1、 1 不等式不等式及其及其性质性质（基础基础）知识讲解知识讲解 撰稿：孙景艳 责编：吴婷婷 【学习目标】【学习目标】 1了解不等式的意义，认识不等式和等式都刻画了现实世界中的数量关系. 2. 知道不等式解集的概念并会在数轴上表示解集. 3. 理解不等式的三条基本性质，并会简单应用. 【要点梳理】【要点梳理】 要点一、要点一、不等式的概念不等式的概念 一般地，用“” 、 “” 、 “”或“”表示大小关系的式子，叫做不等式用“”表示不等 关系的式子也是不等式 要点诠释：要点诠释： (1)不等号“”或“”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大 (2)五种不等号的读法及其意义： 符号
2、读法 意义 “ ” 读作“不等于” 它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大， 哪个小 “ ” 读作“小于” 表示左边的量比右边的量小 “ ” 读作“大于” 表示左边的量比右边的量大 “ ” 读作“小于或等 于” 即“不大于” ，表示左边的量不大于右边的量 “ ” 读作“大于或等 于” 即“不小于” ，表示左边的量不小于右边的量 (3)有些不等式中不含未知数，如 34，-1-2；有些不等式中含有未知数，如 2x5 中，x 表示未 知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关 系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立 要点二、要点二、不等
3、式的解及解集不等式的解及解集 1.1.不等式的解：不等式的解： 能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解 2.2.不等式的解集：不等式的解集： 对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集 要点诠释：要点诠释： 不等式的 解 是具体的未知数的值，不是一个范围 不等式的 解集 是一个集合，是一个范围 其含义：解集中的每一个数值都能使不等式成立 能够使不等式成立的所有数值都在解集中 3.3.不等式的解集的表示方法不等式的解集的表示方法 （1 1）用最简的不等式表示用最简的不等式表示: :一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个 范围可用最简单的不等式来表示如
4、：不等式 x-26 的解集为 x8 (2)(2)用数轴表示用数轴表示: :不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解如图所 示： 2 要点诠释：要点诠释： 借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来， 在应用数轴表示不等式的解集时， 要注意两个 “确定” ： 一是确定“边界点” ，二是确定方向(1)确定“边界点” ：若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边 界点不是不等式的解，则用空心圆圈；(2)确定“方向” ：对边界点 a 而言，xa 或 xa 向右画；对边界 点 a 而言，xa 或 xa 向左画 注意：在表示 a 的点上画空心圆圈，表示不包括这一点 【高清课堂：一元一
5、次不等式【高清课堂：一元一次不等式 370042 不等式的基本性质不等式的基本性质】 要点三、要点三、不等式的不等式的基本基本性质性质 不等式的基本性质不等式的基本性质 1 1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变 用式子表示：如果 ab，那么 acbc 不等式的基本性质不等式的基本性质 2 2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变 用式子表示：如果 ab，c0，那么 acbc(或 ab cc ) 不等式的基本性质不等式的基本性质 3 3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变 用式子表示：如果 ab，c0，那么 acbc(或 ab cc ) 要
6、点诠释：要点诠释： 对不等式的基本性质的理解应注意以下几点： (1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有 联系，又有区别，注意总结、比较、体会 (2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质 2 和性质 3 的区别，在乘(或除以)同一 个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变 【典型例题】【典型例题】 类型一、类型一、不等式的概念不等式的概念 1用不等式表示： (1)x 与-3 的和是负数； (2)x 与 5 的和的 28不大于-6 (3)m 除以 4 的商加上 3 至多为 5 【思路点拨】列不等式时，应抓
7、住“大于” 、 “不大于” 、 “不是” 、 “至多” 、 “非负数”等表示不等关系 的关键性词语，进而根据这些关键词的内涵列出不等式 【答案与解析】 解：(1)x-30；(2)28(x+5)-6；(3)3 4 m 5 【总结升华】在不等式及其应用的题目中，经常会出现一些表示不等关系的词语正确理解这些关键 词很重要如：若 x 是非负数，则 x0；若 x 是非正数，则 x0；若 x 大于 y，则有 x-y0；若 x 小于 y， 则有 x-y0 等 举一反三：举一反三： 【变式】aa 的值一定是（ ） A.大于零 B.小于零 C.不大于零 D. 不小于零 【答案】D 类型二类型二、不等式的解及解集
8、不等式的解及解集 3 2. (上海奉贤区二模)对于不等式 4x+7(x-2)8 不是它的解的是( ) A5 B4 C3 D2 【思路点拨】根据不等式解的定义作答 【答案】D 【解析】 解：当 x5 时，4x+7(x-2)418， 当 x4 时，4x+7(x-2)308， 当 x3 时，4x+7(x-2)198， 当 x2 时，4x+7(x-2)8 故知 x2 不是原不等式的解 【总结升华】不等式的解的定义与方程的解的定义是类似的，其判定方法是相同的 3. (宁波)不等式 x1 在数轴上表示正确的是 ( ) 【思路点拨】根据不等式的解集在数轴上表示出来的方法画数轴即可 【答案】C 【解析】 解：
9、不等式 x1 在数轴上表示为: 故选 C 【总结升华】用数轴表示解集时，应注意两点：一是“边界点” ，如果边界点包含于解集，则用实心 圆点；二是“方向” ，相对于边界而言，大于向右，小于向左，同时还应善于逆向思维，通过读数轴写出 对应不等式的解集 【高清课堂：一元一次不等式【高清课堂：一元一次不等式 370042 练习练习 2 2】 举一反三：举一反三： 【变式】如图，在数轴上表示的解集对应的是( ) A2x4 B.2x4 C.2x4 D.2x4 【答案】B 类型三类型三、不等式的性质不等式的性质 4. (上海)如果 ab，c0，那么下列不等式成立的是( ) Aa+cb+c Bc-ac-b C
10、acbc D ab cc 【思路点拨】根据不等式的性质分析判断 【答案】A 【解析】 解：A、在不等式的两边同时加上 c 不等号方向不变，故本选项正确； B、在不等式的两边同时乘以-1，加上 c 后不等号方向改变，故本选项错误； 4 C、两边同时乘以负数 c，不等号方向改变，故本选项错误； D、两边同时除以负数 c，不等号方向改变，故本选项错误； 【总结升华】不等式的性质是不等式变形的重要依据关键要注意不等号的方向性质 1 和性质 2 类 似于等式的性质但性质 3 中，当不等式两边乘以或除以同一个负数时，不等号的方向要改变 举一反三：举一反三： 【变式】三角形中任意两边之差与第三边有怎样的关系？ 【答案】 解：如图，设c, b, a为任意一个三角形的三条边，则： bac, acb, cba 移项可得：abc, cab, bca 即：三角形两边的差小于第三边
