1、 1 不等式与一次不等式组不等式与一次不等式组 全章复习与巩固 全章复习与巩固 （基（基 础）础）知识讲解知识讲解 撰稿：孙景艳 责编：赵炜 【学习目标】【学习目标】 1.理解不等式的有关概念，掌握不等式的三条基本性质； 2.理解不等式的解（解集）的意义，掌握在数轴上表示不等式的解集的方法； 3.会利用不等式的三个基本性质，熟练解一元一次不等式或不等式组； 4.会根据题中的不等关系建立不等式（组） ，解决实际应用问题； 5.通过对比方程与不等式、等式性质与不等式性质等一系列教学活动，理解类比的方法是学习数学的 一种重要途径. 【知识网络知识网络】 【要点梳理】【要点梳理】 要要点一、点一、不等
2、式不等式 1.1.不等式：不等式：用符号“”(或“”)， “” （或“” ） ，连接的式子叫做不等式. 要点诠释：要点诠释： （1）不等式的解：不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. （2）不等式的解集：不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集 解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如xa，xa等；另一种是用数轴表 示，如下图所示： （3）解不等式：解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式 2. 不等不等式的性质：式的性质： 不等式的基本性质不等式的基本性质 1 1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变 用式
3、子表示：如果 ab，那么 acbc 不等式的基本性质不等式的基本性质 2 2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变 用式子表示：如果 ab，c0，那么 acbc(或 ab cc ) 不等式的基本性质不等式的基本性质 3 3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变 2 用式子表示：如果 ab，c0，那么 acbc(或 ab cc ) 要要点二点二、一元一次不等式一元一次不等式 1.1. 定义：定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 1， 这样的不等式叫做一元一次不等式， 要点诠释：要点诠释：ax+b0 或 ax+b0(a0)
4、叫做一元一次不等式的标准形式 2.解法：解法： 解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1. 要点诠释：要点诠释：不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定” ：一是定边界点，二是 定方向，三是定空实. 3.3.应用应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即： （1）审：认真审题，分清已知量、未知量； （2）设：设出适当的未知数； （3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于” “小于” “不大于” “至少” “不 超过” “超过”等关键词的含义； （4）列：根据题中的不等关系，列出不等式； （5）解：解出所列的不
5、等式的解集； （6）答：检验是否符合题意，写出答案. 要点诠释：要点诠释： 列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算” 、 “至少” 、 “不足” 、 “不超过” 、 “不大于” 、 “不小于” 等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键. 要要点三、点三、一元一次不等式组一元一次不等式组 关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组. 要点诠释：要点诠释： （1 1）不等式组的解集不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集. （2 2）解不等式组：）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组. （3 3）
6、一元一次不等式组的解法一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分， 利用数轴可以直观地表示不等式组的解集. （4 4）一元一次不等式组的一元一次不等式组的应用应用： 根据题意构建不等式组，解这个不等式组；由不等式组的解集 及实际意义确定问题的答案 【典型例题】【典型例题】 类型一、类型一、不等式不等式 1.用适当的符号语言表达下列关系.。 （1）a 与 5 的和是正数. （2）b 与-5 的差不是正数. （3）x 的 2 倍大于 x. （4）2x 与 1 的和小于零. （5）a 的 2 倍与 4 的差不少于 5. 【答案与解析】 3 解： （1）a+50
7、； （2）b-（-5）0； （3）2xx； （4）2x+10； （5）2a-45. 【总结升华】正确运用不等符号翻译表述一些数学描述是学好不等式的关键，要关注一些常见的描述 语言，如此处：不是、不少于、不大于 举一反三：举一反三： 【变式】用适当的符号语言表达下列关系： （1）y 的 1 2 与 3 的差是负数.（2）x 的 1 2 与 3 的差大于 2.（3）b 的 1 2 与 c 的和不大于 9. 【答案】 （1） 1 30 2 y ； （2） 1 32 2 x； （3） 1 9 2 bc。 2.用适当的符号填空： （1）如果 ab，那么 a-3_b-3； 7a_7b；-2a_-2b. （
8、2）如果 ab，那么 a-b_0；a+5b_6b； 11 _ 22 abb. 【思路点拨】不等式的基本性质 1,2,3 【答案】 （1）； ； （2）； 【解析】 （1）在不等式 ab 两边同减去 3，得 a-3b-3； 在不等式 ab 两边同乘以 7，得 7a7b； 在不等式 ab 两边同乘以2，得-2a-2b （2）在不等式 ab 两边同减去 b，合并得 a-b0； 在 ab 两边同加上 5b，合并得 a+5b6b； 在 a； （2） 【高清课堂：高清课堂：一元一次不等式章节复习一元一次不等式章节复习 410551 410551 例例 1 1】 【变式 2】判断 （1）如果ab，那么 22
9、 acbc； （2）如果 22 acbc，那么ab. 【答案】 （1）； （2） 类型二类型二、一元一次不等式一元一次不等式 3. 解不等式 3(1)5 1 82 xx x 【思路点拨】不等式中含有分母，应先根据不等式的基本性质 2 去掉分母，再作其他变形去分母时， 不要忘记给分子加括号 【答案与解析】 解：去分母，得 8x+3(x+1)8-4(x-5)， 4 去括号，得 8x+3x+38-4x+20， 移项，得 8x+3x+4x8+20-3， 合并同类项，得 15x25， 系数化为 1得 5 3 x 不等式的解集为 5 3 x 【总结升华】解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤异同见下表：
10、axb axb axb 解：当 a0 时， b x a ； 当 a0，b0 时，无解； 当 a0，b0 时，x 为任意 有理数 解：当 a0 时， b x a ； 当 a0 时， b x a ； 当 a0，b0 时，无解； 当 a0，b0 时，x 为任意 有理数 解：当 a0 时， b x a ； 当 a时， b x a ； 当 a0，b0 时，无解； 当 a0，b0 时，x 为任意 有理数 举一反三：举一反三： 【变式】(湖南益阳)解不等式 51 1 3 x x ，并把解集在数轴上表示出来 【答案】 解：去分母得 5x-1-3x3， 移项、合并同类项，得 2x4， 系数化为 1，得 x2，
11、解集在数轴上的表示如图所示 4.某种商品进价为 150 元，出售时标价为 225 元，由于销售情况不好，商店准备降价出售，但 要保证利润不低于 10%，那么商店最多降价多少元出售商品？ 【思路点拨】利润售价进价，售价进价利润进价（1利润率）. 【答案与解析】 解：设商店降价x元出售该商品，则225x150 (1 10%)， 解得x60. 答：商店最多降价 60 元出售商品。 【总结升华】本题考查一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，解答过程 中应注意“设”与“答”的区别 类型三类型三、一元一次不等式组一元一次不等式组 5. 解不等式组： 1 3 21 5)3(3 x x
12、xx ，并求出正整数解。 【思路点拨】分别解出各不等式，取所有的公共部分。 【答案与解析】 5 解解：由不等式得x2， 由不等式得4x， 由得 4 2 x x ，即2x 原不等式组的解集是2x，正整数解为 1,2 【总结升华】求不等式(组)的特殊解的一般步骤是先求出不等式(组)的解集，再从中找出符合要求的 特殊解 举一反三：举一反三： 【变式】求不等式组 3(2)4 25 1 3 xx x x 的整数解 【答案】 解：解不等式-3(x-2)4-x，得 x1， 解不等式 25 1 3 x x ，得 x-2， 所以该不等式组的解集为：-2x1， 所以该不等式组的整数解是-1，0，1 类型四类型四、
13、综合应用综合应用 6.若关于 x,y 的方程组 32 23 xyk yx 的解满足 1 1 x y ，求 k 的整数值. 【思路点拨】从概念出发，解出方程组（用 k 表示 x、y） ，然后解不等式组. 【答案与解析】 解：解方程组 32 23 xyk xy 43 , 7 29 . 7 k x k y 得 1 1 x y ， 43 1, 7 29 1. 7 k k 即 解得： 5 1 2 k , 整数 k 的值为 0，1，2. 【总结升华】方程组的未知数是 x、y，k 在方程组里看成常数.通过求解方程组可以用 k 表示 x、y. 方程组的解满足不等式，那么可以将 x、y 用含 k 的式子替换，得
14、到关于 k 的不等式组，可以求出 k 的取 值范围，进而可以求出 k 的整数值. 【高清课堂：高清课堂：一元一次不等式章节复习一元一次不等式章节复习 410551 410551 例例 3 3（1 1） 】 举一反三：举一反三： 【变式】m 为何值时，关于 x 的方程： 6151 632 xmm x 的解大于 1？ 【答案】 6 解：由 6151 632 xmm x ，得 31 5 m x ， 31 1 5 m ，解得2m 当2m时，关于 x 的方程： 6151 632 xmm x 的解大于 1. 7.某学校组织八年级学生参加社会实践活动，若单独租用 35 座客车若干辆，则刚好坐满；若单 独租用
15、 55 座客车，则可以少租一辆，且余 45 个空座位 （1）求该校八年级学生参加社会实践活动的人数； （2） 已知 35 座客车的租金为每辆 320 元， 55 座客车的租金为每辆 400 元 根据租车资金不超过 1500 元的预算，学校决定同时租用这两种客车共 4 辆（可以坐不满可以坐不满 ） 请你计算本次社会实践活动所需车辆的 租金 【思路点拨】 （1）设单独租用 35 座客车需 x 辆根据单独租用 35 座客车若干辆，则刚好坐满和单独 租用 55 座客车，则可以少租一辆，且余 45 个空座位，分别表示出总人数，从而列方程求解； （2）设租 35 座客车 y 辆，则租 55 座客车（4-y
16、）辆根据不等关系：两种车坐的总人数不小于 175 人；租车资金 不超过 1500 元列不等式组分析求解 【答案与解析】 解： （1）设单独租用 35 座客车需 x 辆，由题意得： 3555(1)45xx, 解得：5x . 3535 5175x （人）. 答：该校八年级参加社会实践活动的人数为 175 人 （2）设租 35 座客车 y 辆，则租 55 座客车（4y）辆，由题意得： 3555(4)175 320400(4)1500 yy yy ， 解这个不等式组，得 11 12 44 y y取正整数，y= 2. 4y = 42 = 2（辆）. 32024002 = 1440（元）. 所以本次社会实践活动所需车辆的租金为 1440 元 【总结升华】本题考查了一元一次方程的应用和一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题 意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系
