1、 1 实际问题与实际问题与二元一次方程组二元一次方程组（二（二） （提高提高）知识讲解知识讲解 撰稿：孙景艳 责编：赵炜 【学习目标】【学习目标】 1熟悉行程、方案、数字等问题的解决方法； 2. 进一步研究用二元一次方程组解决实际问题 【要点梳理】【要点梳理】 要点一、常见的一些等量关系（二）要点一、常见的一些等量关系（二） 1.1. 行程问题行程问题 速度时间=路程. 顺水速度=静水速度+水流速度. 逆水速度=静水速度-水流速度. 2 2存贷款问题存贷款问题 利息=本金利率期数. 本息和（本利和）本金利息本金本金 利率 期数本金 (1利率 期数) . 年利率月利率 12. 月利率年利率12
2、1 . 3. .数字问题数字问题 已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数 的个位数字为 a，十位数字为 b，则这个两位数可以表示为 10b+a 4 4方案问题方案问题 在解决问题时，常常需合理安排需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社 购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案 要点诠释：要点诠释： 方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点,比较几种方案得出最佳方案 要要点二、实际问题与二元一次方程组点二、实际问题与二元一次方程组 1.1.列方程列方程组解应用题的基本思路组解应用题的基本思路 2.2.列二元一次方
3、程组解应用题的一般步骤列二元一次方程组解应用题的一般步骤 设：用两个字母表示问题中的两个未知数； 列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组） ； 解：解方程组，求出未知数的值； 验：检验求得的值是否正确和符合实际情形； 答：写出答案 要点诠释：要点诠释： （1）解实际应用问题必须写“答” ，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否 合理，不符合题意的解应该舍去； （2） “设” 、 “答”两步，都要写清单位名称； 2 （3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. 【典型例题】【典型例题】 类型一、类型一、行程问题行程问题 【高清课堂：【
4、高清课堂：实际问题与二元一次方程组（一实际问题与二元一次方程组（一）409143 例例 7】 1. 某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地，如果他以每小时 50 千米的速度行驶，就会迟到 24 分钟，如果他以每小时 70 千米的速度行驶，则可提前 24 分钟到达乙地，求甲乙两地间的距离. 【思路点拨】本题中的等量关系为：50（规定时间+ 24 60 ）两地距离， 75（规定时间 24 60 ）两地距离通过解方程组即可得出两地间距离 【答案与解析】 解：设规定的时间为x小时，甲乙两地间的距离为 y 千米. 则由题意可得： 解得： 答：甲乙两地间的距离为 140 千米. 【总结升华】比较复杂的行程问题
5、可以通过画“线条”图帮助分析，求解时应分清相遇、追及、相向、 同向等关键词 举一反三：举一反三： 【变式】已知一铁路桥长 1000 米，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到车身过完桥共 用 1 分钟，整列火车完全在桥上的时间为 40 秒，求火车的速度及火车的长度 【答案】 解：设火车速度为 x m/s，火车长度为 y m根据题意，得： 601000 401000 xy xy 解得: 20 200 x y 答：火车速度是 20m/s，火车的长度是 200m 类型二类型二、存贷款问题存贷款问题 2. 张叔叔 10 万元买一辆货车跑运输，年利率为 5.49%，计划两年还清贷款和利息他用货车载
6、 货平均每月可赚运输费 0.8 万元，其中开支有两项：油费是运费收入的 10%，修理费、养路费和交税是运 费收入的 20%，其余才是利润. 请你算一算，张叔叔跑 2 年的利润能否还清贷款和利息？ 【答案与解析】 24 50 60 24 70 60 xy xy 12 5 140 x y 3 解：设 10 万元贷款两年后的本息和为x万元，而张叔叔跑 2 年的总利润为y万元，则： 10 10 5.49% 2 0.8 (1 10%20%) 24 x y 解得 11.098 13.44 x y xy， 能还清 答：张叔叔跑 2 年的利润能还清贷款和利息 【总结升华】本题也可以不用方程组，直接列出代数式求
7、值，比较大小得答案 举一反三：举一反三： 【变式】在银行存款准备金不变的情况下，银行的可贷款总量与存款准备金率成反比例关系当存款 准备金率为 7.5%时，某银行可贷款总量为 400 亿元，如果存款准备金率上调到 8%时，该银行可贷款总量 将减少多少亿（ ） A.20 B.25 C.30 D.35 【答案】B 类型三类型三、数字问数字问题题 3.小明和小亮做游戏，小明在一个加数的后面多写了一个 0，得到的和为 242；小亮在另一个加 数后面多写了一个 0，得到的和为 341.原来的两个数分别为多少？ 【思路点拨】在后面多写一个 0，实际就是扩大了 10 倍两个等量关系为：10一个加数+另一个加
8、数=242；一个加数+10另一个加数=341 【答案与解析】 解：设原来的两个数分别为x和y，则： 10242 10341 xy xy ， 解得 21 32 x y 答：原来两个加数分别是 21，32 【总结升华】解决本题的关键是弄清在后面多写一个 0，实际就是扩大了 10 倍 举一反三：举一反三： 【变式】一个两位数的十位上的数字与个位上的数字之和是这个两位数的 1 2 ，用方程表示这一个数 量关系是 【答案】 1 (10) 2 xyxy或 1 (10) 2 xyyx（填一个即可） 类型四类型四、方案选择问题方案选择问题 4. (嘉兴)一个农机服务队有技术员工和辅助员工共 15 人，技术员工
9、人数是辅助员工人数的 2 倍服务队计划对员工发放奖金共计 20000 元，按“技术员工个人奖金”A(元)和“辅助员工个人奖金” B(元)两种标准发放，其中 AB800，并且 A，B 都是 100 的整数倍(注：农机服务队是一种农业机械 化服务组织，为农民提供耕种、收割等有偿服务) (1)求该农机服务队中技术员工和辅助员工的人数； (2)求本次奖金发放的具体方案 4 【思路点拨】 (1)有两个等量关系： 技术员工的人数+辅助员工的人数15 人； 技术员工人数辅助员工人数2由此，可以设未知数列出方程组求解 (2)有一个等量关系：两种标准发放的奖金和为 20000 元，结合 AB800，且 A，B
10、都是 100 的整数倍，从而分类求解 【答案与解析】 解：(1)设该农机服务队有技术员工 x 人，辅助员工 y 人 根据题意，得 15 2 xy xy ，解得 10 5 x y 即该农机服务队有技术员工 10 人，辅助员工 5 人 (2)由(1)，可得 10A+5B20000 因为 AB800，且 A，B 都是 100 的整数倍， 所以当 B800 时，A1600； 当 B900 时，A1550(A 不是 100 的整数倍，舍去)； 当 B1000 时，A1500； 当 B1100 时，A1450(A 不是 100 的整数倍，舍去)； 当 B1200 时，A1400； 当 B1300 时，A1
11、350(A 不足 100 的整数倍，舍去)； 当 B1400 时，A1300(AB，舍去)； 因此再取下去都不符合题意 所以本次奖金发放的具体方案有三种： 方案 1：技术员工每人 1600 元，辅助员工每人 800 元； 方案 2：技术员工每人 1500 元，辅助员工每人 1000 元； 方案 3：技术员工每人 1400 元，辅助员工每人 1200 元 【总结升华】本题的第(1)问容易求解难在由第(2)问得到的等量关系式中含有两个未知数，好在这 两个未知数受到两个条件的限制，从而可以分情况求解 【高清课堂：【高清课堂：实际问题与二元一次方程组（二实际问题与二元一次方程组（二）409144 例例
12、 5】 举一反三：举一反三： 【变式】联想集团某电脑公司有 A 型、B 型、C 型三种型号的电脑，其价格分别为 A 型电脑每台 6000 元，B 型电脑每台 4000 元，C 型电脑每台 2500 元，某市一中学计划将 100500 元钱全部用于从该电脑公司 购进其中两种不同型号的电脑 36 台，请你设计出几种不同的购买方案供该校选择，并说明理由. 【答案】 解：设从该公司购进 A 型电脑x台， B 型电脑y台， C 型电脑 z 台，则可分 3 种情况考虑： 只购进 A 型电脑和 B 型电脑， 不符合题意，舍去，此方案不可取. 只购进 A 型电脑和 C 型电脑， 36 60004000100500 xy xy 21.75 57.75 x y 36 60002500100500 xz xz 3 33 x z 5 符合题意，此方案可取. 只购进 B 型电脑和 C 型电脑， 符合题意，此方案可取. 答：有两种方案供该校选择，第一种方案是购进 A 型电脑 3 台和 C 型电脑 33 台；第二种方案是购进 B 型电脑 7 台和 C 型电脑 29 台. 36 40002500100500 yz yz 7 29 y z
