1、第九编 解析几何 9.1 9.1 直线的方程直线的方程 基础知识基础知识 自主学习自主学习 要点梳理要点梳理 1.1.直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角与斜率 （1 1）直线的倾斜角）直线的倾斜角 定义：当直线定义：当直线l l与与x x轴相交时，我们取轴相交时，我们取x x轴作为基轴作为基 准，准，x x轴轴 与直线与直线l l 方向之间所成的角方向之间所成的角 叫叫 做直线做直线l l的倾斜角的倾斜角. .当直线当直线l l与与x x轴平行或重合时，轴平行或重合时， 规定它的倾斜角为规定它的倾斜角为 . . 倾斜角的范围为倾斜角的范围为 . . 正向正向 向上向上 0 0 180180 0 0
2、 (2)(2)直线的斜率直线的斜率 定义：一条直线的倾斜角定义：一条直线的倾斜角 的的 叫做这条叫做这条 直线的斜率，斜率常用小写字母直线的斜率，斜率常用小写字母k k表示，即表示，即k k= = ， 倾斜角是倾斜角是9090的直线斜率不存在的直线斜率不存在. . 过两点的直线的斜率公式过两点的直线的斜率公式 经过两点经过两点P P1 1（x x1 1, ,y y1 1）, ,P P2 2( (x x2 2, ,y y2 2) () (x x1 1x x2 2) )的直线的直线 的斜率公式为的斜率公式为k k= = 正切值正切值 tan tan . 12 12 xx yy 2.2.直线方程的五
3、种形式直线方程的五种形式 名称名称 方程方程 适用范围适用范围 点斜式点斜式 不含垂直于不含垂直于x x轴的直线轴的直线 斜截式斜截式 不含垂直于不含垂直于x x轴的直线轴的直线 两点式两点式 不含直线不含直线x x= =x x1 （x x1x x2） 和直线和直线y y= =y y1 （y y1y y2） )( 11 xxkyy bkxy 12 1 12 1 xx xx yy yy 截距式截距式 不含垂直于坐标轴和过原不含垂直于坐标轴和过原 点的直线点的直线 一般式一般式 平面直角坐标系内的直线平面直角坐标系内的直线 都适用都适用 1 b y a x )0( 0 22 BA CByAx 3.
4、3.过过P P1 1（x x1 1，y y1 1），），P P2 2（x x2 2，y y2 2）的直线方程）的直线方程 （1 1）若）若x x1 1= =x x2 2, ,且且y y1 1y y2 2时，直线垂直于时，直线垂直于x x轴，方程轴，方程 为为 ; ; (2)(2)若若x x1 1x x2 2, ,且且y y1 1= =y y2 2时，直线垂直于时，直线垂直于y y轴，方程为轴，方程为 ; ; (3)(3)若若x x1 1= =x x2 2=0=0，且，且y y1 1y y2 2时，直线即为时，直线即为y y轴，方程轴，方程 为为 ; ; (4)(4)若若x x1 1x x2 2
5、, ,且且y y1 1= =y y2 2=0=0时，直线即为时，直线即为x x轴，方程轴，方程 为为 . . x x= =x x1 1 y y= =y y1 1 x x=0=0 y y=0=0 4.4.线段的中点坐标公式线段的中点坐标公式 若点若点P P1 1、P P2 2的坐标分别为（的坐标分别为（x x1 1，y y1 1），）， （x x2 2，y y2 2），且线段），且线段P P1 1P P2 2的中点的中点MM的坐标为（的坐标为（x x, ,y y），）， 则则 ，此公式为线段，此公式为线段P P1 1P P2 2的中点的中点 坐标公式坐标公式. . 2 2 21 21 yy y
6、xx x 基础自测基础自测 1.1.过点过点MM（- -2 2，m m），），N N（m m，4 4）的直线的斜率等）的直线的斜率等 于于1 1，则，则m m的值为的值为 （ ） A.1 B.4 C.1A.1 B.4 C.1或或3 D.13 D.1或或4 4 解析解析 k kMN MN= =1 = =1，m m=1.=1. A m m 2 4 2.2.经过下列两点的直线的倾斜角是钝角的是（经过下列两点的直线的倾斜角是钝角的是（ ） A.A.（1818，8 8），（），（4 4，- -4 4） B.B.（0 0，0 0），（），（ ，1 1） C.C.（0 0，- -1 1），（），（3 3，2
7、 2） D.D.（- -4 4，1 1），（），（0 0，- -1 1） 3 解析解析 对对A A过两点的直线斜率过两点的直线斜率 对对B B过两点的直线斜率过两点的直线斜率 对对C C过两点的直线斜率过两点的直线斜率 对对D D过两点的直线斜率过两点的直线斜率 过过D D中两点的直线的倾斜角是钝角中两点的直线的倾斜角是钝角. . 答案答案 D , 0 7 6 418 )4(8 k , 0 3 3 03 01 k , 01 03 12 k . 0 2 1 04 ) 1(1 k 3.3.下列四个命题中，假命题是下列四个命题中，假命题是 （ ） A.A.经过定点经过定点P P（x x0 0，y y
8、0 0）的直线不一定都可以用）的直线不一定都可以用 方程方程y y- -y y0 0= =k k( (x x- -x x0 0) )表示表示 B.B.经过两个不同的点经过两个不同的点P P1 1（x x1 1，y y1 1）、）、P P2 2（x x2 2，y y2 2） 的直线都可以用方程的直线都可以用方程( (y y- -y y1 1)()(x x2 2- -x x1 1)=)= ( (x x- -x x1 1)()(y y2 2- -y y1 1) )来表示来表示 C.C.与两条坐标轴都相交的直线不一定可以用方与两条坐标轴都相交的直线不一定可以用方 程程 表示表示 D.D.经过点经过点Q
9、 Q（0 0，b b）的直线都可以表示为）的直线都可以表示为y y= =kxkx+ +b b 解析解析 A A不能表示垂直于不能表示垂直于x x轴的直线，故正确；轴的直线，故正确；B B 正确；正确；C C不能表示过原点的直线即截距为不能表示过原点的直线即截距为0 0的直的直 线，故也正确；线，故也正确；D D不能表示斜率不存在的直线，不能表示斜率不存在的直线， 不正确不正确. . 1 b y a x D 4.4.如果如果A AC C0,0,且且B BC C0,0,那么直线那么直线AxAx+ +ByBy+ +C C=0=0 不通过不通过 （ ） A.A.第一象限第一象限 B.B.第二象限第二象
10、限 C.C.第三象限第三象限 D.D.第四象限第四象限 解析解析 由题意知由题意知A AB BC C0.0. 直线方程变为直线方程变为y y= =- - x x- - ， A AC C0 0，B BC C0 0，A AB B0 0， 其斜率其斜率k k= =- - 0,0,在在y y轴上的截距轴上的截距b b= =- - 0,0, 直线过第一、二、四象限直线过第一、二、四象限. . C B A B C B A B C 5.5.一条直线经过点一条直线经过点A A（- -2 2，2 2），并且与两坐标轴），并且与两坐标轴 围成的三角形的面积为围成的三角形的面积为1 1，则此直线的方程为，则此直线的
11、方程为 . . 解析解析 设所求直线的方程为设所求直线的方程为 A A（- -2 2，2 2）在直线上，）在直线上， 又因直线与坐标轴围成的三角形面积为又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1 1， | |a a|b b|=1|=1 , 1 b y a x 1 22 ba 2 1 由可得由可得 由（由（1 1）解得）解得 方程组（方程组（2 2）无解）无解. . 故所求的直线方程为故所求的直线方程为 即即x x+2+2y y- -2=02=0或或2 2x x+ +y y+2=0+2=0为所求直线的方程为所求直线的方程. . 答案答案 x x+2+2y y- -2=02=0或或2 2x x+ +y
12、y+2=0+2=0 . 2 1 )2( 2 1 ) 1 ( ab ba ab ba 或 ， b a b a 2 1 1 2或 ， yxyx 1 21 1 12 或 题型一题型一 直线的倾斜角直线的倾斜角 【例例1 1】 若若 ，则直线，则直线2 2x xcos +3cos +3y y+1=0+1=0 的倾斜角的取值范围是的倾斜角的取值范围是 （ ） A. B.A. B. C. D. C. D. 2 , 6 2 , 6 6 , 0 , 6 5 6 5 , 2 题型分类题型分类 深度剖析深度剖析 思维启迪思维启迪 从斜率的定义先求出倾斜角的正切值的从斜率的定义先求出倾斜角的正切值的 范围，再确定倾
13、斜角范围范围，再确定倾斜角范围. . 解析解析 设直线的倾斜角为设直线的倾斜角为 , ,则则tan =tan =- - cos ,cos , 又又 ，0 0cos , cos , cos cos 0 0 即即- - tan tan 0,0,注意到注意到0 0 , , . . 答案答案 B 3 2 2 , 6 2 3 3 3 3 2 3 3 6 5 探究提高探究提高 （1 1）求一个角的范围，是先求这个角）求一个角的范围，是先求这个角 某一个函数值的范围，再确定角的范围某一个函数值的范围，再确定角的范围. . （2 2）在已知两个变量之间的关系式要求其中一）在已知两个变量之间的关系式要求其中一
14、个变量的范围，常常是用放缩法消去一个变量得个变量的范围，常常是用放缩法消去一个变量得 到另一个变量的范围，解决本题时，可以利用余到另一个变量的范围，解决本题时，可以利用余 弦函数的单调性放缩倾斜角的取植范围，其目的弦函数的单调性放缩倾斜角的取植范围，其目的 是消去变量是消去变量 得到。得到。 知能迁移知能迁移1 1 直线直线x xsin sin - -y y+1=0+1=0的倾斜角的变化范的倾斜角的变化范 围是围是 （ ） A. B.(0,A. B.(0, ) ) C. D.C. D. 解析解析 直线直线x xsin sin - -y y+1=0+1=0的斜率是的斜率是k k=sin ,=si
15、n , 又又- -1sin 11sin 1，- -11k k11， 当当00k k11时，倾斜角的范围是时，倾斜角的范围是 ； 当当- -11k k0 0时，倾斜角的范围是时，倾斜角的范围是 . . 2 , 0 4 , 4 , 4 3 4 , 0 D 4 , 0 , 4 3 题型二题型二 直线的斜率直线的斜率 【例例2 2】 已知直线已知直线l l过点过点P P（- -1 1，2 2），且与以），且与以 A A（- -2 2，- -3 3），），B B（3 3，0 0）为端点的线段相交，）为端点的线段相交， 求直线求直线l l的斜率的取值范围的斜率的取值范围. . 分别求出分别求出PAPA、P
16、BPB的斜率，直线的斜率，直线l l处处 于直线于直线PAPA、PBPB之间，根据斜率的几何意义利之间，根据斜率的几何意义利 用数形结合即可求用数形结合即可求. . 解解 方法一方法一 如图所示，直线如图所示，直线PAPA的的 斜率斜率 直线直线PBPB的斜率的斜率 , 5 )2(1 )3(2 PA k 思维启迪思维启迪 当直线当直线l l绕着点绕着点P P由由PAPA旋转到与旋转到与y y轴平行的位置轴平行的位置PCPC 时，它的斜率变化范围是时，它的斜率变化范围是5 5，+）；）； 当直线当直线l l绕着点绕着点P P由由PCPC旋转到旋转到PBPB的位置时，它的斜的位置时，它的斜 率的变
17、化范围是率的变化范围是 直线直线l l的斜率的取值范围是的斜率的取值范围是 方法二方法二 设直线设直线l l的斜率为的斜率为k k，则直线，则直线l l的方程为的方程为 y y- -2=2=k k（x x+1+1），），即即kxkx- -y y+ +k k+2=0.+2=0. A A、B B两点在直线的两侧或其中一点在直线两点在直线的两侧或其中一点在直线l l上，上， （- -2 2k k+3+3+k k+2+2）（）（3 3k k- -0+0+k k+2+2）0 0， . 2 1 ) 1(3 20 PB k 2 1 , ., 5 2 1 , 即即（k k- -5 5）（）（4 4k k+2+
18、2）0 0，k k55或或k k- - . . 即直线即直线l l的斜率的斜率k k的取值范围是的取值范围是 5 5，+）. . 方法一方法一 运用了数形结合思想运用了数形结合思想. .当直线当直线 的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时，的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时， 需根据正切函数需根据正切函数y y=tan =tan 的单调性求的单调性求k k的范围，数的范围，数 形结合是解析几何中的重要方法形结合是解析几何中的重要方法. .解题时，借助图解题时，借助图 形及图形性质直观判断，明确解题思路，达到快形及图形性质直观判断，明确解题思路，达到快 捷解题的目的捷解题的目的. .方法
19、二则巧妙利用了不等式所表示方法二则巧妙利用了不等式所表示 的平面区域的性质使问题得以解决的平面区域的性质使问题得以解决. . 2 1 2 1 , 探究提高探究提高 知能迁移知能迁移2 2 已知点已知点A A（1 1，3 3），），B B（- -2 2，- -1 1）. .若直若直 线线l l：y y= =k k（x x- -2 2）+1+1 与线段与线段ABAB相交，则相交，则k k的取值范围是的取值范围是 （ ） A.A.k k B. B.k k- -2 2 C.C.k k 或或k k- -2 D.2 D.- -22k k 解析解析 由已知直线由已知直线l l恒过定点恒过定点P P（2 2，
20、1 1），如图），如图. . 若若l l与线段与线段ABAB相交，相交， 则则k kPA PA k kk kPB PB， ， k kPA PA= =- -2 2， ，k kPB PB= = ， - -22k k . . 2 1 2 1 2 1 D 2 1 2 1 题型三题型三 求直线的方程求直线的方程 【例例3 3】 求适合下列条件的直线方程：求适合下列条件的直线方程： （1 1）经过点）经过点P P（3 3，2 2），且在两坐标轴上的截距），且在两坐标轴上的截距 相等；相等； （2 2）经过点）经过点A A（- -1 1，- -3 3），且倾斜角等于直线），且倾斜角等于直线y y= = 3
21、3x x的倾斜角的的倾斜角的2 2倍倍. . 选择适当的直线方程形式，把所需要选择适当的直线方程形式，把所需要 的条件求出即可的条件求出即可. . 解解 （1 1）方法一方法一 设直线设直线l l在在x x, ,y y轴上的截距均为轴上的截距均为a a, , 若若a a=0=0，即，即l l过点（过点（0 0，0 0）和（）和（3 3，2 2），）， l l的方程为的方程为y y= = x x，即，即2 2x x- -3 3y y=0.=0. 3 2 思维启迪思维启迪 若若a a00，则设，则设l l的方程为的方程为 l l过点（过点（3 3，2 2），）， a a=5=5，l l的方程为的方
22、程为x x+ +y y- -5=0,5=0, 综上可知，直线综上可知，直线l l的方程为的方程为2 2x x- -3 3y y=0=0或或x x+ +y y- -5=0.5=0. 方法二方法二 由题意知，所求直线的斜率由题意知，所求直线的斜率k k存在且存在且k k0,0, 设直线方程为设直线方程为y y- -2=2=k k( (x x- -3),3), 令令y y=0=0，得，得x x=3=3- - , ,令令x x=0,=0,得得y y=2=2- -3 3k k, , 由已知由已知3 3- - =2=2- -3 3k k，解得，解得k k= =- -1 1或或k k= ,= , 直线直线l
23、 l的方程为的方程为 y y- -2=2=- -（x x- -3 3）或）或y y- -2= (2= (x x- -3),3), 即即x x+ +y y- -5=05=0或或2 2x x- -3 3y y=0.=0. , 1 a y a x , 1 23 aa k 2 k 2 3 2 3 2 （2 2）由已知：设直线）由已知：设直线y y=3=3x x的倾斜角为的倾斜角为 ， 则所求直线的倾斜角为则所求直线的倾斜角为2 . 2 . tan =3,tan 2 =tan =3,tan 2 = 又直线经过点又直线经过点A A（- -1 1，- -3 3），）， 因此所求直线方程为因此所求直线方程为y
24、 y+3=+3=- - ( (x x+1),+1), 即即3 3x x+4+4y y+15=0.+15=0. . 4 3 tan1 tan2 2 4 3 探究提高探究提高 在求直线方程时，应先选择适当的直在求直线方程时，应先选择适当的直 线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用 斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两 点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能 表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题 时，若采用截距式，
25、应注意分类讨论，判断截距时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距 是否为零，若采用点斜式，应先考虑斜率不存在是否为零，若采用点斜式，应先考虑斜率不存在 的情况的情况. . 知能迁移知能迁移3 3 求下列直线求下列直线l l的方程：的方程： （1 1）过点）过点A A（0 0，2 2），它的倾斜角的正弦值是），它的倾斜角的正弦值是 ； （2 2）过点）过点A A（2 2，1 1），它的倾斜角是直线），它的倾斜角是直线l l1 1： 3 3x x+4+4y y+5=0+5=0的倾斜角的一半；的倾斜角的一半； （3 3）过点）过点A A（2 2，1 1）和直线）和直线x x- -2 2y y- -
26、3=03=0与与 2 2x x- -3 3y y- -2=02=0的交点的交点. . 解解 （1 1）设直线）设直线l l的倾斜角为的倾斜角为 ， 则则sin = ,tan =sin = ,tan = , , 由斜截式得由斜截式得y y= = x x+2,+2, 即即3 3x x- -4 4y y+8=0+8=0或或3 3x x+4+4y y- -8=0.8=0. 5 3 5 3 4 3 4 3 （2 2）设直线）设直线l l和和l l1 1的倾斜角分别为的倾斜角分别为 、 ， 则则 解得解得tan =3tan =3或或tan =tan =- - （舍去）（舍去）. . 由点斜式得由点斜式得y
27、 y- -1=3(1=3(x x- -2),2),即即3 3x x- -y y- -5=0.5=0. （3 3）解方程组）解方程组 即两条直线的交点为（即两条直线的交点为（- -5 5，- -4 4）. . 由两点式得由两点式得 即即5 5x x- -7 7y y- -3=0.3=0. , tan1 tan2 4 3 , 4 3 tan, 2 , 0 2 2 则又 3 1 . 4 5 , 0232 , 032 y ，x yx yx 得 , 25 2 14 1 xy 题型四题型四 直线方程的应用直线方程的应用 【例例4 4】 （1212分）过点分）过点P P（2 2，1 1）的直线）的直线l l
28、交交x x轴、轴、y y 轴正半轴于轴正半轴于A A、B B两点，求使：两点，求使： （1 1）AOBAOB面积最小时面积最小时l l的方程；的方程； （2 2）| |PAPA|PBPB| |最小时最小时l l的方程的方程. . 先求出先求出ABAB所在的直线方程，再求出所在的直线方程，再求出A A， B B两点的坐标，表示出两点的坐标，表示出ABOABO的面积，然后利用的面积，然后利用 相关的数学知识求最值相关的数学知识求最值. . 思维启迪思维启迪 解解 方法一方法一 设直线的方程为设直线的方程为 当且仅当当且仅当 , ,即即a a=4,=4,b b=2=2时，时，S S AOBAOB取最
29、 取最 小值小值4 4， 4 4分分 此时直线此时直线l l的方程为的方程为 6 6分分 . 4 2 1 . 8, 1 1212 2) 1 ( . 1 12 ),1, 2( 1 abS ab baba ba ba b y a x AOB 由已知可得 1 1分分 3 3分分 2 112 ba . 042, 1 24 yx yx 即 当且仅当当且仅当a a- -2=1,2=1,b b- -1=2,1=2, 即即a a=3,=3,b b=3=3时，时，| |PAPA|PBPB| |取最小值取最小值4.4. 此时直线此时直线l l的方程为的方程为x x+ +y y- -3=0. 123=0. 12分分
30、 . ) 1(4)2(2 4)1( 1)2( )1 ()02()01 ()2( , 2) 1)(2( , 02, 1 12 )2( 22 2222 ba ba ba PBPA ba baab ba 变形得 得由 8 8分分 1010分分 方法二方法二 设直线设直线l l的方程为的方程为y y- -1=1=k k( (x x- -2) (2) (k k0),0), 则则l l与与x x轴、轴、y y轴正半轴分别交于轴正半轴分别交于 当且仅当当且仅当- -4 4k k= =- - , ,即即k k= =- - 时取最小值，此时直时取最小值，此时直 线线l l的方程为的方程为y y- -1=1=-
31、- ( (x x- -2),2),即即x x+2+2y y- -4=0. 64=0. 6分分 . 4)44( 2 1 ) 1 ()4(4 2 1 )21)( 1 2( 2 1 ) 1 ( ).21 , 0()0 , 1 2( k k k k S kB k A AOB 、 k 1 2 1 2 1 1 1分分 3 3分分 （2 2）| |PAPA|PBPB|= |= 1010分分 当且仅当当且仅当 =4=4k k2 2, ,即即k k= =- -1 1时取得最小值时取得最小值, ,此时直此时直 线线l l的方程为的方程为y y- -1=1=- -( (x x- -2),2),即即x x+ +y y
32、- -3=0. 123=0. 12分分 求直线方程最常用的方法是待定系数求直线方程最常用的方法是待定系数 法，本题所要求的直线过定点，设直线方程的点法，本题所要求的直线过定点，设直线方程的点 斜式，由另一条件确定斜率，思路顺理成章，而斜式，由另一条件确定斜率，思路顺理成章，而 方法一和方法二联系已知条件与相关知识新颖独方法一和方法二联系已知条件与相关知识新颖独 特，需要较高的逻辑思维能力和分析问题、解决特，需要较高的逻辑思维能力和分析问题、解决 问题的能力问题的能力. . 22 441) 1 (k k , 484 4 2 2 k k 2 4 k 探究提高探究提高 知能迁移知能迁移4 4 已知直
33、线已知直线l l: :kxkx- -y y+1+2+1+2k k=0 (=0 (k kR R).). （1 1）证明：直线）证明：直线l l过定点；过定点； （2 2）若直线不经过第四象限，求）若直线不经过第四象限，求k k的取值范围；的取值范围； （3 3）若直线）若直线l l交交x x轴负半轴于轴负半轴于A A，交，交y y轴正半轴于轴正半轴于B B， AOBAOB的面积为的面积为S S，求，求S S的最小值并求此时直线的最小值并求此时直线l l的的 方程方程. . （1 1）证明证明 直线直线l l的方程是：的方程是：k k（x x+2)+(1+2)+(1- -y y)=0,)=0, 无
34、论无论k k取何值，直线总经过定点（取何值，直线总经过定点（- -2 2，1 1）. . , 1 2 , 01 02 y x y x 解之得令 （2 2）解解 由方程知由方程知, ,当当k k00时直线在时直线在x x轴上的截距为轴上的截距为 , ,在在y y轴上的截距为轴上的截距为1+21+2k k，要使直线不经过，要使直线不经过 第四象限，第四象限， 则必须有则必须有 解之得解之得k k0;0; 当当k k=0=0时，直线为时，直线为y y=1,=1,符合题意，故符合题意，故k k0.0. k k21 , 121 2 21 k k k （3 3）解解 由由l l的方程，得的方程，得 依题意
35、得依题意得 ).21 , 0(),0 , 21 (kB k k A . 0 , 021 , 0 21 k k k k 解得 . 042:, 4 , 2 1 , 1 40”“ , 4)422( 2 1 )4 1 4( 2 1)21 ( 2 1 21 21 2 1 2 1 min 2 yxlS k k kk k k k k k k k OBOAS 此时 即且成立的条件是 方法与技巧方法与技巧 1.1.要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值 范围，熟记斜率公式：范围，熟记斜率公式：k k= = ，该公式，该公式 与两点顺序无关，已知两点坐标（与两点顺序无关，
36、已知两点坐标（x x1 1x x2 2）时，）时， 根据该公式可求出经过两点的直线的斜率根据该公式可求出经过两点的直线的斜率. .当当x x1 1= =x x2 2， y y1 1y y2 2时，直线的斜率不存在，此时直时，直线的斜率不存在，此时直 线的倾斜角为线的倾斜角为9090. . 12 12 xx yy 思想方法思想方法 感悟提高感悟提高 2.2.求斜率可用求斜率可用k k=tan =tan （ 9090），其中），其中 为倾为倾 斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分 割，牢记：“斜率变化分两段，割，牢记：“斜率变化分两段，9090是分界，遇
37、是分界，遇 到斜率要谨记，存在与否需讨论”到斜率要谨记，存在与否需讨论”. . 3.3.求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方 程，再求直线方程中的系数，这种方法叫待定系程，再求直线方程中的系数，这种方法叫待定系 数法数法. . 4.4.重视轨迹法求直线方程的方法，即在所求直线重视轨迹法求直线方程的方法，即在所求直线 上设一任意点上设一任意点P P（x x，y y），再找出），再找出x x，y y的一次关的一次关 系式，例如求直线关于点对称的直线方程、求直系式，例如求直线关于点对称的直线方程、求直 线关于直线对称的直线方程就可用轨迹法来求线关于直线对称
38、的直线方程就可用轨迹法来求. . 失误与防范失误与防范 1.1.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在； 每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存 在斜率在斜率. . 2.2.根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围； 二是要考虑正切函数的单调性二是要考虑正切函数的单调性. . 3.3.利用一般式方程利用一般式方程AxAx+ +ByBy+ +C C=0=0求它的方向向量为求它的方向向量为 （- -B B，A A）不可记错，但同时注意方向向量是不）不可记错，但同时注意方向向量
39、是不 唯一的唯一的. . 4.4.利用三种直线方程求直线方程时，要注意这三利用三种直线方程求直线方程时，要注意这三 种直线方程都有适用范围，利用它们都不能求种直线方程都有适用范围，利用它们都不能求 出垂直于出垂直于x x轴的直线方程轴的直线方程. . 一、选择题一、选择题 1.1. 直线直线l l经过经过A A（2 2，1 1）、）、 B B（1 1，m m2 2） （m mR R）两点，）两点， 那么直线那么直线l l的倾斜角的取值范围是的倾斜角的取值范围是 （ ） A.A.0 0， ） B.B. C. D.C. D. 解析解析 k k= =1= =1- -m m2 21,1,又又k k=t
40、an ,0 =tan ,0 , , 所以所以l l的倾斜角的取值范围为的倾斜角的取值范围为 定时检测定时检测 D , 4 3 4 , 0 4 , 0 , 2 4 , 0 21 1 2 m .） 2 4 , 0， 2.2.直线直线l l1 1:3:3x x- -y y+1=0+1=0，直线，直线l l2 2过点（过点（1 1，0 0），且它的），且它的 倾斜角是倾斜角是l l1 1的倾斜角的的倾斜角的2 2倍，则直线倍，则直线l l2 2的方程为的方程为 （ ） A.A.y y=6=6x x+1 B.+1 B.y y=6(=6(x x- -1)1) C.C.y y= (= (x x- -1) D
41、.1) D.y y= =- - ( (x x- -1)1) 解析解析 由由tan =3tan =3可求出直线可求出直线l l2 2的斜率的斜率 k k=tan 2 =tan 2 = 再由再由l l2 2过点（过点（1 1，0 0）即可求得直线方程）即可求得直线方程. . 4 3 4 3 D , 4 3 tan1 tan2 2 3.3.若直线（若直线（2 2m m2 2+ +m m- -3 3）x x+(+(m m2 2- -m m) )y y=4=4m m- -1 1在在x x轴上的轴上的 截距为截距为1,1,则实数则实数m m是是 ( )( ) A.1 B.2 C. D.2A.1 B.2 C
42、. D.2或或 解析解析 当当2 2m m2 2+ +m m- -3030时时, , 在在x x轴上截距为轴上截距为 =1,=1,即即2 2m m2 2- -3 3m m- -2=02=0， m m=2=2或或m m= .= . 2 1 D 32 14 2 mm m 2 1 2 1 4.4.直线直线x x+(+(a a2 2+1)+1)y y+1=0 (+1=0 (a aR R) )的倾斜角的取值范围的倾斜角的取值范围 是是 （ ） A. B. A. B. C. D.C. D. 解析解析 斜率斜率k k= =- - - -1,1,故故k k- -1 1，0 0），）， 由图象知倾斜角由图象知倾斜角 , ,故选故选B.B. 4 , 0 , 4 3 ), 2 ( 4 , 0 ), 4 3 2 , 4 B 1 1 2 a , 4 3 5.5.直线直线axax+ +y y+1=0+1=0与连结与连结A A（2 2，3 3）、）、B B（- -3 3，2 2）的）的 线段相交，则线段相交，则a a的取值范围是的取值范围是 （ ） A.A.- -1 1，2 2 B.B.（- -，- -1 1）2 2，+）
