1、 安徽省巢湖市安徽省巢湖市 20182018- -20192019 学年高一上学期期末考试数学试题学年高一上学期期末考试数学试题 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1212 小题，共小题，共 60.060.0 分）分） 1.等于 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据三角函数的诱导公式化简即可。 【详解】 所以选 A 【点睛】本题考查了诱导公式的简单应用，三角函数化简求值，属于基础题。 2.已知集合，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 分别求出集合 A 与集合 B，再求交集即可。 【详解】解不等式得 由定义域可得 所以 所以选 B 【点睛】
2、本题考查了交集的运算，函数定义域的求法，属于基础题。 3.下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据定义判定函数的奇偶性和单调性即可。 【详解】对于 A，是奇函数，且在上为单调递增 对于 B，不是奇函数 对于 C，不是奇函数 对于 D，在上不具有单调性 综上，所以选 A 【点睛】本题考查了函数的单调性与奇偶性的应用，属于基础题。 4.已知，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 将要求的表达式化为，再分子、分母同时除以 ，化为关于的式子， 代入即可求解。 【详解】根据同角三角函数关系式，代入式子中化简可得 分子分母
3、同时除以，得 因为 代入可求得 所以选 D 【点睛】本题考查了同角三角函数式的应用，“齐次式”化简的方法，属于基础题。 5.设，则a，b，c的大小关系是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据与 1 的大小关系，可知 a 最大；将 b 化为，进而与比较大小即可。 【详解】 即 所以选 C 【点睛】本题考查了对数、指数、幂函数值的大小比较，注意选取中间值比较，属于基础题。 6.函数的零点的个数是 A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】 令， 将函数化为， 画出两个函数图像， 其交点的个数即为函数的零点个数。 【详解】由题意可令，将函数化为画出
4、函数图像如下图 由图像可知，函数图像有三个交点，所以有三个零点 所以选 A 【点睛】本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想， 属于基础题。 7.若，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据同角三角函数关系式，求得的值，再结合正弦的差角公式即可求得的值。 【详解】因为， 所以 由正弦的差角公式 所以选 A 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的三角公式的应用，属于基础题。 8.函数的最小正周期为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据正弦和余弦的和角差角公式展开化简，结合辅助角公式合并化简，再由周期公式
5、即可求 得最小正周期。 【详解】由正弦和角公式与余弦差角公式，展开化简可得 由辅助角公式，化简合并得 所以周期 所以选 B 【点睛】本题主要考查两角和差的三角公式，辅助角公式的用法，正弦函数的周期性，属于 基础题。 9.已知，则的值为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用余弦的差角公式展开， 合并得的值， 再结合同角三角函数关系式即可求得 的值。 【详解】因为 展开得 所以 等号左右同时平方得 所以 所以选 C 【点睛】本题主要考查两角差的余弦公式，同角三角函数的基本关系，正弦的二倍角公式， 属于基础题。 10.已知向量 ， 满足，则的值为 A. B. C. D. 【答
6、案】B 【解析】 【分析】 根据向量的数量积及模的运算，化简后得方程组，即可求得的值。 【详解】，展开得 展开得 因为，即 代入两个式子，得 所以选 B 【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及简单应用，属于基础题。 11.已知函数的部分图象如图所示，则下列区间使函数 单调递减的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据图象求出三角函数的解析式，再由正弦函数的单调性求出其单调区间即可。 【详解】通过图象可知， 即 所以 由图象可知，当时， 解得 所以 令 解得 当 k=0 时，函数单调递减区间为，即 所以选 D 【点睛】本题考查了正弦函数图象与性质的综合应用，根据部分函数
7、图象求解析式，运用整 体法求单调区间，属于基础题。 12.已知函数，若存在，使得成立，则 的取值范围 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先分别求得与的值域，再根据交集即可求得 m 的取值范围。 【详解】与的值域为 的值域为 因为存在，使得成立 则的取值范围 所以选 A 【点睛】本题考查了函数值域的求解，存在性成立问题，属于中档题。 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 4 小题，共小题，共 20.020.0 分）分） 13.已知，则_ 【答案】6 【解析】 【分析】 将指数幂化简，代入对数式中即可得到答案。 【详解】因为，可化为 等式两边同时取三次方，可得 代入对
8、数式可得 【点睛】本题考查了指数幂与对数的运算，属于基础题。 14.已知向量，且表示向量， 的有向线段首尾相接构 成三角形，则向量 的坐标为_ 【答案】 【解析】 【分析】 设出 的坐标，分别表示出， ，再根据向量和为 即可求得 的坐标。 【详解】设 的坐标，由向量坐标加法运算可得 ， 因为向量， 的有向线段首尾相接构成三角形 所以 代入得 解得 ，所以 【点睛】本题考查了平面向量坐标的加法、减法和数乘运算，向量在平面几何中的意义，属 于基础题。 15.已知函数，若函数在上是增函数，则a的取值范围是 _ 【答案】 【解析】 【分析】 根据，表示出的解析式，根据二次函数的对称轴求出 a 的取值范
9、围。 【详解】因为 所以 化简得 函数对称轴为 因为函数在上是增函数 所以 ，得即 的取值范围为 【点睛】本题考查了二次函数的单调性与对称轴的关系，函数解析式的求法，属于基础题。 16.已知函数其中a，b为非零实数 ，且，有下列命题： 函数的最大值为； 函数为奇函数； 若存在，使得，则是的整数倍 其中正确命题的序号是_ 将所有正确命题的序号都填上 【答案】 【解析】 【分析】 根据三角函数辅助角公式，结合正弦函数最值判断出，根据诱导公式和奇偶性可判断， 根据零点和周期性可判断。 【详解】 （） 因为，所以 平方化简得，所以，所以正确 ，即 所以函数为奇函数，即正确 周期，所以若 则，所以错误
10、综上，正确命题的序号是 【点睛】本题考查了命题真假的判断，三角函数图象与性质的综合应用，三角函数的最值、 周期与奇偶性，属于中档题。 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 6 小题，共小题，共 70.070.0 分）分） 17.已知角 的终边过点求： (1)的值； (2)的值 【答案】(1)；(2). 【解析】 【分析】 由已知结合三角函数的定义求得，的值，再由诱导公式求解；利用同角三角函 数的基本关系式化简求值 【详解】解：角 的终边过点 ， 由，得 【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查三角函数的诱导公式的应用，属于基础题 18.已知函数 (1)判断并用定义证明函数的奇偶性； (
11、2)用定义证明函数在上单调递减 【答案】(1)偶函数；(2)详见解析. 【解析】 【分析】 根据函数奇偶性的定义进行判断； 根据函数单调性的定义利用定义法进行证明 【详解】解：由得且，即的定义域为且，定义域关于原 点对称 则，即函数是偶函数 设 则 ， 则，即函数在上是减函数 【点睛】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，利用奇偶性和单调性的定义使用定义法 是解决本题的关键 19.已知向量，函数的最大值为 2 (1)求m的值； (2)若，求向量 与 的夹角 的余弦值 【答案】(1)2；(2) 【解析】 【分析】 运用三角函数的最值可解决此问题；运用向量的夹角公式可解决此问题 【详解】解：(m0
12、) (m0) ， 向量 与 的夹角 的余弦值为 【点睛】本题考查平面向量的数量积和向量的夹角公式的简单应用，属于基础题。 20.某银行柜台异地跨行转账手续费的收费标准为转账金额的，且最低 1 元 笔，最高 50 元 笔，王杰需要在该银行柜台进行一笔异地跨行转账的业务 (1)若王杰转账的金额为x元，手续费为y元，请将y表示为x的函数； (2)若王杰转账的金额为元， 他支付的手续费大于 5 元且小于 50 元， 求t的取值范围 【答案】(1) ；(2). 【解析】 【分析】 根据条件建立分段函数模型进行求解即可 由分段函数的表达式进行求解 【详解】解：由题意得 从中的分段函数得，如果王杰支付的手续
13、费大于 5 元且小于 50 元 则转账金额大于 1000 元，且小于 10000 元 则只需要考虑当时的情况即可 由得，得 即实数t的取值范围是 【点睛】本题主要考查分段函数的应用问题，根据条件建立分段函数模型，求出函数的解析 式是解决本题的关键 21.已知函数，其最小正周期为 (1)求的表达式； (2)求函数的值域 【答案】(1)；(2). 【解析】 【分析】 利用三角恒等变换化简函数的解析式， 再利用正弦函数的周期性求得 ， 可得函数的解析式 利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的定义域和值域，求得的值域 【详解】解：由题意，函数可化为 ，最小正周期为 ，故 函数 ，且，故且
14、故的值域为 【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、定义域和值域，属于中档题 22.已知函数，且，且 (1)若，求实数m的取值范围； (2)若是定义在R上的奇函数，且当时，求的值域 【答案】(1) ；(2) 【解析】 【分析】 根据条件建立方程求出a的值，结合指数函数单调性的性质进行转化求解即可 将函数转化为二次函数型，利用配方法结合函数奇偶性求出最值即可 【详解】解： 则 即，则函数是增函数 由，得 得，即实数m的取值范围是 当时， 时，则 即当，即时，取得最大值为 是奇函数 当时，取得最小值为 即，则函数的值域为 【点睛】本题主要考查函数单调性和奇偶性的应用，结合条件转化为二次函数型是解决本题 的关键
