sinC = 62 335 在在MACMAC 中，由正弦定理得中，由正弦定理得 MC =MC = AMC MACAC sin sin = = 2 3 31 62 335 =35=35 从而有从而有
13、 MB= MCMB= MC- -BC=15BC=15 答：汽答：汽车还需要行驶车还需要行驶 1515 千米才能到达千米才能到达 M M 汽车站。汽车站。 /21 6 3 3、S=S= 2 1 absinabsinC C，S=S= 2 1 bcsinbcsinA,A, S=S= 2 1 acsinBacsinB 4 4、在在ABCABC 中，求证：中，求证： （1 1）; sin sinsin 2 22 2 22 C BA c ba （2 2） 2 a+ + 2 b+ + 2 c=2=2（bccosA+cacosB+abcosCbccosA+cacosB+abcosC） 证明： （证明： （1
14、1）根据正弦定理，可设）根据正弦定理，可设 A a sin = = B b sin = = C c sin = k= k 显然显然 k k0 0，所以，所以 左边左边= = Ck BkAk c ba 22 2222 2 22 sin sinsin = = C BA 2 22 sin sinsin = =右边右边 （2 2）根据余弦定理的推论，）根据余弦定理的推论， 右边右边=2(bc=2(bc bc acb 2 222 +ca ca bac 2 222 +ab ab cba 2 222 ) =(b=(b 2 +c+c 2 - - a a 2 )+(c)+(c 2 +a+a 2 - -b b 2
15、 )+(a)+(a 2 +b+b 2 - -c c 2 ) ) =a=a 2 +b 2 +c 2 =左边左边 变式练习变式练习 1：已知：已知在在ABCABC 中，中，B=30B=30 ,b=6,c=6,b=6,c=63, ,求求 a a 及及ABCABC 的面积的面积 S S 提示：解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数。提示：解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数。 答案：答案：a=6,S=9a=6,S=93;a=12,S=18;a=12,S=183 5 5、如图，在四边形如图，在四边形 ABCDABCD 中，中，ADB=ADB=BCD=75BCD=
16、75 ，ACB=ACB=BDC=45BDC=45 ，DC=DC=3，求：，求： （1 1） ABAB 的长的长 （2 2） 四边形四边形 ABCDABCD 的面积的面积 /21 7 略解（略解（1 1）因为）因为BCD=75BCD=75 ，ACB=45ACB=45 ，所以，所以 ACD=30ACD=30 ，又因为，又因为BDC=45BDC=45 ，所以，所以 DAC=180DAC=180 - -（7575 + 45+ 45 + 30+ 30 ）=30=30 ， 所以所以 AD=DC=AD=DC=3 在在BCDBCD 中，中，CBD=180CBD=180 - -（7575 + 45+ 45 ）=
17、60=60 ，所以，所以 75sin BD = = 60sin DC ，BD = BD = 60sin 75sin3 = = 2 26 在在ABDABD 中，中，ABAB 2 =AD=AD 2 + BD+ BD 2 - -2 2ADADBDBDcos75cos75 = 5,= 5, 所以得所以得 AB=AB=5 （3 3） S S ABD = = 2 1 ADADBDBDsin75sin75 = = 4 323 同理，同理， S S BCD = = 4 33 所以四边形所以四边形 ABCD 的面积的面积 S= 4 336 第二章：数列第二章：数列 2 21 1 数列的概念与简单表示法数列的概念
18、与简单表示法 1、概括数列的概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。、概括数列的概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。 辩析数列的概念： “辩析数列的概念： “1，2，3，4，5”与“”与“5，4，3，2，1”是同一个数列吗？与“”是同一个数列吗？与“1，3，2，4，5” 呢？给出首项与第呢？给出首项与第 n 项的定义及数列的记法：项的定义及数列的记法：an 2、数列的分类、数列的分类: 有穷数列与无穷数列；递增数列与递减数列，常数列。有穷数列与无穷数列；递增数列与递减数列，常数列。 3、数列的表示方法、数列的表示方法：
19、项公式列表和图象等方法表示数列项公式列表和图象等方法表示数列 4、 = 2 an-1 + 1（nN，n1） ， （） ， （） 式称为式称为递推公式。递推公式也是数列的一种表示方法。递推公式。递推公式也是数列的一种表示方法。 /21 8 2 22 2 等差数列等差数列 1 1、数列：、数列：一般地，如果一个数列从第一般地，如果一个数列从第 2 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个 数列就叫做等差数列。数列就叫做等差数列。 这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d d 表示。表
20、示。 2 2、个数、个数 a a，A A，b b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A A 叫做叫做 a a 与与 b b 的等差中项。的等差中项。 3、等差数列中，若、等差数列中，若 m+n=p+q 则则 qpnm aaaa 4 4、通项公式：以通项公式：以 1 a为首项，为首项，d d 为公差的等差数列为公差的等差数列 n a的通项公式为：的通项公式为：dnaan) 1( 1 5 5、迭加法和迭代法推导等差数列的通项公式：迭加法和迭代法推导等差数列的通项公式： （迭加法） ：（迭加法） ： n a是等差数列，所以是等差数列，所以 ,
21、 1 daa nn , 21 daa nn , 32 daa nn , 12 daa 两边分别相加得两边分别相加得 ,) 1( 1 dnaan 所以所以 dnaan) 1( 1 （迭代法） ：（迭代法） ： n a是等差数列，则有是等差数列，则有 daa nn 1 ddan 2 dan2 2 ddan2 3 dan3 3 dna) 1( 1 所以所以 dnaan) 1( 1 /21 9 6 6、 求等差数列求等差数列 8 8，5 5，2 2，的第，的第 2020 项项. . - -401401 是不是等差数列是不是等差数列- -5 5，- -9 9，- -1313，的项？如果是，是第几项？，的
22、项？如果是，是第几项？ 解：由解：由 1 a=8=8，d=5d=5- -8=8=- -3 3，n=20n=20，得，得49) 3() 121(8 20 a 由由 1 a= =- -5 5，d=d=- -9 9- -（- -5 5）= =- -4 4，得这个数列的通项公式为，得这个数列的通项公式为, 14) 1(45nnan由题由题 意知，本题是要回答是否存在正整数意知，本题是要回答是否存在正整数 n,n,使得使得- -401=401=- -4n4n- -1 1 成立。成立。 解这个关于解这个关于 n n 的方程，得的方程，得 n=100n=100，即，即- -401401 是这个数列的第是这个
23、数列的第 100100 项。项。 7、某市出租车的计价标准为某市出租车的计价标准为 1.21.2 元元/km/km，起步价为，起步价为 1010 元，即最初的元，即最初的 4km4km（不含（不含 4 4 千米）计费千米）计费 1010 元。元。 如果某如果某人乘坐该市的出租车去往人乘坐该市的出租车去往 14km14km 处的目的地， 且一路畅通， 等候时间为处的目的地， 且一路畅通， 等候时间为 0 0， 需要支付多少车费？， 需要支付多少车费？ 解：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于解：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于 4km4km 时，每增加时，每增加 1km1km，乘客需要支
24、付，乘客需要支付 1.21.2 元元. .所所 以，我们可以建立一个等差数列以，我们可以建立一个等差数列 n a来计算车费来计算车费. . 令令 1 a=11.2=11.2，表示，表示 4km4km 处的车费，公差处的车费，公差 d=1.2d=1.2。那么当出租车行至。那么当出租车行至 14km14km 处时，处时，n=11n=11，此时需，此时需 要支付车费要支付车费)(2 .232 . 1) 111(2 .11 11 元a 答：需要支付车费答：需要支付车费 23.223.2 元。元。 2 22 2 等差数列的前等差数列的前 n n 项和项和 1 1、倒序相加法求和倒序相加法求和 我们用两种
25、方法表示我们用两种方法表示 n S： （1 1） ,) 1(.)2()( 1111 dnadadaaSn ,) 1(.)2()(dnadadaaS nnnnn 由由+ +，得，得 2 n S 1111nnnn aaaaaaaa n个 （）+（）+（）+.+（） )( 1n aan 由此得到等差数列由此得到等差数列 n a的前的前 n n 项和的公式项和的公式 2 )( 1n n aan S /21 10 （2 2） 123.nn Saaaa = = 1111 ()(2 ). (1) aadadand = = 1 2.(1) naddnd = = 1 1 2 .(1)nand = = 1 (1)
26、 2 n n nad 2 2、已知一个等差数列已知一个等差数列 n a前前 1010 项的和是项的和是 310310，前，前 2020 项的和是项的和是 1220.1220.由这些条件能确定这个等差数由这些条件能确定这个等差数 列的前列的前 n n 项和的公式吗？项和的公式吗？ 解：由题意知解：由题意知 10 310S， 20 1220S， 将它们代入公式将它们代入公式 1 1 2 n n n Snad （） ， 得到得到 1 1 1045310 201901220 ad ad ， 解这个关于解这个关于 1 a与与 d d 的方程组，得到的方程组，得到 1 a=4=4，d=6d=6， 所以所以
27、 2 1 463 2 n n n Snnn （） 另解：另解： 1 10 10310 2 n aa S 得得 110 62aa； 120 20 201220 2 aa S 所以所以 120 122aa； - -，得，得1060d ， 所以所以 6d 代入得：代入得： 1 4a 所以有所以有 2 1 1 3 2 n n n Sa ndnn （） 3 3、已知数列已知数列 n a的前的前 n n 项为项为 2 1 2 n Snn，求这个数列的通项公式，求这个数列的通项公式. .这个数列是等差数列吗？如果这个数列是等差数列吗？如果 是，它的首项与公差分别是什么？是，它的首项与公差分别是什么？ /21
28、 11 解：根据解：根据 121 . nnn Saaaa 与与 1121 . nn Saaa （n 1） 可知，当可知，当 n n1 1 时，时， 22 1 111 11 2 222 nnn aSSnnnnn （）（） 当当 n=1n=1 时，时， 2 11 13 11 22 aS 也满足式也满足式. . 所以数列所以数列 n a的通项公式为的通项公式为 1 2 2 n an. . 由此可知，数列由此可知，数列 n a是一个首项为是一个首项为 3 2 ，公差为，公差为 2 2 的等差数列。的等差数列。 这个例题还给出了等差数列通项公式的一个求法这个例题还给出了等差数列通项公式的一个求法. .已
29、知前已知前 n n 项和项和 n S，可求出通项，可求出通项 1 1 1 n an S n （） S 4 4、如果一个数列前如果一个数列前 n n 项和公式是常数项为项和公式是常数项为 0 0，且关于，且关于 n n 的二次型函数，则这个数列一定是等差数列的二次型函数，则这个数列一定是等差数列. . 5 5、 已知等差数列已知等差数列 24 5 43 77 ， ， ，.的前的前 n n 项和为项和为 n S，求使得，求使得 n S最大的序号最大的序号 n n 的值的值. . 解：由题意知，等差数列解：由题意知，等差数列 24 5 43 77 ， ， ，.的公差为的公差为 5 7 ，所以，所以
30、5 2 51 27 n n Sn （）（） = = 2 2 7555151125 1414256 nn n （） 于是，当于是，当 n n 取与取与15 2 最接近的整数即最接近的整数即 7 7 或或 8 8 时，时， n S取最大值取最大值. . 6、已知数列已知数列 , n a是等差数列，是等差数列，Sn是其前是其前 n 项和，且项和，且 S6，S12-S6，S18-S12成等差数列，设成等差数列，设 kkkkk SSSSSNk 232 , 成等差数列吗？成等差数列吗？ 生：分析题意，解决问题生：分析题意，解决问题. 解：设解：设 , n a首项是首项是 1 a，公差为，公差为 d d 则
31、：则： 6543216 aaaaaaS n a （n1） /21 12 为等差数列 12186126 612 121110987 121110987 1817161514131218 6654321 654321 121110987612 , 36 36)( )6()6()6()6()6()6( 3636)( )6()6()6()6()6()6( SSSSS dSS daaaaaa dadadadadada aaaaaaSS dSdaaaaaa dadadadadada aaaaaaSS 同理可得同理可得 kkkkk SSSSS 232 ,成等差数列成等差数列. 7、求集合求集合100,7 *
32、 mNnnmm且的元素个数，并求这些元素的和。的元素个数，并求这些元素的和。 解由解由 m=100m=100，得，得 7 2 14 7 100 n 满足此不等式的正整数满足此不等式的正整数 n n 共有共有 1414 个，所以集合个，所以集合 m m 中的元素共有中的元素共有 1414 个，从小到大可列为：个，从小到大可列为： 7 7，7 72 2，7 73 3，7 74 4，7 71414 即：即：7 7，1414，2121，2828，9898 这个数列是等差数列，记为这个数列是等差数列，记为 , n a其中其中735 2 )987(14 98, 7 14141 Saa 解由解由 m=100
33、m=100，得，得 7 2 14 7 100 n 满足此不等式的正整数满足此不等式的正整数 n n 共有共有 1414 个，所以集合个，所以集合 m m 中的元素共有中的元素共有 1414 个，从小到大可列为：个，从小到大可列为： 7 7，7 72 2，7 73 3，7 74 4，7 714 14 即：即：7 7，1414，2121，2828，9898 这个数列是等差数列，记为这个数列是等差数列，记为 , n a 其中其中735 2 )987(14 98, 7 14141 Saa 答：集合答：集合 m m 中共有中共有 1414 个元素，它们和等于个元素，它们和等于 735735 /21 13
34、 2. 2. 3 3 等比数列等比数列 1、等比数列的定义：一般地，若一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同、等比数列的定义：一般地，若一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同 一个常数一个常数,这个数列就叫做等比数列这个数列就叫做等比数列.这这个常数叫等比数列的公比， 用字母个常数叫等比数列的公比， 用字母 q 表示 （表示 （q0） ，） ， 即：即： 1n n a a =q（q0） 2、既是等差又是等比数列的数列：非零常数列、既是等差又是等比数列的数列：非零常数列 3、等比数列的通项公式、等比数列的通项公式 1: )0,( 1 1 1 均不为qaqaa n n 等比数列
35、的通项公式等比数列的通项公式 2: )0( qaqaa m mn mn ， 4、若、若 n a为等比数列，为等比数列，m npq( , , ,)m n q pN，则，则 qpnm aaaa 由等比数列通项公式得：由等比数列通项公式得： 11 1n1 , mn m aa qaa q ， 11 1q1 , pq p aaqaa q ， 故故 2 2 1 m n mn aaa q 且且 2 2 1 p q pq aaa q ， m npq， qpnm aaaa 5、已知三个数成等比数列，它们的积为、已知三个数成等比数列，它们的积为 27，它们的平方和为，它们的平方和为 91，求这三个数。，求这三个数
36、。 解：由题意可以设这三个数分别为解：由题意可以设这三个数分别为, , a a aq q ，得：，得： 2 222 2 27 91 a a aq q a aa q q 22 2 3 1 (1)91 a aq q 42 98290qq，即得，即得 2 9q 或或 2 1 9 q ， 3q 或或 1 3 q ， 故该三数为：故该三数为：1，3，9 或或1，3，9或或 9，3，1 或或9，3，1 说明说明：已知三数成等比数列，一般情况下设该三数为：已知三数成等比数列，一般情况下设该三数为, , a a aq q 6、数列、数列 n a为各项均为正数的等比数列，它的前为各项均为正数的等比数列，它的前n
37、项和为项和为 80，且前，且前n项中数值最大的项为项中数值最大的项为 54，它，它 的前的前2n项和为项和为 6560，求首项，求首项 1 a和公比和公比q。 解：若解：若1q ，则应有，则应有 2 2 nn SS，与题意不符合，故，与题意不符合，故1q 。依题意有：。依题意有： /21 14 1 2 1 1 80(1) 1 1 6560(2) 1 n n aq q aq q (2) (1) 得得 2 1 82 1 n n q q 即即 2 82810 nn qq 得得81 n q 或或1 n q （舍去） ，（舍去） ，81 n q。 由由81 n q 知知1q ，数列数列 n a的前的前n
38、项中项中 n a最大，得最大，得54 n a 。 将将81 n q 代入（代入（1 1）得）得 1 1aq （3 3） ，） ， 由由 1 1 54 n n aa q 得得 1 54 n a qq，即，即 1 8154aq （4 4） ，） ， 联立（联立（3 3） （） （4 4）解方程组得）解方程组得 1 2 3 a q 。 2. 2.4 4 等比数列的前等比数列的前 n n 项和项和 1、等比数列的前、等比数列的前 n 项和公式：项和公式： 一般地，设等比数列一般地，设等比数列 n aaaa, 321 它的前它的前 n 项和是项和是 n S n aaaa 321 由由 1 1 321 n
39、 n nn qaa aaaaS 得得 nn n nn n qaqaqaqaqaqS qaqaqaqaaS 1 1 1 3 1 2 11 1 1 2 1 2 111 /21 15 n n qaaSq 11 )1 ( 论同上）当论同上）当 1q 时，时， q qa S n n 1 )1 ( 1 或或 q qaa S n n 1 1 当当 q=1 时，时， 1 naSn 2、已知等比数列、已知等比数列 1 1 ,1, 9 3 ，求使得，求使得 n S 大于大于 100 的最小的的最小的 n 的值的值. 答案：使得答案：使得 n S 大于大于 100 的最小的的最小的 n 的值为的值为 7. 3、设数
40、列、设数列 n a 的前的前 n 项和为项和为 3n n Sa 当常数当常数a满足什么条件时，满足什么条件时， n a 才是等比数列？才是等比数列？ 答案：答案： 1a 4、已知等比数列、已知等比数列 n a 中中, 48 20,1640SS ,求求 12 S . 5、 某商店采用分期付款元的方式促销一款价格每台为、 某商店采用分期付款元的方式促销一款价格每台为6000电的脑电的脑.商规店定， 购买时先支付货款的商规店定， 购买时先支付货款的3 1 ， 剩余部分在三年内按每月底等额还款的方式支付欠款，且结算欠款的利息剩余部分在三年内按每月底等额还款的方式支付欠款，且结算欠款的利息.已知欠款的月
41、利率为已知欠款的月利率为 0.5% 到第一个月到第一个月底，货主在第一次还款之前，他欠商店多少元？底，货主在第一次还款之前，他欠商店多少元？ 解解(1)因为购买电脑时因为购买电脑时,货主欠商店货主欠商店3 2 的货款的货款,即即 6000 3 2 =4000(元元),又按月利率又按月利率 0.5%到第一个月底的到第一个月底的 欠款数应为欠款数应为 4000(1+0.5%)=4020(元元).即到第一个月底即到第一个月底,欠款余额为欠款余额为 4020 元元. (2)设第设第 i 个月底还款后的欠款数为个月底还款后的欠款数为 yi,则有则有 y1=4000(1+0.5%)-a y2=y1(1+0
42、.5%)-a =4000(1+0.5%) 2 -a(1+0.5%)-a y3=y2(1+0.5%)-a y3=y2(1+0.5%)-a =4000(1+0.5%) 3 -a(1+0.5%) 2 -a(1+0.5%)-a /21 16 yi=y 1i (1+0.5%)-a=4000(1+0.5%) i -a(1+0.5%) 1i -a(1+0.5%) 2i - -a, 整理得整理得 yi =4000(1+0.5%) i - %5 . 0 1%)5 . 01 ( i a .(i=1,2, , 36) (3)因为因为 y36=0,所以所以 4000(1+0.5%) 36 - %5 . 0 1%)5 . 01 (
