1、 1 不等式不等式及其及其性质性质（提高提高）知识讲解知识讲解 撰稿：孙景艳 责编：吴婷婷 【学习目标】【学习目标】 1了解不等式的意义，认识不等式和等式都可以用来刻画现实世界中的数量关系. 2. 知道不等式解集的概念并会在数轴上表示解集. 3. 理解不等式的三条基本性质，并会简单应用. 【要点梳理】【要点梳理】 知识点一、知识点一、不等式的概念不等式的概念 一般地，用“” 、 “” 、 “”或“”表示大小关系的式子，叫做不等式用“”表示不等 关系的式子也是不等式 要点诠释：要点诠释： (1)不等号“”或“”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大 (2)五种不等号的读法及其意义
2、： 符号 读法 意义 “ ” 读作“不等于” 它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大， 哪个小 “ ” 读作“小于” 表示左边的量比右边的量小 “ ” 读作“大于” 表示左边的量比右边的量大 “ ” 读作“小于或等 于” 即“不大于” ，表示左边的量不大于右边的量 “ ” 读作“大于或等 于” 即“不小于” ，表示左边的量不小于右边的量 (3)有些不等式中不含未知数，如 34，-1-2；有些不等式中含有未知数，如 2x5 中，x 表示未 知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关 系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立 知识点二、
3、知识点二、不等式的解及解集不等式的解及解集 1.1.不等式的解：不等式的解： 能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 2.2.不等式的解集：不等式的解集： 对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集 要点诠释：要点诠释： 不等式的 解 是具体的未知数的值，不是一个范围 不等式的 解集 是一个集合，是一个范围其含义： 解集中的每一个数值都能使不等式成立； 能够使不等式成立的所有数值都在解集 中 3.3.不等式的解集的表示方法不等式的解集的表示方法 （1 1）用最简的不等用最简的不等式表示式表示: :一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个 范围可用最
4、简单的不等式来表示如：不等式 x-26 的解集为 x8 (2)(2)用数轴表示用数轴表示: :不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解如图所 2 示： 要点诠释：要点诠释： 借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来， 在应用数轴表示不等式的解集时， 要注意两个 “确定” ： 一是确定“边界点” ，若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈； 二是确定方向，对边界点 a 而言，xa 或 xa 向右画；对边界点 a 而言，xa 或 xa 向左画 注意：在表示 a 的点上画空心圆圈，表示不包括这一点 【高清课堂：一元一次不等式【高清课堂：一元一
5、次不等式 370042 不等式的基本性质不等式的基本性质】 知识点三知识点三、不等式的基本性质不等式的基本性质 不等式的基本性质不等式的基本性质 1 1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变 用式子表示：如果 ab，那么 acbc 不等式的基本性质不等式的基本性质 2 2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变 用式子表示：如果 ab，c0，那么 acbc(或 ab cc ) 不等式的基本性质不等式的基本性质 3 3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变 用式子表示：如果 ab，c0，那么 acbc(或 ab cc ) 要点诠释：要点诠释： 不等
6、式的基本性质的掌握应注意以下几点： (1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有 联系，又有区别，注意总结、比较、体会 (2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质 2 和性质 3 的区别，在乘(或除以)同一 个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变 【典型例题】【典型例题】 类型一、类型一、不等式的概念不等式的概念 1有数颗等重的糖果和数个大、小砝码，其中大砝码皆为 5 克、小砝码皆为 1 克，且下图是将 糖果与砝码放在等臂天平上的两种情形判断下列正确的情形是 ( ) 【思路点拨】根据图示可知 1 个糖果
7、的质量5 克，3 个糖果的质量16 克，依此求出 1 个糖果的质 量取值范围，再在 4 个选项中找出情形正确的 【答案】D 【解析】 3 解：由图(1)知，每一个糖果的重量大于 5 克，由图(2)知：3 个糖果的重量小于 16 克，即每一个糖果 的重量小于16 3 克故 A 选项错；两个糖果的重量小于 322 10 33 克故 B 选项错；三个糖果的重量大于 15 克小于 16 克故 C 选项错，四个糖果的重量小于16 641 421 333 克故 D 选项对 【总结升华】观察图示，确定大小本题涉及的知识点是不等式，涉及的数学思想是数形结合思想， 解决问题的基本思路是根据图示信息列出不等式 举
8、一反三举一反三： 【变式】 【答案】 类型二类型二、不等式的解及解集不等式的解及解集 2.若关于x的不等式 xa 只有三个正整数解，求a的取值范围. 【思路点拨】首先根据题意确定三个正整数解，然后再确定 a 的范围 【答案】3a4 【解析】 解：不等式 xa 只有三个正整数解， 三个正整数解为：1，2，3， 3a4， 【总结升华】此题主要考查了一元一次不等式的整数解，做此题的关键是确定好三个正整数解 3.如图所示，图中阴影部分表示 x 的取值范围，则下列表示中正确的是( ) A-3x2 B-3x2 C-3x2 D-3x2 【思路点拨】x 表示-3 右边的数，即大于-3，并且是 2 以及 2 左
9、边的数，即小于或等于 2 的数 【答案】B 【解析】 解： A、因为-3x2，在数轴上-3 的点应该是实心的圆点； C、因为-3x2，在数轴上-3 和 2 的点应该都是实心的圆点； D、因为-3x2，在数轴上-3 和 2 的点应该都是空心的圆点； 故选 B 【总结升华】在数轴上 表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆 点表示， “” ， “”向右画； “” ， “”向左画 举一反三：举一反三： 【变式】根据如图所示的程序计算，若输入 x 的值为 1，则输出 y 的值为_ 4 【答案】4 提示：由程序图可知，计算求值时所使用的数学表达式为 2 24yx把 x1 输入求值，若求
10、 得的结果大于 0， 则直接得到输出值 y； 若求得的结果小于 0， 则需要把得到的结果作为输入值再代入计算， 循环往复，直到使最终的结果大于 0 为止 类型三类型三、不等式的不等式的基本基本性质性质 4.若关于 x、 y 的二元一次方程组 31 33 xya xy 的解满足 x+y2， 则 a 的取值范围是_ 【思路点拨】观察方程组不难发现只要把两个方程相加即能求出 x+y 的值因为 x+y2，故可以构建 关于 a 的不等式然后利用不等式的性质就能求出 a 的取值范围 【答案】a4 【解析】 解：将两方程相加得：4x+4y4+a 将方程的两边同除以 4 得 4 4 a xy 依题意： 4 2
11、 4 a 将不等式的两边同乘以 4 得 4+a8 将不等式的两边同时减去 4 得 a4 故 a 的取值范围是 a4 【总结升华】解关于 x 的一元一次不等式，就是要将不等式逐步化为 xa 或 xa 的形式，化简的依 据是不等式的性质 举一反三：举一反三： 【变式 1】关于 x 的不等式 axb 的解集是 b x a ，那么 a 的取值范围是 ( ) Aa0 Ba0 Ca0 Da0 【答案】B 提示：解不等式 axb 时，两边同时除以 a，不等号的方向改变了，根据不等式的性质 3，可知 除以的是一个负数，即 a0故应选 B 【高清课堂：一元一次不等式【高清课堂：一元一次不等式 370042 练习练习 3】 【变式 2】a、b 是有理数，下列各式中成立的是( ) A若 ab，则 a2b2； B若 a2b2，则 ab C若 ab，则a|b| D若a|b|，则 ab 【答案】D
