1、 广东省中山市广东省中山市 20182018- -20192019 学年高一上学期期末水平测试数学学年高一上学期期末水平测试数学 试卷（解析版）试卷（解析版） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1010 小题，共小题，共 5050 分）分） 1.下列表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 ,选 A. 2.我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池 盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深 九寸，则平地降雨量是（注：平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；一尺等于十 寸；台体的体积公式）.
2、 A. 2 寸 B. 3 寸 C. 4 寸 D. 5 寸 【答案】B 【解析】 试题分析：根据题意可得平地降雨量，故选 B. 考点：1.实际应用问题；2.圆台的体积. 3.下列大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 试题分析：根据题意，由于那么根据与 0,1 的大小关系比较可知 结论为，选 C. 考点：指数函数与对数函数的值域 点评：主要是利用指数函数和对数函数的性质来比较大小，属于基础题。 4.已知，则 A. 2 B. 7 C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】 先由函数解析式求出，从而，由此能求出结果 【详解】， ， ，故选A 【点睛】本题主要考查分段
3、函数的解析式、分段函数解不等式，属于中档题.对于分段函数解 析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此 解决这类题一定要层次清楚，思路清晰. 当出现的形式时，应从内到外依次求值 5.函数（ ） 【答案】A 【解析】 由于函数为偶函数又过（0，0）所以直接选 A. 【考点定位】对图像的考查其实是对性质的考查，注意函数的特征即可，属于简单题. 6.给定下列四个命题： 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； 若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； 垂直于同一直线的两条直线相互平行； 若两个平面垂直，那么一个平面内与它
4、们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直 其中，为真命题的是 A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】D 【解析】 【分析】 从直线与平面平行与垂直，平面与平面平行与垂直的判定与性质，考虑选项中的情况，找出 其它可能情形加以判断，推出正确结果 【详解】当两个平面相交时，一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面，故不对；由 平面与平面垂直的判定可知正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线可以相交也可以异 面，故不对；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平 面垂直，故正确 故选：D 【点睛】本题考查空间线面间的位置关系，考查逻辑推理能力与空间想象能力，是基础题 7
5、.若动点分别在直线上移动， 则线段AB的中点M到 原点的距离的最小值为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 AB 中点在直线上，该直线到的距离相等；则解得，所以 M 轨迹为则 M 到原点距离的最小值为原点的直线的距离即为 故选 C 8.定义在 上的偶函数满足：对任意的，有， 且，则不等式的解集为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据对任意的，有，判断函数的单调性，结合函 数的奇偶性和单调性之间的性质，将不等式转化为不等式组，数形结合求解即可 【详解】 因为对任意的，当， 有 ,所以, 当函数为减函数， 又因为是偶函数，所以当时，为增函数， ， 作出函数的
6、图象如图： 等价为或， 由图可知，或， 即不等式的解集为，故选A 【点睛】本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合 考查一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判 断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性 相同)，然后再根据单调性列不等式求解. 9.如图正方体，棱长为 1， 为中点， 为线段上的动点，过的平 面截该正方体所得的截面记为 ，则下列命题正确的是 当时， 为四边形； 当时， 为等腰梯形； 当时， 与交点R满足； 当时， 为六边形； 当时， 的面积为 A. B. C. D. 【
7、答案】D 【解析】 【分析】 由已知根据的不同取值，分别作出不同情况下的截面图形，利用数形结合思想能求出结果 【详解】 当时，如图，是四边形，故正确 当时，如图， 为等腰梯形，正确； 当时，如图, 由三角形与三角形相似可得， 由三角形与三角形相似可得,，正确 当时，如图是五边形，不正确； 当时，如图 是菱形，面积为，正确， 正确的命题为，故选 D 【点睛】本题主要考查正方体的截面，意在考查空间想象能力，解题时要认真审题，注意数 形结合思想的合理运用，是中档题 10.函数的图象形如汉字“囧”，故称其为“囧函数” 下列命题： “囧函数”的值域为 ； “囧函数”在上单调递增； “囧函数”的图象关于
8、轴对称； “囧函数”有两个零点； “囧函数”的图象与直线 至少有一个交点正确命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 由题设可知函数的函数值不会取到 0，故命题是错误的；当时，函 数是单调递增函数，故“囧函数”在上单调递减，因此命题是错误的；容 易验证函数是偶函数，因此其图象关于 轴对称，命题是真命题；因当 时函数恒不为零，即没有零点，故命题是错误的；因为， 不妨设，则由，即，也即，其判 别 式， 因， 且 两 根 之 积 ，故直线与函数的图象至少 有一个交点，因此命题也是真命题综上 命题是正确的，其它都是错误的，应选答案 B。 点睛：本题以定义的新概念
9、“囧函数”为前提和背景，综合考查运用所学知识去分析判断所 给的几个命题的真假，其目的是综合考查理解新概念，迁移新信息的创新能力、运算求解能 力、推理判断能力及综合运用所学知识去分析问题解决问题的能力。 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 5 5 小题，共小题，共 25.025.0 分）分） 11.两条直线与互相垂直，则_ 【答案】 【解析】 【分析】 先分别求出两条直线的斜率，再利用两条直线垂直的充要条件是斜率乘积等于，即可求出 结果 【详解】直线的斜率，直线的斜率， 且两直线与互相垂直， ，解得，故答案为 【点睛】本题主要考查两直线垂直的充要条件，属于基础题.在两条直线的斜率都存在的条
10、件 下，两条直线垂直的充要条件是斜率乘积等于 12.若在幂函数的图象上，则_ 【答案】27 【解析】 【分析】 由在幂函数的图象上，利用待定系数法求出幂函数的解析式，再计算的值 【详解】设幂函数， 因为函数图象过点， 则， 幂函数， ，故答案为 27 【点睛】本题主要考查了幂函数的定义与解析式，意在考查对基础知识的掌握情况，是基础 题 13.函数的零点为_ 【答案】1 和 【解析】 【分析】 由，解得 的值，即可得结果 【详解】因为， 若，则， 即，整理得： 可解得：或， 即函数的零点为 1 和，故答案为 1 和 . 【点睛】本题主要考查函数零点的计算，意在考查对基础知识的理解与应用，属于基础
11、题 14.如图，直四棱柱的底面是边长为 1 的正方形，侧棱长，则异面直 线与的夹角大小等于_ 【答案】 【解析】 试题分析：由直四棱柱的底面是边长为 1 的正方形,侧棱长可得 由知就是异面直线与的夹角,且所以 =60,即异面直线与的夹角大小等于 60. 考点：1 正四棱柱；2 异面直线所成角 15.已知圆柱的底面半径为，高为 2，若该圆柱的两个底面的圆周都在一个球面上，则这个 球的表面积为_ 【答案】 【解析】 【分析】 直接利用圆柱的底面直径，高、球体的直径构成直角三角形 其中为斜边 ，利用勾股定理 求出 的值，然后利用球体的表面积公式可得出答案 【详解】 设球的半径为 ，由圆柱的性质可得，
12、 圆柱的底面直径，高、球体的直径构成直角三角形 其中为斜边 ， 因为圆柱的底面半径为，高为 2， 所以， 因此，这个球的表面积为，故答案为 【点睛】本题主要圆柱的几何性质，考查球体表面积的计算，意在考查空间想象能力以及对 基础知识的理解与应用，属于中等题 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 6 小题，共小题，共 71.071.0 分）分） 16.已知函数的定义域为 ，不等式的解集为 设集合，且，求实数 的取值范围； 定义且，求 【答案】 （1）； （2） 【解析】 【分析】 由二次不等式的解法得，由集合间的包含关系列不等式组求解即可；由对数函 数的定义域可得，利用指数函数的单调性解不
13、等式可得，由定义 且，先求出，再求出即可 【详解】解不等式， 得：， 即， 又集合，且， 则有， 解得：， 故答案为 . 令， 解得：， 即， 由定义且可知： 即， 即， 故答案为. 【点睛】本题考查了二次不等式的解法、对数函数的定义域、指数函数的单调性以及新定义 问题，属中档题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几 个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联 系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题， 分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、
14、 运算，使问题得以解决. 17.在中，已知，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上， 求： 顶点C的坐标； 直线MN的方程 【答案】 （1）； （2） 【解析】 试题分析： （1）边 AC 的中点 M 在 y 轴上，由中点公式得，A，C 两点的横坐标和的平均数为 0， 同理，B，C 两点的纵坐标和的平均数为 0构造方程易得 C 点的坐标 （2）根据 C 点的坐标，结合中点公式，我们可求出 M，N 两点的坐标，代入两点式即可求出 直线 MN 的方程 解： （1）设点 C（x，y） ， 边 AC 的中点 M 在 y 轴上得=0， 边 BC 的中点 N 在 x 轴上得=0， 解得 x=5，
15、y=3 故所求点 C 的坐标是（5，3） （2）点 M 的坐标是（0， ） ， 点 N 的坐标是（1，0） ， 直线 MN 的方程是=， 即 5x2y5=0 点评：在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用 斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式 不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论， 判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况 18.通常表明地震能量大小的尺度是里氏震级，其计算公式为：，其中， 是被测 地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修
16、正测震仪距实际震 中的距离造成的偏差） 。 （1）假设在一次地震中，一个距离震中 100 千米的测震仪记录的地震最大振幅是 30，此时标 准地震的振幅是 0001，计算这次地震的震级（精确到 01） ； （2）5 级地震给人的震感已比较明显，计算 8 级地震的最大振幅是 5 级地震的最大振幅的多 少倍？ （以下数据供参考：，） 【答案】 （1）45（2）1000 【解析】 试题分析： （1）把最大振幅和标准振幅直接代入公式 M=lgA-lg求解； （2）利用对数式和指 数式的互化由 M=lgA-lg得 A，把 M=8 和 M=5 分别代入公式作比后即可得到答案 试题解析： （1） 因此，这次地
17、震的震级为里氏 45 级 （2）由可得,即， 当时,地震的最大振幅为;当时,地震的最大振幅为; 所以，两次地震的最大振幅之比是： 答：8 级地震的最大振幅是 5 级地震的最大振幅的 1000 倍 考点：函数模型的选择与应用 19.已知函数对任意实数x，y满足，当时， 判断在R上的单调性，并证明你的结论 是否存在实数a使f 成立？若存在求出实数a；若不存在，则说明理由 【答案】 （1）在 上单调递增，证明见解析； （2）存在，. 【解析】 试题分析： （1）令，则，根据已知中函数对任意实数满足 ，当时，易证得，由增函数的定 义，即可得到在上单调递增； （2）由已知中函数对任意实数满足 ，利用“凑
18、”的思想，我们可得，结合（1） 中函数在上单调递增，我们可将转化为一个关于的一元二次不等 式，解不等式即可得到实数的取值范围 试题解析： （1）设，又， 即，在上单调递增 （2）令，则， ，即， 又在上单调递增， 即，解得，故存在这样的实数，即 考点：1.抽象函数及其应用；2.函数单调性的判断与证明；3.解不等式. 【方法点睛】本题主要考查的是抽象函数及其应用,函数单调性的判断与证明,属于中档题， 此类题目解题的核心思想就是对抽象函数进行变形处理， 然后利用定义变形求出 的大小关系，进而得到函数的单调性，对于解不等式，需要经常用到的利用“凑”的思想， 对已知的函数值进行转化，求出常数所对的函数
19、值，从而利用前面证明的函数的单调性进行 转化为关于的一元二次不等式， 因此正确对抽象函数关系的变形以及利用“凑”的思想， 对 已知的函数值进行转化是解决此类问题的关键. 20.如图所示四棱锥中，底面，四边形中， ， 求四棱锥的体积； 求证：平面； 在棱上是否存在点异于点，使得平面，若存在，求的值；若不存在，说 明理由 【答案】 （1）4； （2）见解析； （3）不存在. 【解析】 【分析】 利用四边形是直角梯形，求出，结合底面，利用棱锥的体积公式求 解即可求； 先证明，结合， 利用线面垂直的判定定理可得 平面 ；用反证法证明，假设存在点异于点使得平面证明平面平面 ，与平面与平面相交相矛盾，从而
20、可得结论 【详解】显然四边形ABCD是直角梯形， 又底面 平面ABCD，平面ABCD， 在直角梯形ABCD中， ，即 又， 平面； 不存在，下面用反证法进行证明 假设存在点异于点使得平面PAD ，且平面PAD， 平面PAD， 平面PAD 又， 平面平面PAD 而平面PBC与平面PAD相交，得出矛盾 【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，棱锥的体积，平面与平面平行的判定定理，考查 空间想象能力，逻辑推理能力证明直线和平面垂直的常用方法有： （1）利用判定定理； （2） 利用判定定理的推论； （3）利用面面平行的性质； （4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂 直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直
21、于另一个平面. 21.已知函数，. （1）若函数在上是减函数，求实数 的取值范围； （2）是否存在整数，使得的解集恰好是，若存在，求出的值；若不存在， 说明理由. 【答案】 （1）（2）见解析 【解析】 试题分析： （1）求出函数的对称轴，由于 y=|f（x）|在1，0上是减函数，则讨论区间在 对称轴的右边，且 f（0）不小于 0，区间在对称轴的左边，且 f（0）不大于 0解出它们即 可； （2）假设存在整数 a，b，使得 af（x）b 的解集恰好是a，b则 f（a）=a，f（b）=a， af（）b，由 f（a）=f（b）=a，解出整数 a，b，再代入不等式检验即可 试题解析： （1）令，则.
22、 当，即时，恒成立， 所以. 因为在上是减函数， 所以，解得， 所以. 由，解得或. 当时，的图象对称轴， 且方程的两根均为正， 此时在为减函数，所以符合条件. 当时，的图象对称轴， 且方程的根为一正一负， 要使在单调递减，则，解得. 综上可知，实数 的取值范围为. （2）假设存在整数，使的解集恰好是，则 若函数在上单调递增，则，且， 即 作差得到，代回得到：，即，由于均为整数， 故，或，经检验均不满足要求； 若函数在上单调递减，则，且， 即 作差得到，代回得到：，即，由于均为整数， 故，或，经检验均不满足要求； 若函数在上不单调，则，且， 即作差得到， 代回得到：， 即， 由于均为整数， 故，或， ，经检验均满足要求； 综上，符合要求的整数是或
