1、 辽宁省辽阳市辽宁省辽阳市 20182018- -20192019 学年高一上学期期末考试数学试题学年高一上学期期末考试数学试题 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 个小题，每小题个小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1.已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据集合的交集运算，即可得到 。 【详解】由题意，集合， 根据集合的交集运算，可得 ，故选 D。 【点睛】本题主要考查了集合的交集的运算问题，其中解答中熟记集合的交集的
2、概念及运算 是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。 2.下列命题正确的是（ ） A. 在空间中两条直线没有公共点，则这两条直线平行 B. 一条直线与一个平面可能有无数个公共点 C. 经过空间任意三点可以确定一个平面 D. 若一个平面上有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 【答案】B 【解析】 【分析】 根据平面的基本性质和空间中两直线的位置关系，逐一判定，即可得到答案。 【详解】由题意，对于 A 中， 在空间中两条直线没有公共点，则这两条直线平行或异面，所 以不正确；对于 B 中， 当一条直线在平面内时，此时直线与平面可能有无数个公共点，所以 是正确的；对于 C 中，
3、 经过空间不共线的三点可以确定一个平面，所以是错误的；对于 D 中， 若一个平面上有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行或相交，所以不正确， 故选 B。 【点睛】本题主要考查了平面的基本性质和空间中两直线的位置关系，其中解答中熟记平面 的基本性质和空间中两直线的位置关系是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基 础题。 3.已知函数，若，则（ ） A. 2 B. C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】 直接将代入函数的解析式，根据指数的运算即可得结果. 【详解】， ，解得，故选 A. 【点睛】本题主要考察了已知函数值求自变量的值，熟练掌握指数的意义是解题的关键，属 于基础
4、题. 4.已知圆台的轴截面为上底为 4，下底为 8 的等腰梯形，且圆台的母线长为 4，则圆台的高为 （ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意，作出圆台的轴截面， 在直角中，利用勾股定理，即可求解，得到答案。 【详解】由题意，作出圆台的轴截面，如图所示， 因为圆台的轴截面为上底为 4，下底为 8 的等腰梯形，且圆台的母线长为 4， 则， 在直角中，可得， 即圆台的高为，故选 C。 【点睛】本题主要考查了圆台的轴截面的性质，其中解答中正确 作出圆台的轴截面，利用等腰梯形的性质和直角三角形的勾股定理求解是解答的关键，着重 考查了推理与运算能力，属于基础题。 5.
5、设函数，若，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据对数函数的性质单调递增，列出不等式，解出即可. 【详解】函数在定义域内单调递增， 不等式等价于， 解得，故选 A. 【点睛】本题主要考查了对数不等式的解法，在解题过程中要始终注意函数的定义域，也是 易错点，属于中档题. 6.下列函数中，最小值为 2 的是（ ） A. B. 且 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意，根据选项函数的解析式，利用基本不等式求解函数的最值，即可得到答案。 【详解】对于 A 中，函数，当时，当时， ，即函数的值域为，不合题意； 对于 B 中，函数且的值域为，不合
6、题意； 对于 C 中，函数，当且仅当，此时等号不成立， 所以函数的值域不合题意； 对于 D 中，函数，当且仅当，即等号成立，即函数 的值域为 ，故选 D。 【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解函数的最值问题，其中解答中熟记基本不等式 的“一正、二定、三相等”，合理构造求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，以 及构造思想的应用。 7.设函数，若，则（ ） A. 3 B. C. 或 1 D. 或 1 【答案】B 【解析】 【分析】 由分段函数的解析式，根据分段条件，列出方程，即可求解。 【详解】由题意，函数，且， 当时，即，解得； 当时，即，解得或（舍去） ， 综上可知 的值为，故选 B
7、。 【点睛】本题主要考查了分段的解析式，以及分段函数的求参数问题，其中解答中合理利用 分段函数的解析式，列出相应的方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于 基础题。 8.若命题“”为假命题，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题干的到命题等价于恒成立，故只需要判别式小于等于 0 即可. 【详解】 若命题“，”为假命题,则命题等价于恒 成立，故只需要 故答案为：C. 【点睛】这个题目考查了由命题的真假求参数的范围问题，是基础题. 9.若是两条不相同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C.
8、 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】 根据线面位置关系的判定定理和直线与平面的位置关系，逐一判定，即可得到答案。 【详解】由题意，对于 A 中，若，根据面面平行的性质，可得，所以是正确的； 对于 B 中，若，则或 在 内，所以不正确； 对于 C 中，若，则或 在 内，所以不正确； 对于 D 中，若，则或 在 内，所以不正确， 故选 A。 【点睛】本题主要考查了点、线、面之间的位置关系的应用，其中解答中熟记线面位置关系 的判定定理与性质定理，逐一进行合理判定是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属 于基础题。 10.已知函数的零点在区间上，则 的取值范围为（ ） A. B.
9、C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据函数在区间上存在零点，根据零点的存在定理，列出不等式组，即可求 解，得到答案。 【详解】由题意，函数是定义域上的单调递增函数， 又由函数在区间上存在零点， 则满足，即，解得， 即实数 的取值范围为，故选 D。 【点睛】本题主要考查了函数与方程的应用问题，其中解答中根据函数的零点的存在定理， 列出相应的不等式组求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础 题。 11.函数的部分图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 本题主要采用排除法，当时，可排除 B，C 选项；当时，可排除 D 选项，故可得结果
10、. 【详解】， 当时，则 B，C 不正确； 当时，则 D 不正确； 综上可得选项为 A. 【点睛】本题考查函数的图象的判断与应用，是中档题；已知函数解析式，选择其正确图象 是高考中的高频考点，主要采用的是排除法，最常见的排出方式有根据函数的定义域、值域、 单调性、奇偶性、周期性等性质，同时还有在特殊点处所对应的函数值或其符号，其中包括 等. 12.已知函数且在上为减函数，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由复合函数的单调性，根据同增异减和函数的定义域，列出相应的不等式组，即可求解。 【详解】由且， 令，则函数的对称轴的方程为， 又由函数为单调递增函
11、数， 要使得函数且在上为减函数， 则当时，则满足 ，此时无解； 当时，则满足 ，解得， 综上可知 的取值范围为，故选 A。 【点睛】本题主要考查了与对数函数相关的复合函数的单调性的应用，其中解答中合理利用 复合函数的单调性，列出不等式组是解答的关键，同时注意定义域是解答的一个易错点，着 重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题。 二、填空题（每题二、填空题（每题 4 4 分，满分分，满分 2020 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13.定义在上的奇函数，当时，则_. 【答案】-6 【解析】 【分析】 根据奇函数的性质可得，结合，代入函数解析式即可得最后结果. 【详解】因
12、为函数为上的奇函数，所以， 当时，所以， 故，故答案为. 【点睛】本题主要考查了奇函数性质的应用，熟练掌握对于定义域内任意 均有是 解题的关键，属于基础题. 14.已知圆柱的上、 下底面的中心分别为， 过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积 为 4 的正方形，则该圆柱的表面积为_ 【答案】 【解析】 【分析】 由题意，圆柱的截面是面积为 4 的正方形，可得其边长为 2，可得圆柱的底面半径为，母 线，利用圆柱的侧面积公式和圆的面积公式，即可求解。 【详解】由题意，圆柱的截面是面积为 4 的正方形，可得其边长为 2， 可得圆柱的底面半径为，母线， 所以该圆柱的表面积为。 【点睛】本题主要考查了圆柱的
13、侧面积和表面积的计算问题，其中解答中熟练应用圆柱的轴 截面，得到底面半径和母线长，利用圆柱的侧面积和圆的面积公式，准确计算是解答的关键， 着重考查了推理与运算能力，属于基础题。 15.已知幂函数在上是减函数，则_ 【答案】-3 【解析】 【分析】 根据函数是幂函数可求出 m,再根据函数是减函数知，故可求出 m. 【详解】因为函数是幂函数 所以，解得或. 当时，在上是增函数； 当时，在上是减函数， 所以. 【点睛】本题主要考查了幂函数的概念，幂函数的增减性，属于中档题. 16.如图，在直四棱柱中，底面是平行四边形，点 是棱的中点，点 是棱靠近的三等分点，且三棱锥的体积为 2，则四棱柱的体积 为_
14、 【答案】12 【解析】 【分析】 由题意，设底面平行四边形的，且边上的高为 ，直四棱柱的 高为 ，分别表示出直四棱柱的体积和三棱锥的体积，即可求解。 【详解】由题意，设底面平行四边形的，且边上的高为 ，直四棱柱 的高为 ， 则直四棱柱的体积为， 又由三棱锥的体积为， 解得，即直四棱柱的体积为。 【点睛】本题主要考查了棱柱与棱锥的体积的计算问题，其中解答中正确认识几何体的结构 特征，合理、恰当地表示直四棱柱三棱锥的体积是解答本题的关键，着重考查了推理与运算 能力，以及空间想象能力，属于中档试题。 三、解答题三、解答题 （本大题共（本大题共 6 6 题，共题，共 7070 分解答应写出文字说明、
15、证明过程或演算步骤 ）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 17.（1）计算； （2）已知，求的值. 【答案】 （1）7； （2）1. 【解析】 【分析】 （1）根据实数指数幂和对数的运算公式，即可化简得到答案,(2) 根据指数与对数的互化公 式，合理利用对数的运算性质，即可求解。 【详解】 （1）由题意，可得； （2）由，则，又由，即，则 所以， 【点睛】本题主要考查了实数指数幂的运算和对数的运算性质，其中解答中熟记实数指数幂 的运算公式和对数的运算性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。 18.已知函数是定义在 上的偶函数，当时，. （1）求的解析式； （2）求关于
16、 的不等式的解集. 【答案】 （1）； （2）. 【解析】 【分析】 （1）令，则，根据函数是定义在 上的偶函数，得，即可得到函数的 解析式； （2）由（1）可知，根据函数的解析式，列出不等式，即可求解。 【详解】 （1）由题意，令，则， 因为函数是定义在 上的偶函数，且当时，. 所以， 所以函数的解析式为。 （2）由（1）可知，当时，令，解得； 当时，令，解得， 综上可知，不等式的解集为。 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性求解解析式，以及函数解析式的应用问题，其中解答 中合理利用函数的奇偶性和函数的解析式列出不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与 运算能力，属于基础题。 19.在三棱锥中
17、，分别为的中点，且，. （1）证明：平面； （2）证明：平面. 【答案】 （1）见解析； （2）见解析 【解析】 【分析】 （1） 由题意， 分别为的中点， 得， 由线面平行的判定定理， 可得平面. （2）在中，因为且 为的中点，所以，在中，因为且 为的中点，所以，根据线面垂直的判定定理，即可证得结论. 【详解】 （1）由题意，在三棱锥中，分别为的中点， 在中，可得，且平面，平面， 由线面平行的判定定理，可得平面. （2）在中，因为且 为的中点，所以， 在中，因为且 为的中点，所以， 又由，根据线面垂直的判定定理，即可证得平面。 【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，其中解答中熟记线
18、面平行的判定定理 和线面垂直的判定定理，合理应用是解答本题的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基 础题。 20.已知，函数 （1）求的定义域； （2）若在上的最小值为，求 的值 【答案】 （1） ； （2） . 【解析】 【分析】 （1）由题意，函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解函数的定义域； （2）由题意，化简得，设，根据复合函数的性质，分 类讨论得到函数的单调性，得出函数最值的表达式，即可求解。 【详解】 （1）由题意，函数， 满足 ，解得，即函数的定义域为。 （2）由， 设，则表示开口向下，对称轴的方程为， 所以在上为单调递增函数，在单调递减， 根据复合函数的单调性，可得 因为
19、，函数在为单调递增函数，在单调递减， 所以，解得； 故实数 的值为 【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质的应用，以及与对数函数复合函数的最值问 题，其中解答中熟记对数函数的图象与性质，合理分类讨论求解是解答本题的关键，着重考 查了推理与运算能力，属于中档试题。 21.某地居民用水采用阶梯水价，其标准为：每户每月用水量不超过 15 吨的部分，每吨 3 元； 超过 15 吨但不超过 25 吨的部分，每吨 4.5 元；超过 25 吨的部分，每吨 6 元. （1）求某户居民每月需交水费 （元）关于用水量 （吨）的函数关系式； （2）若 户居民某月交水费 67.5 元，求 户居民该月的用水量 【答
20、案】 （1）； （2） 户居民该月的用水量为 20 吨. 【解析】 【分析】 （1）由题意，分别求解出当、和时，居民每月需交的税费为 ，即可 得到函数的解析式； （2）由（1）可知，得到当若 户居民某月交水费 67.5 元时，则，即可求解。 【详解】 （1）由题意，当时，居民每月需交的税费为； 当时，居民每月需交的税费为； 当时，居民每月需交的税费为， 所以居民每月需交水费 （元）关于用水量 的函数关系式为； （2）由（1）可知，当时，居民每月需交的税费为，当时，居民 每月需交的税费为，当时，居民每月需交的税费为， 所以当若 户居民某月交水费 67.5 元时，则，解得吨， 即 户居民该月的用水
21、量为 20 吨 【点睛】本题主要考查了分段函数的应用问题，其中解答中认真审题，正确理解题意，分别 求解用水量和需交水费的关系式，得到相应的函数的解析式是解本题的关键，着重考查了分 析问题和解答问题的能力，属于基础题。 22.已知函数 （1）当时，求方程的解； （2）若，不等式恒成立，求 的取值范围. 【答案】 （1）0 或 2； （2）. 【解析】 【分析】 （1）由题意，当时，得到方程，即，即可求解。 （2）由题意，不等式恒成立，可得，构造新函数 ，判断函数的单调性即可求出最大值，即可求解。 【详解】 （1）当时，函数， 又由，即，可得，即， 解得或，所以或。 （2）由题意，不等式恒成立， 即，即，可得， 令， 任取，且， 则， 所以在为单调递增函数， 所以， 所以实数 得取值范围，即实数 的取值范围是。 【点睛】本题主要考查了指数函数的图象与性质，以及函数基本性质的综合应用，其中解答 中熟记指数函数的图象与性质，以及利用分离参数法，构造新函数，利用新函数的单调性， 求解函数的最大值是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试 题。
