1、 1 实数全章复习与巩固（基础）实数全章复习与巩固（基础） 撰稿：康红梅 责编：吴婷婷 【学习目标】【学习目标】 1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根. 2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立 方根，会用计算器求平方根和立方根. 3.了解无理数和实数的概念， 知道实数与数轴上的点一一对应， 有序实数对与平面上的点一一对应； 了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化. 4.能用有理数估计一个无理数的大致范围. 【知识网络】【知识网络】 【要点梳理】【要点梳理】 【高清课堂：【高清课堂：
2、389318 389318 实数实数复习复习，知识要点】，知识要点】 要要点一：平方根点一：平方根和立方根和立方根 类型 项目 平方根 立方根 被开方数 非负数 任意实数 符号表示 a 3 a 性质 一个正数有两个平方根，且 互为相反数； 零的平方根为零； 负数没有平方根； 一个正数有一个正的立 方根； 一个负数有一个负的立 方根； 零的立方根是零； 重要结论 )0( )0( )0()( 2 2 aa aa aa aaa 33 33 33 )( aa aa aa 要要点点二二：实数：实数 有理数和无理数统称为实数. 1.1.实数的分类实数的分类 按定义分： 2 实数 有理数：有限小数或无限循环
3、小数 无理数：无限不循环小数 按与 0 的大小关系分： 实数0 正有理数 正数 正无理数 负有理数 负数 负无理数 要点诠释：要点诠释： （1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数其中有限小 数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数 （2）无理数分成三类：开方开不尽的数，如5， 3 2等； 有特殊意义的数，如； 有特定结构的数，如 0.1010010001 （3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式. （4）实数和数轴上点是一一对应的. 2.2.实数与数轴上的点一实数与数轴上的点一 一对应一对应. . 数轴上的任何一个点都对应一个实
4、数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 3.3.实数的三个非负性及性质：实数的三个非负性及性质： 在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式： （1）任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|0； （2）任何一个实数a的平方是非负数，即 2 a0； （3）任何非负数的算术平方根是非负数，即0a (0a). 非负数具有以下性质： （1）非负数有最小值零； （2）有限个非负数之和仍是非负数； （3）几个非负数之和等于 0，则每个非负数都等于 0. 4.4.实数的运算：实数的运算： 数a的相反数是a；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数
5、；0 的绝对 值是 0. 有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、 再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里. 5.5.实数的大小的比较：实数的大小的比较： 有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立. 法则 1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边 的数 大； 法则 2正数大于 0，0 大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小； 法则 3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法. 【典型例题】【典型例题】 类型一、类型一、有关方根的问题有关方根的问题
6、 3 1、下列命题：负数没有立方根；一个实数的算术平方根一定是正数；一个正数或负数的 立方根与这个数同号；如果一个数的算术平方根是这个数本身，那么这个数是 1 或 0；如果一个数的 立方根是这个数本身，那么这个数是 1 或 0 ，其中错误的有（ ） A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个 【答案】【答案】B； 【解析】【解析】负数有立方根；0 的算术平方根是 0；立方根是本身的数有 0，1. 【总结升华总结升华】把握平方根和立方根的定义是解题关键. 举一反三：举一反三： 【变式】下列运算正确的是（ ） A42 B235 C 3 82 D| 2|2 【答案】【答案】C； 2、若1 0 2
7、 .0 1 1 0 .1，则1.0201 若7160. 03670. 0 3 ，542. 1670. 3 3 ，则_367 3 【答案】【答案】1.01；7.16； 【解析】【解析】102.01 的小数点向左移动 2 位变成 1.0201，它的平方根的小数点向左移动 1 位， 变成 1.01，注意符号；0.3670 的小数点向右移动 3 位变成 367，它的立方根的小数点向右移动 1 位，变成 7.16 【总结升华总结升华】一个数的小数点向左移动 2 位，它的平方根的小数点向左移动 1 位；一个数的小数点向 右移动 3 位，它的立方根的小数点向右移动 1 位. 类型二类型二、与实数有关的问题与
8、实数有关的问题 3、把下列各数填入相应的集合： 1、3、3.14、9、26 、 2 2 、7 . 0 （1）有理数集合 ； （2）无理数集合 ； （3）正实数集合 ； （4）负实数集合 【思路点拨】【思路点拨】首先把能化简的数都化简，然后对照概念填到对应的括号里. 【答案与解析】【答案与解析】 （1）有理数集合1、3.14、9、7 . 0 ； （2）无理数集合 3、26 、 2 2 ； （3）正实数集合 3、9、26 、7 . 0 ； （4）负实数集合 1、3.14、 2 2 【总结升华总结升华】有理数是有限小数和无限循环小数，无理数是无限不循环小数.总结常见的无理数形式. 举一反三：举一反三
9、： 4 【变式】在实数5， 3 8， 22 7 ，0.3，其中无理数有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【答案】【答案】B； 提示：无理数有5，. 4、计算（1） 233 ) 3 2 (1000216 （2） 2 3 ) 4 5 1 (1 27 26 （3） 3 2 ) 1 3 1 )( 9 5 1 () 3 1 ( 【思路点拨】【思路点拨】先逐个化简后，再按照计算法则进行计算. 【答案与解析】【答案与解析】 解： （1） 233 ) 3 2 (1000216 22 6 1016 33 （2） 2 3 ) 4 5 1 (1 27 26 2 3 11111 2743412 （3）
10、3 2 ) 1 3 1 )( 9 5 1 () 3 1 ( 3 3 14218121 393327333 . 【总结升华总结升华】根据开立方和立方，开平方和平方互逆运算的关系，可以通过立方、平方的方法去求一 个数的立方根、平方根. 举一反三：举一反三： 【变式】计算(1) 33 3 000216. 0008. 01 27 26 (2) 22 3 32 3 )3() 2 1 ()4()4(2 【答案】【答案】 解：(1) 33 3 000216. 0008. 01 27 26 3 1 0.20.06 27 29 150 (2) 22 3 32 3 )3() 2 1 ()4()4(2 1 8 44
11、3 4 32 1 336 . 5 5、若0, 0aba，化简334abba 【思路点拨】【思路点拨】由0, 0aba判断b0，再判断绝对值里的数的正负，由绝对值的定义去掉绝对值. 【答案与解析】【答案与解析】 解：0, 0aba， b0， 4 30,30abba 4 33abba (4 3)(3)abba 4 33 3 3 abba 【总结升华总结升华】含绝对值号的代数式的化简是重点也是难点.分类的标准应按正实数,负实数,零分类考 虑.掌握好分类标准,不断加强分类讨论的意识. 举一反三：举一反三： 【变式 1】实数a、b在数轴上所对应的点的位置如图所示： 化简 2 aab . 【答案】【答案】
12、 解：a0b, ab0 2 aaba(ab)b2a. 【高清课堂：【高清课堂：389318 389318 实数复习，例实数复习，例 5 5】 【变式 2】 实数a在数轴上的位置如图所示， 则 2 , 1 ,a a aa 的大小关系是： ； 0 -1a 【答案】【答案】 2 1 aaa a ； 类型类型三三、实数综合应用实数综合应用 6、现有一面积为 150 平方米的正方形鱼池，为了增加养鱼量，欲把鱼池的边长增加 6 米，那么扩建鱼池的面积为多少（最后结果保留 4 个有效数字）？ 【答案与解析】【答案与解析】 解：因为原正方形鱼池的面积为 150 平方米，根据面积公式， 它的边长为15012.247 （米） 由题意可得扩建后的正方形鱼池的边长为（12.2476）米， 所以扩建后鱼池的面积为 2 18.247333.0（平方米） 答：扩建后的鱼池的面积约为 333.0（平方米） 6 【总结升华总结升华】要求扩建后的鱼池的面积，应先求出其边长，而原鱼池的面积为 150 平方米，由此可得 原鱼池的边长，再加上增加的 6 米，故新鱼池面积可求 举一反三：举一反三： 【变式】一个底为正方形的水池的容积是 486 3 m，池深 1.5m，求这个水池的底边长 【答案】【答案】 解：设水池的底边长为x，由题意得 2 1.5486x 2 324x 18x 答：这个水池的底边长为 18m.
