1、第八章 立体几何初步 8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系空间点、直线、平面之间的位置关系 8.4.1 平面平面 必备知识必备知识探新知探新知 关键能力关键能力攻重难攻重难 课堂检测课堂检测固双基固双基 素养作业素养作业提技能提技能 素养目标素养目标定方向定方向 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 素养目标素养目标 定方向定方向 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 素养目标 学法指导 1理解并掌握平面的基本事实 及推论.(逻辑推理) 2会用基本事实及推论解决有 关问题.(逻辑推理) 要充分利用长方体以及身边的生活中的 物品认识空间点、直线、平面，
2、要类比 初中平面几何中点、直线去认识空间中 的点、直线、平面，逐步过渡与抽象， 并确定它们之间的关系. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 必备知识必备知识 探新知探新知 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 1平面的概念 几何中所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、平静的水面等，这 样的一些物体中抽象出来的.类似于直线向两端无限延伸，几何中的平面 是向四周_的. 平面 知识点1 无限延展 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 2平面的画法 我们常用矩形的直观图，即_表示平面，它的锐角通 常画成_，且横边长等于其邻边长的_倍，如图.
3、如果一个平面的一部分被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体 感，把被遮挡部分用_画出来，如图. 3平面的表示法 图的平面可表示为_、平面ABCD、_或平面BD. 平行四边形 45 2 虚线 平面 平面AC 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 1直线在平面内的概念 如果直线l上的_都在平面内，就说直线l在平面内，或者 说平面经过直线l. 点、线、面之间的位置关系 知识点2 所有点 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 2一些文字语言与符号语言的对应关系： 文字语言表达 符号语言表示 文字语言表达 符号语言表示 点A在直线l上 _ 点A在直线l外 _ 点A在
4、平面内 _ 点A在平面外 _ 直线l在平面内 _ 直线l在平面外 _ 直线l，m相交于点A lmA 平面，相交于直线l l Al Al A A l l 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 1 平面的基本性质及应用 知识点3 基本事实 内容 图形 符号 作用 基本事实 1 过不在一条直 线上的三个点， _一 个平面 A，B，C 三点 不共线存 在唯一的平 面 使 A，B， C 一是确定平面； 二是证明点、线 共面问题；三是 判断两个平面 重合的依据 有且只有 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 基本事实 内容 图形 符号 作用 基本事实 2 如果一条直
5、线上 的_在 一个平面内，那 么这条直线在 _ Al，Bl， 且 A，B _ 既可判定直线 和点是否在平 面内，又能说明 平面是无限延 展的 两个点 这个平面内 l 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 基本事实 内容 图形 符号 作用 基本事实 3 如果两个不重合 的平面有一个公 共点，那么它们 有且只有一条过 该点的 _ P 且 P l， 且 Pl 判定两平面 相交的依据 判定点在直 线上 公共直线 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 2利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”， 可以得到下面三个推论： 推论1_，有且只有一个平面.
6、推论2_，有且只有一个平面. 推论3_，有且只有一个平面. 经过一条直线和这条直线外一点 经过两条相交直线 经过两条平行直线 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 知识解读 1平面的几个特点 (1)平面是平的； (2)平面是没有厚度的； (3)平面是无限延展而没有边界的. 2从集合的角度理解点、线、面之间的位置关系 (1)直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与 集合的关系，用“”或“”表示. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） (2)平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关 系，用“”或“”表示. (3)直线和平面都是点
7、集，它们之间的关系可看成集合与集合的关 系，故用“”或“”表示. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 3准确认识三个基本事实的意义和作用 (1)基本事实1 意义：是在空间确定一个平面位置的方法与途径，而确定平面是将 空间问题转化为平面问题的重要条件，这个转化是立体几何中解决相当 一部分问题的主要的思想方法. 作用：确定平面；证明点、线共面. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） (2)基本事实2 意义：说明了平面与曲面的本质区别.通过直线的“直”来刻画平面 的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展”. 作用：既是判断直线是否在平面内，又是
8、检验平面的方法. 利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”，可推 出不共线的三点，一条直线和这条直线外一点，两条相交直线，两条平 行直线，都能唯一确定一个平面. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） (3)基本事实3 意义：揭示了两个平面相交的主要特征，提供了确定两个平面交线 的方法. 作用：判断两个平面是否相交； 确定两个平面的交线； 证明若干点共线问题. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 关键能力关键能力 攻重难攻重难 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系. (1)
9、点P与直线AB； (2)点C与直线AB； (3)点M与平面AC； (4)点A1与平面AC； (5)直线AB与直线BC； (6)直线AB与平面AC； (7)平面A1B与平面AC. 题型探究题型探究 题型一题型一 三种语言的相互转化 典典例例 1 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 解析 (1)点P直线AB； (2)点C直线AB； (3)点M平面AC； (4)点A1平面AC； (5)直线AB直线BC点B； (6)直线AB平面AC； (7)平面A1B平面AC直线AB. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 归纳提升 三种语言的转换方法 (1)用文字语言、符号
10、语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几 个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示， 再用符号语言表示. (2)要注意符号语言的意义，如点与直线的位置关系只能用“”或 “”，直线与平面的位置关系只能用“”或“”. 提醒：根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚 线的区别. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 (1)若点M在直线a上，a在平面内，则M、a、间 的关系可记为_； (2)根据图，填入相应的符号：A_平面ABC，A_平面BCD， BD_平面ABC，平面ABC平面ACD_； (3)用符号语言表示下面语句，并画出图形：三个
11、 平面、相交于一点P，且平面与平面交于PA， 平面与平面交于PB，平面与平面交于PC. Ma，a，M AC 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 解析 (3)符号语言表示：P，PA，PB， PC. 图形表示：如图所示. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 已知ABC在平面外，ABP，ACR，BC Q，如图.求证：P、Q、R三点共线. 分析 (1)P、Q、R三点分别在哪几个平面上？ (2)在两个相交平面上的点，有什么特点？ 题型二题型二 点共线问题 典典例例 2 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 解析 证法一：ABP，PAB，P平
12、面. 又AB平面ABC，P平面ABC. 由公理3可知： 点P在平面ABC与平面的交线上， 同理可证Q、R也在平面ABC与平面的交线上. P、Q、R三点共线. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 证法二：APARA， 直线AP与直线AR确定平面APR. 又ABP，ACR， 平面APR平面PR. B面APR，C面APR，BC面APR. 又Q面APR，Q， QPR.P、Q、R三点共线. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 归纳提升 点共线的证明方法：证明多点共线通常利用基本事实 3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明 点在相交平面的
13、交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其 他点也在其上. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，对角线A1C与 平面BDC1交于点O，AC，BD交于点M，求证：C1、O、M三点共线. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 解析 由AA1CC1，则AA1与CC1确定一个平面A1C. A1C平面A1C，而OA1C，O平面A1C. 又A1C平面BC1DO，O平面BC1D. O点在平面BC1D与平面A1C的交线上. 又ACBDM，M平面BC1D且M平面A1C. 又C1平面BC1D且C1平面A1C， 平
14、面A1C平面BC1DC1M，OC1M，即C1、O、M三点共线. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 已知直线ab，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有 且只有一个平面. 证明 如图所示.由已知ab，所以过a，b有且只有一个平面.设 alA，blB，A，B，且Al，Bl，l.即过a，b，l 有且只有一个平面. 题型三题型三 线共面问题 典典例例 3 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 归纳提升 在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明： (1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平 面内. (2)同一法：即先证明一些元素在一个
15、平面内，再证明另一些元素在 另一个平面内，然后证明这两个平面重合，即证得所有元素在同一个平 面内. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 已知：如图所示，l1l2A，l2l3B，l1l3 C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内. 证明 法一(纳入法)l1l2A，l1和l2确定一个平面. l2l3B，Bl2又l2，B.同理可证C. 又Bl3，Cl3，l3. 直线l1，l2，l3在同一平面内. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 法二(同法一、重合法)l1l2A， l1，l2确定一个平面. l2l3B，l2，l3确定一个平面. Al2，l
16、2，A. Al2，l2，A. 同理可证B，B，C，C. 不共线的三个点A，B，C既在平面内，又在平面内. 平面和重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 已知：如图，空间四边形ABCD中，E、H分别为BC、AB的中点， F在CD上，G在AD上，且有DFFCDGGA12 求证：直线EF、BD、HG交于一点. 分析 先证EF、HG一定相交于一点， 再证这一点在直线BD上. 题型四题型四 线共点问题 典典例例 4 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 解析 连接 EH、AC、FG. E、H 分别为 BC、AB 的中点，E
17、H 1 2AC. DFFC12，DGGA12， FGAC，FG1 3AC，EHFG 且 EHFG， E、F、G，H 四点共面且 EFGH.EF 与 GH 相交. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 设EFGHO，则OGH，OEF. GH平面ABD，EF平面BCD，O平面ABD，O平面BCD. 平面ABD平面BCDBD，OBD，即直线EF、BD、HG交于 一点. 归纳提升 三线共点的证明方法： 证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平 面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一 条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于
18、两 点，再证点重合，从而得三线共点. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 三个平面、两两相交，交于三条直线，即 c，a，b，已知直线a和b不平行. 求证：a、b、c三条直线必过同一点. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 解析 b，a，a，b， a、b不平行， a、b必相交，设abP， Pa，a， P，同理P， 而c，Pc.a、b、c相交于一点P， 即a、b、c三条直线过同一点. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 已知A、B、C、D、E五点中，A、B、C、D共面，B、 C、D、E共面，则A、B、C、D、E五点一定
19、共面吗？ 错解 因为A、B、C、D共面，所以点A在B、C、D所确定的平面 内，因为B、C、D、E共面，所以点E也在B、C、D所确定的平面内，所 以点A、E都在B、C、D所确定的平面内，即A、B、C、D、E五点一定共 面. 错因分析 错解忽略了公理2中“不在一条直线上的三点”这个 重要条件，实际上B、C、D三点还可能共线. 易错警示易错警示 典典例例 4 对于条件所给的点的位置关系考虑不全面 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 正解 (1)如果B、C、D三点不共线，则它们确定一个平面.因为 A、B、C、D共面，所以点A在平面内，因为B、C、D、E共面，所以点 E在平面内，所
20、以点A、E都在平面内，即A、B、C、D、E五点一定共 面. (2)如果B、C、D三点共线于l，若A、E都在l上，则A、B、C、D、E 五点一定共面； 若A、E中有且只有一个在l上，则A、B、C、D、E五点一定共面； 若A、E都不在l上，则A、B、C、D、E五点可能不共面. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判 断中正确的是 ( ) AA，B，C，D四点中必有三点共线 BA，B，C，D四点中不存在三点共线 C直线AB与CD相交 D直线AB与CD平行 解析 两条平行直线、两条相交直线、直线及直线外一点都分别 确定一个平面. B
