1、 高中数学必修高中数学必修 2 第一章第一章 立体几何立体几何初步初步 特殊几何体表面积公式（特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，为底面周长，h 为高，为高， h 为斜高，为斜高，l 为母线）为母线） chS 直棱柱侧面积 2 1 chS 正棱锥侧面积 )( 2 1 21 hccS 正棱台侧面积 rhS2 圆柱侧 lrrS2 圆 柱 表 rlS 圆锥侧面积 lrrS 圆锥表 lRrS)( 圆台侧面积 22 RRlrlrS 圆台表 柱体、锥体、台体的体积公式柱体、锥体、台体的体积公式 VSh 柱 1 3 VSh 锥 1 () 3 VSS SS h 台 2 VShr h 圆柱 hrV 2 3 1
2、 圆锥 22 11 ()() 33 VSS SS hrrRR h 圆台 （4）球体的表面积和体积公式）球体的表面积和体积公式：V球= 3 4 3 R ； S球面= 2 4 R 第二章第二章 直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系空间点、直线、平面之间的位置关系 1 平面含义：平面是无限延展的 2 三个公理： （1）公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 符号表示为 AL BL = L A B 公理 1 作用：判断直线是否在平面内判断直线是否在平面内. . （2）公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表
3、示为：A、B、C 三点不共线 = 有且只有一个平面， 使 A、B、C。 公理 2 作用：确定一个平面的依据。确定一个平面的依据。 （3）公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共 直线。 符号表示为：P =L，且 PL 公理 3 作用：判定两个平面是否相交的依据判定两个平面是否相交的依据. . 2.1.2 空间中直线与直线空间中直线与直线之间的位置关系之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理 4：平行于
4、同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设 a、b、c 是三条直线 ab cb 强调：公理 4 实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理 4 作用：判断空间两条直线平行的依据。判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 4 注意点： a与 b所成的角的大小只由 a、b 的相互位置来确定，与O的选择无关，为了简便，点 O一般取在两直线中的一条上； 两条异面直线所成的角(0， )； 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作 ab； 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； 计算
5、中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 2.1.3 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系： （1）直线在平面内 有无数个公共点 （2）直线与平面相交 有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行 没有公共点 L A C B A P L 共面直线 =ac 2 指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用 a 来表示 a a=A a 2.2.2.直线、平面平行的判定及其性质直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与
6、平面平行的判定直线与平面平行的判定 1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与 此平面平行。 简记为：线线平行，则线面平行线线平行，则线面平行。 符号表示： a b = a ab 2.2.2 平面与平面平行的判定平面与平面平行的判定 1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面 平行。 符号表示： a b ab = P a b 2、判断两平面平行的方法有三种： （1）用定义； （2）判定定理； （3）垂直于同一条直线的两个平面平行。 2.2.3 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质直线与平面、平面与平面平行的性质
7、 1、直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此 平面的交线与该直线平行。 简记为：线面平行则线线平行。线面平行则线线平行。 符号表示： a a ab = b 作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。 2、两个平面平行的性质定理：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么它们的交 线平行。 符号表示： = a ab = b 作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1 直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定 1、定义：如果直线 L 与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 L 与平面互相垂 直，记作 L，
8、直线 L 叫做平面的垂线，平面叫做直线 L 的垂面。如图，直线与平面 垂直时,它们唯一公共点 P 叫做垂足。 P a L 2、直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线 与此平面垂直。 注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视； b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。 2.3.2 平面与平面垂直的判定平面与平面垂直的判定 1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 A 梭 l B 2、二面角的记法：二面角-l-或-AB- 3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面
9、垂直。 2.3.3 2.3.4 直线与平面直线与平面、平面与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质 1、直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。 2、两个平面垂直的性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个 平面垂直。 第三章第三章 直线与方程直线与方程 （1）直线的倾斜角）直线的倾斜角 定义：x 轴正向正向与直线向上方向向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与 x 轴平行 或重合时,我们规定它的倾斜角为 0 度。因此，倾斜角的取值范围是 0180 （2）直线的斜率）直线的斜率 定义：倾斜角不是倾斜角不是 90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的
10、斜率。的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常 用 k 表示。即tank。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当直线 l 与 x 轴平行或重合时, =0, k = tan0=0; 当直线 l 与 x 轴垂直时, = 90, k 不存在. 当 90,0时，0k； 当 180,90时，0k； 当 90时，k不存 在。 过两点的直线的斜率公式过两点的直线的斜率公式：)( 21 12 12 xx xx yy k （ P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1x2） 注意下面四点：(1)当 21 xx 时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为 90； (2)k与P1、P2的顺序无关；
11、(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 （3）直线方程）直线方程 点斜式：点斜式：)( 11 xxkyy直线斜率 k，且过点 11, y x 注意：注意：当直线的斜率为 0时，k=0，直线的方程是y=y1。 当直线的斜率为 90时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示但因l 上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。 斜截式：斜截式：bkxy，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b 两点式：两点式： 11 2121 yyxx yyxx （ 1212 ,xxyy）直线两点 11, y x， 22,y x
12、截矩式：截矩式：1 xy ab 其中直线l与x轴交于点( ,0)a,与y轴交于点(0, )b,即l与x轴、y轴 的截距截距分别为, a b。 一般式：一般式：0CByAx（A，B 不全为不全为 0） 注意：注意： 1 各式的适用范围 2 特殊的方程如： 平行于 x 轴的直线：by （b 为常数）； 平行于 y 轴的直线：ax（a 为常数）； （6）两直线平行与垂直）两直线平行与垂直 当 111: bxkyl， 222 :bxkyl时， 212121 ,/bbkkll； 1 2121 kkll 注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注
13、意斜率的存在与否。 （7）两条直线的交点）两条直线的交点 0: 1111 CyBxAl 0: 2222 CyBxAl相交 交点坐标即方程组 0 0 222 111 CyBxA CyBxA 的一组解。 方程组无解 21/l l ； 方程组有无数解 1 l与 2 l重合 （8）两点间距离公式两点间距离公式：设 1122 (,),A x yB xy，（）是平面直角坐标系中的两个点， 则 22 2121 |()()ABxxyy （9） 点到点到直线距离公式直线距离公式： 一点 00,y xP到直线0: 1 CByAxl的距离 22 00 BA CByAx d （10）两平行直线距离公式两平行直线距离公
14、式 已知两条平行线直线 1 l和 2 l的一般式方程为 1 l：0 1 CByAx， 2 l：0 2 CByAx，则 1 l与 2 l的距离为 22 21 BA CC d 第四章第四章 圆与方程圆与方程 1、圆的定义：、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的 半径。 2、圆的方程、圆的方程 （1）标准方程标准方程 2 22 rbyax，圆心ba,，半径为 r； 点 00 (,)M xy与圆 222 ()()xaybr的位置关系： 当 22 00 ()()xayb 2 r，点在圆外 当 22 00 ()()xayb= 2 r，点在圆上 当 22 00 ()(
15、)xayb 2 r，点在圆内 （2）一般方程一般方程0 22 FEyDxyx 当当04 22 FED时，方程表示圆，此时圆心为时，方程表示圆，此时圆心为 2 , 2 ED ，半径为，半径为 FEDr4 2 1 22 当当04 22 FED时，表示一个点；时，表示一个点； 当当04 22 FED时，方程不表示任何图形。时，方程不表示任何图形。 （3）求求圆圆方程的方法：方程的方法： 一般都采用待定系数法： 先设后求。一般都采用待定系数法： 先设后求。 确定一个圆需要三个独立条件， 若利用圆的标准方程， 需求出 a，b，r；若利用一般方程，需要求出 D，E，F； 另外要注意多利用另外要注意多利用圆
16、的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。 3、直线与圆的位置关系、直线与圆的位置关系： 直线与圆的位置关系有相离，相切，相交相离，相切，相交三种情况： （1）设直线0:CByAxl，圆 2 22 :rbyaxC，圆心baC,到l的距离 为 22 BA CBbAa d ， 则有相离与Clrd；相切与Clrd；相交与Clrd （2）过圆外一点的切线过圆外一点的切线：k 不存在，验证是否成立k 存在，设点斜式方程，用圆心到该 直线距离=半径，求解 k，得到方程【一定两解】 (3)过圆上一点的切线过圆上一点的切线方程：圆(x
17、-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程 为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 4、圆与圆的位置关系、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。 设圆 2 2 1 2 11: rbyaxC， 2 2 2 2 22: RbyaxC 两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。 当当rRd时两圆外离，此时有公切线四条；时两圆外离，此时有公切线四条； 当当rRd时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条； 当当rRdrR时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线； 当当rRd时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线； 当当rRd时，两圆内含；时，两圆内含； 当当0d时，为同心圆。时，为同心圆。 注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线 圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点
